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[摘 要]计算机技术的迅速发展给传统的面授课堂带来冲击，也给教学模式带来创新和挑战。云翻转课堂利用智能教育平台或者互联软件，把翻转课堂植入云端，既能保持传统课堂的特色，又能使用平台的便利性。线性代数是大学理工科的基础课程，该文以特征值与特征向量的内容为例，设计了云翻转课堂的教学流程和实施路径，在教学过程中契合了“金课”建设的思想，也为2020年防控疫情特殊环境下“停课不停教”教学模式提供了参考。
[关键词]云翻转课堂;金课;线性代数;特征值;特征向量
[基金项目]2019年度华南农业大学课程类校级质量工程项目“线性代数”（zlgc19024）
[作者简介]林利云（1980—），女，广东梅州人，硕士，华南农业大学数学与信息学院讲师，主要从事数值代数教学与研究。
[中图分类号] G642.4;O151.21 [文献标识码] A [文章编号] 1674-9324（2020）47-0-03 [收稿日期] 2020-08-02
一、云翻转课堂
教学模式是在一定教学思想和教学理论指导下建立起来的较为稳定的教学活动结构框架和活动程序，而教学方法是教学模式的具体化操作办法[1]。计算机技术的飞速发展与教育教学的融合，带来了教学方式的改革与创新，慕课、微课就是这一潮流涌动下的新时代产物。慕课、微课把课堂通過影像的技术保留下来，使得课程的传播范围变广。但是毫无疑问它也是有缺点的，那就是这种课程只能由教师单向传授，缺乏实时的互动和老师对课堂的把控与调整。面对这个缺点，专家们提出了“翻转课堂”的教学模式，就是利用丰富的教学资源，让学生更多的时间自学，然后再通过教师进一步深化的翻转教学，让学生学得更好更透彻。随着互联网技术的进一步完善，这种线下的翻转课堂可以借助智能网络平台移动到在线进行，即云翻转课堂。云翻转课堂教学模式将知识的传递移动到两个方面来进行：一是云课堂外，让学生自主学习或学生合作探究;二是云课堂上，借助先进的互联网技术搭建的交互平台，实现教师和学生之间的积极互动，完成教学要求。
二、云翻转课堂与“金课”
课程的知识观由静态与封闭走向动态与关联;课程价值取向由服务课堂教学转变为为每一个数字公民提供终身学习服务;课程的设计理念由单一与封闭转向开放与互动[2]。在高等教育体系中，课程是人才培养的核心要素，是教师和学生互动的产物，学生从大学里受益最直接、最核心、最显效的就是课程。课程改革的关键是课堂教学，它是课程精华传承和实现“以学生发展为中心”最主要的场所。在“互联网 ”时代，我国高等教育进入提质增效阶段，贯彻以“学生发展为中心”的教育理念，“金课”建设成为课程改革的关键。高等教育司司长吴岩把“金课”归结为“两性一度”：高阶性、创新性和挑战度。高阶性就是知识、能力、素质有机融合，培养学生解决复杂问题的综合能力和高级思维。创新性体现在三个方面：一是课程内容有前沿性和时代性;二是教学形式体现先进性和互动性;三是学习结果具有探究性和个性化。云翻转课堂教学模式改变了传统课堂以及慕课教学中教师单向讲授、学生被动学习的方式，将知识的传递转移到课外学生自主学习，在学生有一定准备的前提下，再在课堂上进行翻转教学，更有利于学生的深度学习，契合了 “金课”高阶性和挑战度的要求。云翻转课堂借助技术的发展，开辟和探索出新的教学模式，体现了教学改革的前沿性和时代性。在2020年疫情防控特殊环境之下，传统课堂教学带来了防控安全隐患，而云翻转课堂的时空灵活性恰恰弥补了这一缺陷，使得“停课不停教，停课不停学”得以顺利进行。
三、基于云翻转课堂的特征值与特征向量的教学范例
“互联网 教育”要求教育信息化以教学理念为先导，以优质教育资源环境建设为基础，以学习方式和教育模式创新为核心[3-4]。课堂教学分教与学两个过程，教师与学生两个主体，彼此相互独立，又相互渗透融合来进行。利用云翻转课堂具有交互性强、反馈及时灵活、网络传播广、可重复学习和考核方式灵活方便的优点，我们建立云翻转课堂的教学流程，改革优化教学过程，从广度和深度上启迪学生，以提高学生的思维能力和自学能力。
