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《数学课程标准解读》在总目标中提出:学生要“获得适应未来社会生活和继续学习所必需的数学基本知识和技能以及基本的数学思想方法”。我们知道:所谓数学思想方法是对数学知识的本质认识,是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点,而且在认识活动中被反复运用,带有普遍的指导意义,是在提出问题、解决问题(包括数学内部问题和实际问题)过程中,所采用的各种方式、手段、途径等,是解决数学问题的根本策略。掌握好数学思想和方法,培养我们的创新意识是全面提高思维品质的必要条件。但《标准》同时指出:对重要的数学思想方法的学习应当逐级递进,螺旋上升,以符合学生的认知规律。
掌握数学思想方法可以使数学更容易理解和记忆,更重要的是领会数学思想方法是通向成功的“光明之路”,如果把数学思想和方法学好了,在数学思想和方法的指导下运用数学方法驾驭数学知识,就能培养我们的数学能力,数学学习也就得心应手了。
数学思想方法又是处理数学问题的指导思想和基本策略,是数学的灵魂。因此,我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法,是提高思维水平,真正懂得数学的价值,建立科学的数学观念,从而发展数学,运用数学的重要保证。
通览华师版初一数学,笔者认为可以渗透以下一些思想方法:数形结合思想、转化思想、分类讨论思想、方程思想等等。这些数学思想方法具有思维性(即大多能训练学生的思维)、隐蔽性(即书中大多数没有标出来)与实用性(即能激活学生解题思路,指导学生解决数学问题)。而数学素质则包含着数学意识、运算能力、逻辑推理、信息交流和问题解决等几个方面。下面就如何在课堂教学中渗透数学思想方法,提高学生数学素质谈几点看法。
一、渗透数形结合的思想方法
数学家华罗庚说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,“数形结合百般好,隔裂分家万事非”。形与数相比较,有着直观上的优势。中学生相对于抽象思维,普遍更喜欢形象思维,对图形的记忆也总强于对文字、数式的记忆。教师应注意到学生思维方式上的这些特点,在讲授有关的数学知识时,尽可能数形结合、形数对照,使学生对所学内容更易于理解和记忆。而在解决实际问题时,同样应教给学生数形结合的思想方法,启发他们学会对一些数量关系作出“形”的解释,发掘其中“形”的因素,以增加解决问题的有效途径。
作为一种数学思想方法,数形结合的应用大致又可分为两种情形:或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系.这就是说,当我们把数形结合当做数学思想来应用时,数与形两者之中,一个为手段(方法),另一个为目的。事实上,第一种情形数是手段,形为目的;第二种情形是形为手段,数为目的。
例如有这样一道题目:已知m>0,n<0,且|m|<|n|,请你用“<”把m、n、-m、-n和0连接起来。
分析:这道题看起来是有理数比较大小的问题,但用有理数比较大小的法则来解决比较困难,如果启发学生画一条数轴,先在数轴上标出m、n的位置(m在原点的右侧,n在原点的左侧,且n距离原点的距离大于m距离原点的距离),再利用相反数的特点标出-m、-n的位置,这时,利用在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大,就可得出正确结论了。这种处理方式是形为手段,数为目的。
二、渗透分类讨论的思想
分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点,将数学对象区分为不同种类的一种数学思想。分类原则是同一标准下,不重复也不遗漏。在初中数学中,分类的思想到处可见。既有数的分类,也有式和形的分类,既有公式和概念上的分类,也有解题方法上的分类。
例如在上册第9页的《走向数学世界》中有这样一题:求如图所示的3×3的方格中有多少个正方形?
