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（浙江省宁波市象山县丹城第五小学，宁波315000）
【摘 要】以《倍的认识》一课为例，运用磨课的方式改善教法，可以从以下几方面进行实践操作。通过数一数、圈一圈、画一画的方式，使学生建立“2倍”的概念模型，理解“倍”的含义，自主探索“几倍”的数量关系；培养学生的观察、操作、比较和语言表达能力；在学习过程中让学生体验生活处处有数学，培养学生动脑思考及主动探索的精神。这样的教学案例及评析是一种尝试及思考。
【关键词】磨课；数量关系；比较；再创造
笔者曾经参加宁波市小学数学优质课评比活动，和团队中的伙伴们一起努力设计人教版二年级下册《倍的认识》一课。这学期接到 “县小学数学三环课堂”的上课任务，笔者毫不犹豫地选择了《倍的认识》一课，重新研读教材，重新设定教学目标，对教材进行再认识。考虑到“倍”这个概念对三年级的学生来说还是非常抽象的，所以笔者把教学重点放在理解“倍”的含义上，希望通过动手操作、思维碰撞、不断感悟来突破教学重难点。经过一番思考，笔者做出如图教学设计。
教学目标：
1. 通过数一数、圈一圈、画一画的方式，使学生建立“2倍”的概念模型，理解“倍”的含义，自主探索“几倍”的数量关系。
2. 培养学生的观察、操作、比较和有条理的语言表达能力。
3. 在学习过程中让学生体验生活处处有数学，培养学生动脑思考及主动探索的精神。
重点：通过观察、比较、操作，初步理解“倍”的含义。
难点：建立“倍”的概念。
教学目标中，以“2倍”的概念为突破口，让学生建立起“2倍”的概念模型，从而为“几倍”教学建立基础。“倍”的概念对三年级的学生来说是相当抽象的，所以必须为孩子提供一定的学习材料，直观而具体地展现在他们的面前，通过动手操作，加深对概念的理解。所以，第一层次的教学设计定位如下。
一、感知倍数关系，初步建立2倍模型
1. 出示3根胡萝卜、6根红萝卜
师：你是怎么看出来的？（生说）
预设：（1）6÷3=2 这个2是怎么来的？你能不能在图上找出来？（2份，圈一圈）你为什么要3根3根的圈？
（2）你能到上面来摆一摆，让大家一眼就看清楚是这样的关系吗？（生摆）
摆完后继续追问：
①说一说你是怎样想的？那咱们圈一圈，让同学们看得更清楚一些！（结合手势说：这是1个3根、2个3根）
②谁听懂他的意思了？（一生说）板书：3根，2个3根
③规范说：把3根胡萝卜看成1份，红萝卜有这样的2份，就是2个3根，我们就说红萝卜的根数是胡萝卜的2倍。
④谁能像老师这样完整地来说一说？（指名说）其他小朋友会说吗？同桌互相说一说。
学生齐说。
⑤小朋友们真能干，能用规范的数学语言把这两个数量之间的关系说清楚。
正因为概念的抽象，所以这一环节主要是在教师的引导下，慢慢地发现其中的倍数关系，理解“2倍”概念以及如何用规范的数学语言表述清楚。
2. 出示：2只橘子，4只桃子 4只菠萝，8只西瓜
师：你能不能也像刚才那样用上“倍”来说说这些水果数量之间的关系吗？
学生模仿着说一说。
3. 比较3幅图：小兔一家明明给我们带来了数量不同的蔬菜和水果，但是上下两者之间为什么都是2倍关系呢？（都是把数量少的看成1份，数量多的有这样的2份。）
通过两个尝试练习，在模仿中巩固“2倍”的概念模型，让学生再一次感悟“2倍”的含义。然后观察比较三个例子，舍弃各种非本质特征，从而发现“2倍”的共同特性。
4. 试一试：那你能不能创造一个2倍呢？
①展示错误的2份：一份里面少一个的；只有一个量的。
②第二行是第一行的2倍；展示两份：你觉得，只要是怎样创造的就是对的呢？