结合传统课堂的教学经验，以及线下翻转课堂实施情况，我们设计了基于云翻转课堂教学过程，主要分以下三个步骤完成：（1）课前个性化学习环境的构建（包括教学流程和文本、视频、声频、相关网站链接等），基于互联网的丰富信息，通过课程内容进行学科研究的渗透;（2）云翻转课堂教学活动的设计，利用智能上课平台，激发学生的思考能力和探究能力，通过互动和讨论，进一步学会解决问题的能力;（3）课后自主学习环境的设计，对之前的学习做总结和思考，提出新问题，做进一步的探究。这三个方面按前后次序来进行，也可以通过师生互动的情况灵活地对教学内容进行调整，既能触发教师的教学思考，也能让学生取得更好的学习效果。
线性代数是高等院校非数学类专业的公共基础课，它与学生专业发展密切相关，并且在培养学生对新事物的多维度理解、复杂问题的分解与解决以及高级思维的培育等方面也起着关键性作用。下面以线性代数课程为例，以智慧树平台华南农业大学线性代数慕课课程及线性代数[5]慕课教材为基础，对第7次课“矩阵的特征值与特征向量”开展教学研究和设计，在 “金课”建设要求的指导思想下，给出了云翻转课堂的实施案例。
（一）课前教学活动设计
课前教学活动设计的目标是通过学生提前自主学习知识点，培养良好的自学能力和终身学习的习惯。对于教师来讲，指导课前自学的关键在于设计好自学要求，做到目标明确，内容细致。另外，要有自学的评价体系，对学生的自学提供跟踪核查，在真实的数据反映下，兼顾个性化辅导，优化教学反馈。课前教学活动设计直接影响到云翻转课堂的教学效果。
1.自学目标。了解本节课的主要内容，包括：特征值与特征向量的应用背景;特征值与特征向量的定义;特征值与特征向量的相关性质及其计算方法。 2.学习资源。智慧树网华南农业大学线性代数慕课视频、特征值与特征向量的动画、电子教材网址和特征值与特征向量应用网址等。
3.发布学习任务。观看华南农业大学线性代数慕课视频第2.20节至2.23节，完成在线测试。搜寻资料，小组讨论，整理特征值与特征向量的产生背景，几何意义和应用方向。学习时注意思考如下问题：特征值与特征向量的定义？怎样判断数与向量是否为某一矩阵的特征值与对应特征向量？如何求特征值与特征向量？应用于实际问题反映了什么结果？
4.自学完成任务。学生自学完成以上任务，小组整理讨论资料。自学过程中遇到疑难点的可在智慧树的讨论区讨论，也可以通过QQ、微信等群聊工具，与同学、老师进行交流与反馈。
5.整理反馈意见。在智慧树平台检查学生自学过程的完成度，整理学生反馈问题，特别是教学重难点方面的反馈。根据反馈问题，调整设计翻转课堂教案。
（二）课堂合作学习设计
课堂合作学习设计的目标是使学生在教师引导下内化知识链，提高交流和辨别能力，掌握学习方法，培育高级思维。关键在于教师精心准备翻转课堂的核心问题讨论，教学上善诱善导，吸引学生学习兴趣，让学生积极思考，参与到讨论中来。云翻转课堂的线上教学，可以在智慧树平台、腾讯课堂、钉钉等智能平台上进行。
1.教学目标。理解特征值与特征向量的概念与性质，掌握两者的计算方法。培养学生的自学能力，提高学生的抽象思维和逻辑推理能力来解决实际问题。
2.课前任务检查与讲解。（1）回答问题：①若对某个向量α有Aα=λα成立，λ是否就是A的特征值？②零矩阵O的特征值有哪些？③如何计算一个方阵A的所有特征值？④如何计算一个方阵A的对应于特征值2的所有特征向量？
（2）计算练习：①判断数9与向量是否为矩阵的特征值与对应的特征向量？②求方阵的特征值与特征向量。
根据平台互动框的消息，学生上传的练习结果，讲解容易出错的几个疑难点。即时的反馈，真实的呈现，让学生对问题的理解更加深刻。
3.成果展示交流。根据课前自习准备的资料，选一个小组汇报特征值与特征向量的几何意义与应用，其他小组作讨论补充，让学生多思维多角度去理解概念。
4.主要知识点讲解。课堂准备：智能上课平台，PPT课件，手写板等硬件。结合应用背景，重新梳理特征值、特征向量概念，引导出本节课要掌握的重点内容：特征值的求法，接着通过实例讲解计算技巧，最后给出特征值与特征向量的相关性质的证明。数学公式符号繁杂、内容抽象、过程严谨，除了生动清晰的讲解以外，公式的板书推导对培养学生的逻辑分析能力、推理能力、抽象能力起到关键作用。利用PPT课件和手写板，在智能平台上完全可以实现数学教学的这一要求。另外信息框的实时互动也让所有的同学都可以参与教学过程中的任一互动中来，使得整个翻转课堂既能让学生很好掌握的专业知识，又给学生的思维碰撞提供了一个平台，有利于提高学生的创造力。