我们设图中每个小方格的边长为1个单位,则图中包含边长为1、2、3的三类正方形。把这三类正方形的个数相加就是图中正方形的总数。
综上可知,分类思想在中考解题中有着广泛的应用,我们在解题中应仔细分析题意,挖掘题目的题设,结论中可能出现的不同的情况,然后采用分类的思想加以解决。
三、渗透转化的思想方法
化归思想是解决数学问题的一种重要思想方法。处理数学问题的实质就是实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等。
比如,在加法的基础上,利用相反数的概念,化归出减法法则(减去一个数,等于加上这个数的相反),使加、减法统一起来,得到了代数和的概念;在乘法的基础上,利用倒数的概念,化归出除法法则(除以一个数,等于乘以这个数的倒数),使互逆的两种运算得到统一。
四、渗透方程的思想
所谓方程思想是指把所研究数学问题中已知量与未知量之间的数量关系,转化为方程或方程组等数学模型,从而使问题得到解决的思维方法。使用方程思想分析、处理问题,思路清晰、灵活简便,在探索解题思路时,经常使用,尤其解决和等量有关的数学问题,非常有效。在考试卷中考查方程思想的试题,随处可见,一般主要有两类:一是列方程(组)解应用问题;二是列方程(组)解其它代数题或几何题。
运用方程求解是解数学题常用的数学思想方法。运用这一方法通常是把问题中要求的量用未知数x来表示,然后根据题意列出方程,求出x的值,从而解决问题。如:四边形ABCD中,四个内角∠A:∠B:∠C:∠D=2:2:3:5,则四个内角的度数分别是;要解决这个问题,可以通过设未知数,列方程来解决。设每一份为x,则根据四边形的内角和等于360°,得2x 2x 3x 5x=360°,解得x=30°,从而求出这四个角分别是60°,60°,90°,150°。
五、渗透整体的思想
整体思想是一个重要的数学观念,对于某些数学问题,如果拘泥常规,从局部着手,则困惑棘手,步伐艰难,如果从整体着眼,则大刀阔斧,长驱直入。
初一新同学在解决代数问题时,习惯上盯着某个局部特征,总想各个击破,分而治之。如果着眼于问题的整体结构,从大处考虑,由整体入手,突出问题的整体结构的分析和改造,这样做往往能收到理想的效果。
例如在《整式的加减》中有这样一道题:已知x y=1,求代数式3(4x -1)-2(3-6y)的值。
分析:如果先求出x、y的值,这是不可能的,然而将3(4x-1)-2(3-6y)变形,运用整体代入法,不仅化难为易,而且妙趣横生。
解:原式=3(4x-1)-2(3-6y)
=12x-3-6 12y
=(12x 12y)-9=12(x y)-9
=12×1-9=3
六、渗透分类的思想方法
分类是根据教学对象的本质属性的异同将其划分为不同种类,即根据教学对象的共同性与差异性,把具有相同属性的归入一类,把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段,在教学中,如果对学过的知识恰当地进行分类,就可以使大量纷繁的知识具有条理性。
如对初一“有理数的加法”教学中,引导学生观察、思考、探究,将有理数的加法分为三类进行研究,正确归纳出有理数加法法则,这样学生不仅掌握了具体的“法则”,而且对“分类”有了深刻的认识,那么在较为复杂的情况下,利用掌握好的分类的思想方法,正确地确定标准,不重不漏地进行分类,从而使看问题更加全面。例如在判断“-a一定小于零吗”利用分类讨论就不会错。
初一数学数学教材中所蕴含的数学思想还很多,注重对学生进行思想方法的培养是素质教育的要求,也是学生学好数学的关键。在平常数学教学中,如果能够重视数学思想方法的渗透,这将有利于引导学生抓住数学的灵魂、掌握数学的精髓。
(作者单位:江苏省宜兴市实验中学)
掌握数学思想方法可以使数学更容易理解和记忆,更重要的是领会数学思想方法是通向成功的“光明之路”,如果把数学思想和方法学好了,在数学思想和方法的指导下运用数学方法驾驭数学知识,就能培养我们的数学能力,数学学习也就得心应手了。
数学思想方法又是处理数学问题的指导思想和基本策略,是数学的灵魂。因此,我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法,是提高思维水平,真正懂得数学的价值,建立科学的数学观念,从而发展数学,运用数学的重要保证。
通览华师版初一数学,笔者认为可以渗透以下一些思想方法:数形结合思想、转化思想、分类讨论思想、方程思想等等。这些数学思想方法具有思维性(即大多能训练学生的思维)、隐蔽性(即书中大多数没有标出来)与实用性(即能激活学生解题思路,指导学生解决数学问题)。而数学素质则包含着数学意识、运算能力、逻辑推理、信息交流和问题解决等几个方面。下面就如何在课堂教学中渗透数学思想方法,提高学生数学素质谈几点看法。
一、渗透数形结合的思想方法
数学家华罗庚说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,“数形结合百般好,隔裂分家万事非”。形与数相比较,有着直观上的优势。中学生相对于抽象思维,普遍更喜欢形象思维,对图形的记忆也总强于对文字、数式的记忆。教师应注意到学生思维方式上的这些特点,在讲授有关的数学知识时,尽可能数形结合、形数对照,使学生对所学内容更易于理解和记忆。而在解决实际问题时,同样应教给学生数形结合的思想方法,启发他们学会对一些数量关系作出“形”的解释,发掘其中“形”的因素,以增加解决问题的有效途径。
作为一种数学思想方法,数形结合的应用大致又可分为两种情形:或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系.这就是说,当我们把数形结合当做数学思想来应用时,数与形两者之中,一个为手段(方法),另一个为目的。事实上,第一种情形数是手段,形为目的;第二种情形是形为手段,数为目的。
例如有这样一道题目:已知m>0,n<0,且|m|<|n|,请你用“<”把m、n、-m、-n和0连接起来。
分析:这道题看起来是有理数比较大小的问题,但用有理数比较大小的法则来解决比较困难,如果启发学生画一条数轴,先在数轴上标出m、n的位置(m在原点的右侧,n在原点的左侧,且n距离原点的距离大于m距离原点的距离),再利用相反数的特点标出-m、-n的位置,这时,利用在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大,就可得出正确结论了。这种处理方式是形为手段,数为目的。
二、渗透分类讨论的思想
分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点,将数学对象区分为不同种类的一种数学思想。分类原则是同一标准下,不重复也不遗漏。在初中数学中,分类的思想到处可见。既有数的分类,也有式和形的分类,既有公式和概念上的分类,也有解题方法上的分类。
例如在上册第9页的《走向数学世界》中有这样一题:求如图所示的3×3的方格中有多少个正方形?
