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摘要：本文呈现了教学实践中的三个案例，探讨在教师与学生、学生与学生的合作、对话、碰撞中岔出一些预设之外的新问题时，笔者处理这些问题做出的及时的、正确的判断，筛选出学习活动中有利于促进学生进一步学习的信息，及时调整课前预设，使课堂的“节外生枝”演绎为精彩的“动态生成”.
关键词：节外生枝；动态生成
课堂教学是师生共同构建的一门动态生成的艺术，无论多么精心的预设也无法预知整个课堂的全部细节. 在教师与学生、学生与学生的合作、对话、碰撞中，往往会岔出一些教师预设方案之外的新情况、新问题，面对课堂上不期而遇的“节外生枝”， 是置之不理或在不经意间“一带而过”，还是给出时间和空间，引导学生积极探究？笔者深深体会到：要及时作出判断，顺应学生的思维轨迹，循循善诱，把课堂的“节外生枝”演绎为精彩的“动态生成” .以下呈现的是笔者在上复习课时处理“节外生枝”的三个案例.
可以举个例子吗
高一年级，函数奇偶性单元复习课.
笔者选取必修1教材55页第8题作为例题：已知函数f（x）=a+是奇函数，求常数a的值.
学生1：定义域为R，f（－x）+f（x）=a++a+=a++a+=2a+1=0，故a=－.
学生2：若奇函数在原点有定义，则一定有f（0）=0，所以f（0）=a+=0，得a=－. 这时f（x）=－+，f（－x）+f（x）=－+－+=－1++=0，故a=－为所求的值.
师生共同小结：已知函数的奇偶性，求参数的值，常用的方法是：（1）从一般入手，转化为恒成立问题；（2）从特殊出发，先求出参数，再验证对定义域内所有值都满足奇（偶）性. 学生2解法中的特殊值f（0）=0，仅表示函数图象过原点，并不能说明图象关于原点对称.
教学的环节都在课前的预设之中，该题的探究已经结束. “可以举个例子吗？”刚平静下来的课堂上有一位学生在自言自语，笔者捕捉到了这一细节，这是学生内心的渴求，是主体参与的结果，应该鼓励，笔者立即叫这位学生继续说. “对于已知奇函数，求参数的值这类问题，可以举一个例子来说明由f（0）=0，求出的参数值，不满足已知函数是奇函数吗？”这个问题出乎笔者的意料，课前没有预设到，如果举个例子说明，应该说是恰到好处，有价值，于是笔者立即让学生拿起笔，进行编拟.
学生3：设f（x）=2x+ax2+a（a－1）是定义在R上的奇函数，求a的值.
由f（－x）+f（x）=0，得ax2+a（a－1）=0，即a［x2+（a－1）］=0对R上的任一个x均成立，因此a=0. 但如果只考虑f（0）=0，得a=0或1，当a=1时，f（x）=x2+2x，这时f（1）=3，f（－1）=－1，f（－1）≠－f（1），不满足f（x）是奇函数；当a=0时，f（x）=2x，满足f（－x）= －f（x），故a=0.
学生4：设f（x）=（2a－1）x3+（a2－3a+2）•x2+a2－5a+4是定义在R上的奇函数，求a的值. （理由同上）
学生5：设f（x）=asinx+（a－1）x2+a2－3a+2是定义在R上的奇函数，求a的值.（理由同上）
学生振奋之余，对函数奇偶性的概念理解更深刻.
能否利用“几何法求解”
高二年级，椭圆复习课.笔者出示如下例题：
k为何值时，直线x－y+k=0与椭圆+y2=1有两个交点？有一个交点？没有交点？
教师：同学们，成功解题的关键是对题中的条件加以有效的转化和利用，“直线与椭圆的交点个数”问题，该如何转化呢？
学生（齐声）：联立方程组，用Δ法进行判断.
通过演练，得出结果，总结出判断“直线与椭圆交点个数”问题的常用转化方法后，准备转入另一问题研究. 这时一位女学生举手发言.
学生1：能否利用“几何法求解”？
该位女学生的一句话令笔者有些诧异. 在上周复习“直线与圆的交点个数”问题时，曾经归纳出常用的方法有代数法和几何法，根据经验判断“处理直线与椭圆的交点个数”问题时一般只用代数法，难道她能用几何法解决问题？能成功吗？一连串的疑问，让笔者决定继续听她说下去.
学生1：椭圆可以看作由圆上的所有点的横坐标（或纵坐标）压缩（或伸长）到原来的若干倍后得到的图形，因此能否将椭圆转化为圆来处理呢？
疑问是思考的产物，这一疑问中隐含着新颖观点，学生情绪高涨，笔者也十分兴奋，觉得不能舍去这珍贵的意外生成的资源，学生的想法是有道理的，继而鼓励学生继续探究.