5.填空题和选择题的测验并且记录成绩。（1）填空题：设三阶方阵A的三个特征值分别为λ1=1，λ2=0，λ2=-1，求矩阵B=A2 2A-I的特征值分别为
[关键词]云翻转课堂;金课;线性代数;特征值;特征向量
[基金项目]2019年度华南农业大学课程类校级质量工程项目“线性代数”（zlgc19024）
[作者简介]林利云（1980—），女，广东梅州人，硕士，华南农业大学数学与信息学院讲师，主要从事数值代数教学与研究。
[中图分类号] G642.4;O151.21 [文献标识码] A [文章编号] 1674-9324（2020）47-0-03 [收稿日期] 2020-08-02
一、云翻转课堂
教学模式是在一定教学思想和教学理论指导下建立起来的较为稳定的教学活动结构框架和活动程序，而教学方法是教学模式的具体化操作办法[1]。计算机技术的飞速发展与教育教学的融合，带来了教学方式的改革与创新，慕课、微课就是这一潮流涌动下的新时代产物。慕课、微课把课堂通過影像的技术保留下来，使得课程的传播范围变广。但是毫无疑问它也是有缺点的，那就是这种课程只能由教师单向传授，缺乏实时的互动和老师对课堂的把控与调整。面对这个缺点，专家们提出了“翻转课堂”的教学模式，就是利用丰富的教学资源，让学生更多的时间自学，然后再通过教师进一步深化的翻转教学，让学生学得更好更透彻。随着互联网技术的进一步完善，这种线下的翻转课堂可以借助智能网络平台移动到在线进行，即云翻转课堂。云翻转课堂教学模式将知识的传递移动到两个方面来进行：一是云课堂外，让学生自主学习或学生合作探究;二是云课堂上，借助先进的互联网技术搭建的交互平台，实现教师和学生之间的积极互动，完成教学要求。
二、云翻转课堂与“金课”
课程的知识观由静态与封闭走向动态与关联;课程价值取向由服务课堂教学转变为为每一个数字公民提供终身学习服务;课程的设计理念由单一与封闭转向开放与互动[2]。在高等教育体系中，课程是人才培养的核心要素，是教师和学生互动的产物，学生从大学里受益最直接、最核心、最显效的就是课程。课程改革的关键是课堂教学，它是课程精华传承和实现“以学生发展为中心”最主要的场所。在“互联网 ”时代，我国高等教育进入提质增效阶段，贯彻以“学生发展为中心”的教育理念，“金课”建设成为课程改革的关键。高等教育司司长吴岩把“金课”归结为“两性一度”：高阶性、创新性和挑战度。高阶性就是知识、能力、素质有机融合，培养学生解决复杂问题的综合能力和高级思维。创新性体现在三个方面：一是课程内容有前沿性和时代性;二是教学形式体现先进性和互动性;三是学习结果具有探究性和个性化。云翻转课堂教学模式改变了传统课堂以及慕课教学中教师单向讲授、学生被动学习的方式，将知识的传递转移到课外学生自主学习，在学生有一定准备的前提下，再在课堂上进行翻转教学，更有利于学生的深度学习，契合了 “金课”高阶性和挑战度的要求。云翻转课堂借助技术的发展，开辟和探索出新的教学模式，体现了教学改革的前沿性和时代性。在2020年疫情防控特殊环境之下，传统课堂教学带来了防控安全隐患，而云翻转课堂的时空灵活性恰恰弥补了这一缺陷，使得“停课不停教，停课不停学”得以顺利进行。
三、基于云翻转课堂的特征值与特征向量的教学范例
“互联网 教育”要求教育信息化以教学理念为先导，以优质教育资源环境建设为基础，以学习方式和教育模式创新为核心[3-4]。课堂教学分教与学两个过程，教师与学生两个主体，彼此相互独立，又相互渗透融合来进行。利用云翻转课堂具有交互性强、反馈及时灵活、网络传播广、可重复学习和考核方式灵活方便的优点，我们建立云翻转课堂的教学流程，改革优化教学过程，从广度和深度上启迪学生，以提高学生的思维能力和自学能力。
结合传统课堂的教学经验，以及线下翻转课堂实施情况，我们设计了基于云翻转课堂教学过程，主要分以下三个步骤完成：（1）课前个性化学习环境的构建（包括教学流程和文本、视频、声频、相关网站链接等），基于互联网的丰富信息，通过课程内容进行学科研究的渗透;（2）云翻转课堂教学活动的设计，利用智能上课平台，激发学生的思考能力和探究能力，通过互动和讨论，进一步学会解决问题的能力;（3）课后自主学习环境的设计，对之前的学习做总结和思考，提出新问题，做进一步的探究。这三个方面按前后次序来进行，也可以通过师生互动的情况灵活地对教学内容进行调整，既能触发教师的教学思考，也能让学生取得更好的学习效果。