我们设图中每个小方格的边长为1个单位,则图中包含边长为1、2、3的三类正方形。把这三类正方形的个数相加就是图中正方形的总数。
综上可知,分类思想在中考解题中有着广泛的应用,我们在解题中应仔细分析题意,挖掘题目的题设,结论中可能出现的不同的情况,然后采用分类的思想加以解决。
三、渗透转化的思想方法
化归思想是解决数学问题的一种重要思想方法。处理数学问题的实质就是实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等。
比如,在加法的基础上,利用相反数的概念,化归出减法法则(减去一个数,等于加上这个数的相反),使加、减法统一起来,得到了代数和的概念;在乘法的基础上,利用倒数的概念,化归出除法法则(除以一个数,等于乘以这个数的倒数),使互逆的两种运算得到统一。
四、渗透方程的思想
所谓方程思想是指把所研究数学问题中已知量与未知量之间的数量关系,转化为方程或方程组等数学模型,从而使问题得到解决的思维方法。使用方程思想分析、处理问题,思路清晰、灵活简便,在探索解题思路时,经常使用,尤其解决和等量有关的数学问题,非常有效。在考试卷中考查方程思想的试题,随处可见,一般主要有两类:一是列方程(组)解应用问题;二是列方程(组)解其它代数题或几何题。
运用方程求解是解数学题常用的数学思想方法。运用这一方法通常是把问题中要求的量用未知数x来表示,然后根据题意列出方程,求出x的值,从而解决问题。如:四边形ABCD中,四个内角∠A:∠B:∠C:∠D=2:2:3:5,则四个内角的度数分别是;要解决这个问题,可以通过设未知数,列方程来解决。设每一份为x,则根据四边形的内角和等于360°,得2x 2x 3x 5x=360°,解得x=30°,从而求出这四个角分别是60°,60°,90°,150°。
五、渗透整体的思想
整体思想是一个重要的数学观念,对于某些数学问题,如果拘泥常规,从局部着手,则困惑棘手,步伐艰难,如果从整体着眼,则大刀阔斧,长驱直入。
初一新同学在解决代数问题时,习惯上盯着某个局部特征,总想各个击破,分而治之。如果着眼于问题的整体结构,从大处考虑,由整体入手,突出问题的整体结构的分析和改造,这样做往往能收到理想的效果。
例如在《整式的加减》中有这样一道题:已知x y=1,求代数式3(4x -1)-2(3-6y)的值。
分析:如果先求出x、y的值,这是不可能的,然而将3(4x-1)-2(3-6y)变形,运用整体代入法,不仅化难为易,而且妙趣横生。
解:原式=3(4x-1)-2(3-6y)
=12x-3-6 12y
=(12x 12y)-9=12(x y)-9
=12×1-9=3
六、渗透分类的思想方法
分类是根据教学对象的本质属性的异同将其划分为不同种类,即根据教学对象的共同性与差异性,把具有相同属性的归入一类,把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段,在教学中,如果对学过的知识恰当地进行分类,就可以使大量纷繁的知识具有条理性。
如对初一“有理数的加法”教学中,引导学生观察、思考、探究,将有理数的加法分为三类进行研究,正确归纳出有理数加法法则,这样学生不仅掌握了具体的“法则”,而且对“分类”有了深刻的认识,那么在较为复杂的情况下,利用掌握好的分类的思想方法,正确地确定标准,不重不漏地进行分类,从而使看问题更加全面。例如在判断“-a一定小于零吗”利用分类讨论就不会错。
初一数学数学教材中所蕴含的数学思想还很多,注重对学生进行思想方法的培养是素质教育的要求,也是学生学好数学的关键。在平常数学教学中,如果能够重视数学思想方法的渗透,这将有利于引导学生抓住数学的灵魂、掌握数学的精髓。
(作者单位:江苏省宜兴市实验中学)