学生2：对于椭圆+y2=1，设x=2x1，y=y，椭圆变为圆x+y=1，这时直线变为2x1－y1+k=0，为顺应习惯，把x1换成x，y1换成y，原题转化为k为何值时，直线2x－y+k=0与圆x2+y2=1，有两个交点？有一个交点？没有交点？因而可转化为“直线与圆的交点个数”问题，用几何法去判断，得出正确答案.
“了不起！”大家为这位学生的想法啧啧称奇. 不料另有一位男学生插嘴.
学生3：老师，还有其他的几何解法.
教师：继续说下去.
学生3：解决“直线与椭圆交点个数”问题可转化为求直线上的点T与两焦点F1，F2距离之和的最小值问题. 设d=TF1+TF2，2a是椭圆长轴长，当dmin=2a时，直线与椭圆有一个交点；当dmin<2a时，直线与椭圆有两个交点；当dmin>2a时，直线与椭圆没有交点.
本题中F1－，0关于直线x－y+k=0的对称点为F－k，－+k，则dmin=FF2==，当=4，即k=±时，直线与椭圆有一个交点……
全班学生鼓掌.
只要“两边求导”
高三年级，三角函数复习课，笔者出示问题：
已知sinθ+2cosθ=－时，求tanθ的值.
学生1：sinθ+2cosθ=－，sin2θ+cos2θ=1，求得sinθ=－，cosθ=－，于是tanθ=.
学生2：sinθ+2cosθ=•sinθ+cosθ=sin（θ+φ），其中cosφ=，sinφ=. 当sin（θ+φ）= －1时，有θ+φ=2kπ+（k∈Z），从而θ=2kπ+－φ，于是tanθ=cotφ=.
学生3：解决这类问题的常规方法：消元求sinθ，cosθ；归一（化同名函数，化一个角），利用正弦（余弦）函数的有界性求解.
课堂沿着笔者预设的轨道稳步推行（暗喜）. 笔者正想以表扬来结束对这个问题的探究时，却见一个学生举手，示意有话要说.
学生4：此题只要“两边求导”就解决了.
这类问题一般不用求导数的方法，学生能搞清楚吗？这位学生的想法到底如何？“碰到问题时，一定要有念头，哪怕是错误的念头”（波利亚语），直觉暗示笔者，应该展示学生的思维过程.
学生4：（sinθ+2cosθ）′=cosθ－2sinθ=0，得tanθ=.
学生5：你怎么知道这时sinθ+2cosθ取最小值－呢？
学生4：检验就可以了，经检验可知，sinθ+2cosθ取最大值和最小值时，tanθ均为.
教师：这位同学给大家提出了一个新的思路.通过求导，求出了变量的值以后，必须检验，结合单调性得出结论.
学生6：老师，上述解法有问题.
本来两边求导的方法在课前没有预设到，是课堂上的“节外生枝”，刚才的求导探究用时也不多，这下可有好戏看了.
学生6：按上求法，当sinθ+2cosθ=2时，求tanθ的值，也只要两边求导（sinθ+2cosθ）′=cosθ－2sinθ=0，得tanθ=. 换成sinθ+2cosθ=，结果也是一样.
全班学生愕然，议论纷纷，问题出在哪里？
求知的欲望被深度激发.经师生共同探究，形成如下思维方法.
先画出两函数y=sinx+2cosx和y= －的图象（如图1），两函数图象交点的横坐标即是满足sinθ+2cosθ=－的θ的值，本题中的θ是函数y=sinx+2cosx的极小值点，该极小值点恰好使sinθ+2cosθ的导数为0，所以学生4的两边求导得tanθ=是正确的（真相大白）. 当sinθ+2cosθ=时，tanθ也为（与学生4的检验相呼应）.
图1
进一步探究可发现：已知sinθ+2cosθ=c，c∈－，，求tanθ的值.若函数y=sinθ+2cosθ与函数y=c，c∈－，的图象（如图2）在交点处切线的斜率为k，则有（sinθ+2cosθ）′=k，此时不能很便捷地得到答案.
从以上三个案例可以看出，课堂上的“节外生枝”，大都是学生主体参与的结果，它常常是学生探究的源泉，是发展学生能力的助推器.尽管“节外生枝”可能会打乱教师预定的教学步骤，甚至可能使教学内容发生变更，但它符合学生的学情，能带动全班学生挖掘更有价值的问题，产生浓厚的学习兴趣，使学生“其进自不能已”. 如果一堂课与教学设计毫无偏离，某种意义上说不能算是一节成功的课.
毋庸置疑，来自课堂的信息是纷杂的，教师应该根据所“生”之“枝”是否有用而作出正确判断，筛选出学习活动中有利于促进学生进一步学习的情境，及时调整课前预设，深入挖掘. 若超出了学生的最近发展区，使学生得不到相应的研究成果，会造成教学时间的极大浪费，产生低效教学. 这一切对教师的专业化素养和教学艺术提出了更高要求，而这也正是新课改给我们提出的奋斗目标.