线性代数是高等院校非数学类专业的公共基础课，它与学生专业发展密切相关，并且在培养学生对新事物的多维度理解、复杂问题的分解与解决以及高级思维的培育等方面也起着关键性作用。下面以线性代数课程为例，以智慧树平台华南农业大学线性代数慕课课程及线性代数[5]慕课教材为基础，对第7次课“矩阵的特征值与特征向量”开展教学研究和设计，在 “金课”建设要求的指导思想下，给出了云翻转课堂的实施案例。
（一）课前教学活动设计
课前教学活动设计的目标是通过学生提前自主学习知识点，培养良好的自学能力和终身学习的习惯。对于教师来讲，指导课前自学的关键在于设计好自学要求，做到目标明确，内容细致。另外，要有自学的评价体系，对学生的自学提供跟踪核查，在真实的数据反映下，兼顾个性化辅导，优化教学反馈。课前教学活动设计直接影响到云翻转课堂的教学效果。
1.自学目标。了解本节课的主要内容，包括：特征值与特征向量的应用背景;特征值与特征向量的定义;特征值与特征向量的相关性质及其计算方法。 2.学习资源。智慧树网华南农业大学线性代数慕课视频、特征值与特征向量的动画、电子教材网址和特征值与特征向量应用网址等。
3.发布学习任务。观看华南农业大学线性代数慕课视频第2.20节至2.23节，完成在线测试。搜寻资料，小组讨论，整理特征值与特征向量的产生背景，几何意义和应用方向。学习时注意思考如下问题：特征值与特征向量的定义？怎样判断数与向量是否为某一矩阵的特征值与对应特征向量？如何求特征值与特征向量？应用于实际问题反映了什么结果？
4.自学完成任务。学生自学完成以上任务，小组整理讨论资料。自学过程中遇到疑难点的可在智慧树的讨论区讨论，也可以通过QQ、微信等群聊工具，与同学、老师进行交流与反馈。
5.整理反馈意见。在智慧树平台检查学生自学过程的完成度，整理学生反馈问题，特别是教学重难点方面的反馈。根据反馈问题，调整设计翻转课堂教案。
（二）课堂合作学习设计
课堂合作学习设计的目标是使学生在教师引导下内化知识链，提高交流和辨别能力，掌握学习方法，培育高级思维。关键在于教师精心准备翻转课堂的核心问题讨论，教学上善诱善导，吸引学生学习兴趣，让学生积极思考，参与到讨论中来。云翻转课堂的线上教学，可以在智慧树平台、腾讯课堂、钉钉等智能平台上进行。
1.教学目标。理解特征值与特征向量的概念与性质，掌握两者的计算方法。培养学生的自学能力，提高学生的抽象思维和逻辑推理能力来解决实际问题。
2.课前任务检查与讲解。（1）回答问题：①若对某个向量α有Aα=λα成立，λ是否就是A的特征值？②零矩阵O的特征值有哪些？③如何计算一个方阵A的所有特征值？④如何计算一个方阵A的对应于特征值2的所有特征向量？
（2）计算练习：①判断数9与向量是否为矩阵的特征值与对应的特征向量？②求方阵的特征值与特征向量。
根据平台互动框的消息，学生上传的练习结果，讲解容易出错的几个疑难点。即时的反馈，真实的呈现，让学生对问题的理解更加深刻。
3.成果展示交流。根据课前自习准备的资料，选一个小组汇报特征值与特征向量的几何意义与应用，其他小组作讨论补充，让学生多思维多角度去理解概念。
4.主要知识点讲解。课堂准备：智能上课平台，PPT课件，手写板等硬件。结合应用背景，重新梳理特征值、特征向量概念，引导出本节课要掌握的重点内容：特征值的求法，接着通过实例讲解计算技巧，最后给出特征值与特征向量的相关性质的证明。数学公式符号繁杂、内容抽象、过程严谨，除了生动清晰的讲解以外，公式的板书推导对培养学生的逻辑分析能力、推理能力、抽象能力起到关键作用。利用PPT课件和手写板，在智能平台上完全可以实现数学教学的这一要求。另外信息框的实时互动也让所有的同学都可以参与教学过程中的任一互动中来，使得整个翻转课堂既能让学生很好掌握的专业知识，又给学生的思维碰撞提供了一个平台，有利于提高学生的创造力。
5.填空题和选择题的测验并且记录成绩。（1）填空题：设三阶方阵A的三个特征值分别为λ1=1，λ2=0，λ2=-1，求矩阵B=A2 2A-I的特征值分别为