③展示第一行是第二行的2倍：那应该怎么说才够规范或者说严谨呢？
④小结：看来，两个数量相比较，如果把小数的看成1份，大数有这样的2份，我们就可以说大数是小数的2倍。
这是一个创造环节，让学生在理解了“2倍”含义的基础上，自己动手创造一个“2倍”，发现“2倍”不仅仅局限于“下面的数量是上面的2倍”，而是“大数是小数的2倍”，而且把素材延伸到了图形，使学生对“2倍”的认识从具体到抽象，形成符号化意识，水到渠成，对概念的理解更深了。
二、理解“几倍”关系及标准量的变化
师：兔爸爸最能种萝卜了，它还带来了12根白萝卜呢！
课件出示：12根白萝卜
师：你能不能在这里画上几根胡萝卜，使白萝卜的根数是胡萝卜的几倍？
（1）学生动手画胡萝卜（用圆形代替）。
（2）反馈交流：①2，12；②3，12；③4，12；④6，12；⑤1，12；⑥12，12
1倍：如果有12个胡萝卜，白萝卜的根数是胡萝卜的几倍呢？还可以怎么说？现在你知道什么样的情况下2个数量之间是1倍关系了吗？（举个例子）
（3）比较：都是和12根白萝卜在比较，为什么你们找出来有的是2倍，有的是3倍、4倍、6倍、12倍、1倍，这个倍数怎么都不一样呢？
总结：你们都认为因为这个1份数发生了变化，所以倍数也发生了变化是吗？看来，我们不能小看了这个1份数，它是2个数比较时的标准，比的标准发生变化，倍数也发生了变化。
在这个环节中，教师给学生提供了12根白萝卜，让学生动手画胡萝卜，创造出几倍关系，并知晓“1倍”原来是这么回事。然后通过交流反馈，让学生发现同样是12根白萝卜，创造的倍数为什么不一样呢？深刻理解“标准量”重要性。并通过比较，观察发现标准量越小，倍数关系越大；标准量越大，倍數关系越小。体会到“倍率”的变化。
让学生置身在一定的情境之中，经历它、感受它、考察它，最终认识它、掌握它。每一个环节的设计，都是为了学生更好地理解“倍”的含义，体会“倍”其实就是两个数量相比较的有一种关系，笔者就本案例总结如下。
首先是不断比较，在巧妙处提问。
乌申斯基说：“比较是一切理解和一切思维的基础。我们正是通过比较来了解世界上的一切的……”这就需要我们在不断比较中，舍弃各种非本质的特征，在变化中抓住不变，而这“不变”就是它们的量性特征，就是“倍”的本质。
一问：“小兔一家明明给我们带来了不同数量的蔬菜和水果，但上下两者之间为什么都是2倍关系呢？”，这一问，让学生立刻把水果和蔬菜的非本质特征去掉，找到数量之间的关系，能够明确地指向都是把上面的看成一份，而下面的都有这样的两份，所以它们都是“2倍”关系。
二问：“都是和12根白萝卜在比较，为什么你们找出来有的是2倍，有的是3倍、4倍、6倍、12倍、1倍，这个倍数怎么都不一样呢？”体现出一份数在变，倍数也在变；从上往下观察，一份数越大，倍数反而越小；从下往上观察，一份数越小，倍数反而越大，凸显了“一份数”的重要性。
通过比较，引导学生逐步明晰和把握概念的本质，使认知和理解走向本质。
其次是动手实践，关键处“再创造”。
学生学习数学的过程是一个“再创造”的过程，往往需要通过观察、联想、顿悟进行猜想，最后还需要通过动手实践进行验证，这就是一个“再创造”的过程。
在学生认识感悟了“2倍”概念之后，让学生动手“再创造”一个“2倍”，并以此得出“2倍”的正确模型：两个数量相比较，如果把小数看成1份，大数有这样的2份，我们就可以说大数是小数的2倍。
水到渠成的“再创造”，迫不及待地体验，让学生的学习自然且生动。利用画图表征进行讨论交流，表达出自己构建的概念表征。