关键词：节外生枝；动态生成
课堂教学是师生共同构建的一门动态生成的艺术，无论多么精心的预设也无法预知整个课堂的全部细节. 在教师与学生、学生与学生的合作、对话、碰撞中，往往会岔出一些教师预设方案之外的新情况、新问题，面对课堂上不期而遇的“节外生枝”， 是置之不理或在不经意间“一带而过”，还是给出时间和空间，引导学生积极探究？笔者深深体会到：要及时作出判断，顺应学生的思维轨迹，循循善诱，把课堂的“节外生枝”演绎为精彩的“动态生成” .以下呈现的是笔者在上复习课时处理“节外生枝”的三个案例.
可以举个例子吗
高一年级，函数奇偶性单元复习课.
笔者选取必修1教材55页第8题作为例题：已知函数f（x）=a+是奇函数，求常数a的值.
学生1：定义域为R，f（－x）+f（x）=a++a+=a++a+=2a+1=0，故a=－.
学生2：若奇函数在原点有定义，则一定有f（0）=0，所以f（0）=a+=0，得a=－. 这时f（x）=－+，f（－x）+f（x）=－+－+=－1++=0，故a=－为所求的值.
师生共同小结：已知函数的奇偶性，求参数的值，常用的方法是：（1）从一般入手，转化为恒成立问题；（2）从特殊出发，先求出参数，再验证对定义域内所有值都满足奇（偶）性. 学生2解法中的特殊值f（0）=0，仅表示函数图象过原点，并不能说明图象关于原点对称.
教学的环节都在课前的预设之中，该题的探究已经结束. “可以举个例子吗？”刚平静下来的课堂上有一位学生在自言自语，笔者捕捉到了这一细节，这是学生内心的渴求，是主体参与的结果，应该鼓励，笔者立即叫这位学生继续说. “对于已知奇函数，求参数的值这类问题，可以举一个例子来说明由f（0）=0，求出的参数值，不满足已知函数是奇函数吗？”这个问题出乎笔者的意料，课前没有预设到，如果举个例子说明，应该说是恰到好处，有价值，于是笔者立即让学生拿起笔，进行编拟.
学生3：设f（x）=2x+ax2+a（a－1）是定义在R上的奇函数，求a的值.
由f（－x）+f（x）=0，得ax2+a（a－1）=0，即a［x2+（a－1）］=0对R上的任一个x均成立，因此a=0. 但如果只考虑f（0）=0，得a=0或1，当a=1时，f（x）=x2+2x，这时f（1）=3，f（－1）=－1，f（－1）≠－f（1），不满足f（x）是奇函数；当a=0时，f（x）=2x，满足f（－x）= －f（x），故a=0.
学生4：设f（x）=（2a－1）x3+（a2－3a+2）•x2+a2－5a+4是定义在R上的奇函数，求a的值. （理由同上）
学生5：设f（x）=asinx+（a－1）x2+a2－3a+2是定义在R上的奇函数，求a的值.（理由同上）
学生振奋之余，对函数奇偶性的概念理解更深刻.
能否利用“几何法求解”
高二年级，椭圆复习课.笔者出示如下例题：
k为何值时，直线x－y+k=0与椭圆+y2=1有两个交点？有一个交点？没有交点？
教师：同学们，成功解题的关键是对题中的条件加以有效的转化和利用，“直线与椭圆的交点个数”问题，该如何转化呢？
学生（齐声）：联立方程组，用Δ法进行判断.
通过演练，得出结果，总结出判断“直线与椭圆交点个数”问题的常用转化方法后，准备转入另一问题研究. 这时一位女学生举手发言.
学生1：能否利用“几何法求解”？
该位女学生的一句话令笔者有些诧异. 在上周复习“直线与圆的交点个数”问题时，曾经归纳出常用的方法有代数法和几何法，根据经验判断“处理直线与椭圆的交点个数”问题时一般只用代数法，难道她能用几何法解决问题？能成功吗？一连串的疑问，让笔者决定继续听她说下去.
学生1：椭圆可以看作由圆上的所有点的横坐标（或纵坐标）压缩（或伸长）到原来的若干倍后得到的图形，因此能否将椭圆转化为圆来处理呢？
疑问是思考的产物，这一疑问中隐含着新颖观点，学生情绪高涨，笔者也十分兴奋，觉得不能舍去这珍贵的意外生成的资源，学生的想法是有道理的，继而鼓励学生继续探究.