一节课，磨炼过三次，能让自己从中体会到很多。从最原先的迷茫到渐渐读懂教材，引领学生走进“倍”的世界，一起“再创造”，教师付出了很多。正所谓，“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，一次次教学实践，带给教师无限多的体验与遐想，在教师经历了无数次磨炼之后，孩子们的“倍”感才能逐渐增多。
【摘 要】以《倍的认识》一课为例，运用磨课的方式改善教法，可以从以下几方面进行实践操作。通过数一数、圈一圈、画一画的方式，使学生建立“2倍”的概念模型，理解“倍”的含义，自主探索“几倍”的数量关系；培养学生的观察、操作、比较和语言表达能力；在学习过程中让学生体验生活处处有数学，培养学生动脑思考及主动探索的精神。这样的教学案例及评析是一种尝试及思考。
【关键词】磨课；数量关系；比较；再创造
笔者曾经参加宁波市小学数学优质课评比活动，和团队中的伙伴们一起努力设计人教版二年级下册《倍的认识》一课。这学期接到 “县小学数学三环课堂”的上课任务，笔者毫不犹豫地选择了《倍的认识》一课，重新研读教材，重新设定教学目标，对教材进行再认识。考虑到“倍”这个概念对三年级的学生来说还是非常抽象的，所以笔者把教学重点放在理解“倍”的含义上，希望通过动手操作、思维碰撞、不断感悟来突破教学重难点。经过一番思考，笔者做出如图教学设计。
教学目标：
1. 通过数一数、圈一圈、画一画的方式，使学生建立“2倍”的概念模型，理解“倍”的含义，自主探索“几倍”的数量关系。
2. 培养学生的观察、操作、比较和有条理的语言表达能力。
3. 在学习过程中让学生体验生活处处有数学，培养学生动脑思考及主动探索的精神。
重点：通过观察、比较、操作，初步理解“倍”的含义。
难点：建立“倍”的概念。
教学目标中，以“2倍”的概念为突破口，让学生建立起“2倍”的概念模型，从而为“几倍”教学建立基础。“倍”的概念对三年级的学生来说是相当抽象的，所以必须为孩子提供一定的学习材料，直观而具体地展现在他们的面前，通过动手操作，加深对概念的理解。所以，第一层次的教学设计定位如下。
一、感知倍数关系，初步建立2倍模型
1. 出示3根胡萝卜、6根红萝卜
师：你是怎么看出来的？（生说）
预设：（1）6÷3=2 这个2是怎么来的？你能不能在图上找出来？（2份，圈一圈）你为什么要3根3根的圈？
（2）你能到上面来摆一摆，让大家一眼就看清楚是这样的关系吗？（生摆）
摆完后继续追问：
①说一说你是怎样想的？那咱们圈一圈，让同学们看得更清楚一些！（结合手势说：这是1个3根、2个3根）
②谁听懂他的意思了？（一生说）板书：3根，2个3根
③规范说：把3根胡萝卜看成1份，红萝卜有这样的2份，就是2个3根，我们就说红萝卜的根数是胡萝卜的2倍。
④谁能像老师这样完整地来说一说？（指名说）其他小朋友会说吗？同桌互相说一说。
学生齐说。
⑤小朋友们真能干，能用规范的数学语言把这两个数量之间的关系说清楚。
正因为概念的抽象，所以这一环节主要是在教师的引导下，慢慢地发现其中的倍数关系，理解“2倍”概念以及如何用规范的数学语言表述清楚。
2. 出示：2只橘子，4只桃子 4只菠萝，8只西瓜
师：你能不能也像刚才那样用上“倍”来说说这些水果数量之间的关系吗？
学生模仿着说一说。
3. 比较3幅图：小兔一家明明给我们带来了数量不同的蔬菜和水果，但是上下两者之间为什么都是2倍关系呢？（都是把数量少的看成1份，数量多的有这样的2份。）
通过两个尝试练习，在模仿中巩固“2倍”的概念模型，让学生再一次感悟“2倍”的含义。然后观察比较三个例子，舍弃各种非本质特征，从而发现“2倍”的共同特性。