学生2：对于椭圆+y2=1，设x=2x1，y=y，椭圆变为圆x+y=1，这时直线变为2x1－y1+k=0，为顺应习惯，把x1换成x，y1换成y，原题转化为k为何值时，直线2x－y+k=0与圆x2+y2=1，有两个交点？有一个交点？没有交点？因而可转化为“直线与圆的交点个数”问题，用几何法去判断，得出正确答案.
“了不起！”大家为这位学生的想法啧啧称奇. 不料另有一位男学生插嘴.
学生3：老师，还有其他的几何解法.
教师：继续说下去.
学生3：解决“直线与椭圆交点个数”问题可转化为求直线上的点T与两焦点F1，F2距离之和的最小值问题. 设d=TF1+TF2，2a是椭圆长轴长，当dmin=2a时，直线与椭圆有一个交点；当dmin<2a时，直线与椭圆有两个交点；当dmin>2a时，直线与椭圆没有交点.
本题中F1－，0关于直线x－y+k=0的对称点为F－k，－+k，则dmin=FF2==，当=4，即k=±时，直线与椭圆有一个交点……
全班学生鼓掌.
只要“两边求导”
高三年级，三角函数复习课，笔者出示问题：
已知sinθ+2cosθ=－时，求tanθ的值.
学生1：sinθ+2cosθ=－，sin2θ+cos2θ=1，求得sinθ=－，cosθ=－，于是tanθ=.
学生2：sinθ+2cosθ=•sinθ+cosθ=sin（θ+φ），其中cosφ=，sinφ=. 当sin（θ+φ）= －1时，有θ+φ=2kπ+（k∈Z），从而θ=2kπ+－φ，于是tanθ=cotφ=.
学生3：解决这类问题的常规方法：消元求sinθ，cosθ；归一（化同名函数，化一个角），利用正弦（余弦）函数的有界性求解.
课堂沿着笔者预设的轨道稳步推行（暗喜）. 笔者正想以表扬来结束对这个问题的探究时，却见一个学生举手，示意有话要说.
学生4：此题只要“两边求导”就解决了.
这类问题一般不用求导数的方法，学生能搞清楚吗？这位学生的想法到底如何？“碰到问题时，一定要有念头，哪怕是错误的念头”（波利亚语），直觉暗示笔者，应该展示学生的思维过程.
学生4：（sinθ+2cosθ）′=cosθ－2sinθ=0，得tanθ=.
学生5：你怎么知道这时sinθ+2cosθ取最小值－呢？
学生4：检验就可以了，经检验可知，sinθ+2cosθ取最大值和最小值时，tanθ均为.
教师：这位同学给大家提出了一个新的思路.通过求导，求出了变量的值以后，必须检验，结合单调性得出结论.
学生6：老师，上述解法有问题.
本来两边求导的方法在课前没有预设到，是课堂上的“节外生枝”，刚才的求导探究用时也不多，这下可有好戏看了.
学生6：按上求法，当sinθ+2cosθ=2时，求tanθ的值，也只要两边求导（sinθ+2cosθ）′=cosθ－2sinθ=0，得tanθ=. 换成sinθ+2cosθ=，结果也是一样.
全班学生愕然，议论纷纷，问题出在哪里？
求知的欲望被深度激发.经师生共同探究，形成如下思维方法.
先画出两函数y=sinx+2cosx和y= －的图象（如图1），两函数图象交点的横坐标即是满足sinθ+2cosθ=－的θ的值，本题中的θ是函数y=sinx+2cosx的极小值点，该极小值点恰好使sinθ+2cosθ的导数为0，所以学生4的两边求导得tanθ=是正确的（真相大白）. 当sinθ+2cosθ=时，tanθ也为（与学生4的检验相呼应）.
图1
进一步探究可发现：已知sinθ+2cosθ=c，c∈－，，求tanθ的值.若函数y=sinθ+2cosθ与函数y=c，c∈－，的图象（如图2）在交点处切线的斜率为k，则有（sinθ+2cosθ）′=k，此时不能很便捷地得到答案.
从以上三个案例可以看出，课堂上的“节外生枝”，大都是学生主体参与的结果，它常常是学生探究的源泉，是发展学生能力的助推器.尽管“节外生枝”可能会打乱教师预定的教学步骤，甚至可能使教学内容发生变更，但它符合学生的学情，能带动全班学生挖掘更有价值的问题，产生浓厚的学习兴趣，使学生“其进自不能已”. 如果一堂课与教学设计毫无偏离，某种意义上说不能算是一节成功的课.
毋庸置疑，来自课堂的信息是纷杂的，教师应该根据所“生”之“枝”是否有用而作出正确判断，筛选出学习活动中有利于促进学生进一步学习的情境，及时调整课前预设，深入挖掘. 若超出了学生的最近发展区，使学生得不到相应的研究成果，会造成教学时间的极大浪费，产生低效教学. 这一切对教师的专业化素养和教学艺术提出了更高要求，而这也正是新课改给我们提出的奋斗目标.