4. 试一试：那你能不能创造一个2倍呢？
①展示错误的2份：一份里面少一个的；只有一个量的。
②第二行是第一行的2倍；展示两份：你觉得，只要是怎样创造的就是对的呢？
③展示第一行是第二行的2倍：那应该怎么说才够规范或者说严谨呢？
④小结：看来，两个数量相比较，如果把小数的看成1份，大数有这样的2份，我们就可以说大数是小数的2倍。
这是一个创造环节，让学生在理解了“2倍”含义的基础上，自己动手创造一个“2倍”，发现“2倍”不仅仅局限于“下面的数量是上面的2倍”，而是“大数是小数的2倍”，而且把素材延伸到了图形，使学生对“2倍”的认识从具体到抽象，形成符号化意识，水到渠成，对概念的理解更深了。
二、理解“几倍”关系及标准量的变化
师：兔爸爸最能种萝卜了，它还带来了12根白萝卜呢！
课件出示：12根白萝卜
师：你能不能在这里画上几根胡萝卜，使白萝卜的根数是胡萝卜的几倍？
（1）学生动手画胡萝卜（用圆形代替）。
（2）反馈交流：①2，12；②3，12；③4，12；④6，12；⑤1，12；⑥12，12
1倍：如果有12个胡萝卜，白萝卜的根数是胡萝卜的几倍呢？还可以怎么说？现在你知道什么样的情况下2个数量之间是1倍关系了吗？（举个例子）
（3）比较：都是和12根白萝卜在比较，为什么你们找出来有的是2倍，有的是3倍、4倍、6倍、12倍、1倍，这个倍数怎么都不一样呢？
总结：你们都认为因为这个1份数发生了变化，所以倍数也发生了变化是吗？看来，我们不能小看了这个1份数，它是2个数比较时的标准，比的标准发生变化，倍数也发生了变化。
在这个环节中，教师给学生提供了12根白萝卜，让学生动手画胡萝卜，创造出几倍关系，并知晓“1倍”原来是这么回事。然后通过交流反馈，让学生发现同样是12根白萝卜，创造的倍数为什么不一样呢？深刻理解“标准量”重要性。并通过比较，观察发现标准量越小，倍数关系越大；标准量越大，倍數关系越小。体会到“倍率”的变化。
让学生置身在一定的情境之中，经历它、感受它、考察它，最终认识它、掌握它。每一个环节的设计，都是为了学生更好地理解“倍”的含义，体会“倍”其实就是两个数量相比较的有一种关系，笔者就本案例总结如下。
首先是不断比较，在巧妙处提问。
乌申斯基说：“比较是一切理解和一切思维的基础。我们正是通过比较来了解世界上的一切的……”这就需要我们在不断比较中，舍弃各种非本质的特征，在变化中抓住不变，而这“不变”就是它们的量性特征，就是“倍”的本质。
一问：“小兔一家明明给我们带来了不同数量的蔬菜和水果，但上下两者之间为什么都是2倍关系呢？”，这一问，让学生立刻把水果和蔬菜的非本质特征去掉，找到数量之间的关系，能够明确地指向都是把上面的看成一份，而下面的都有这样的两份，所以它们都是“2倍”关系。
二问：“都是和12根白萝卜在比较，为什么你们找出来有的是2倍，有的是3倍、4倍、6倍、12倍、1倍，这个倍数怎么都不一样呢？”体现出一份数在变，倍数也在变；从上往下观察，一份数越大，倍数反而越小；从下往上观察，一份数越小，倍数反而越大，凸显了“一份数”的重要性。
通过比较，引导学生逐步明晰和把握概念的本质，使认知和理解走向本质。
其次是动手实践，关键处“再创造”。
学生学习数学的过程是一个“再创造”的过程，往往需要通过观察、联想、顿悟进行猜想，最后还需要通过动手实践进行验证，这就是一个“再创造”的过程。
在学生认识感悟了“2倍”概念之后，让学生动手“再创造”一个“2倍”，并以此得出“2倍”的正确模型：两个数量相比较，如果把小数看成1份，大数有这样的2份，我们就可以说大数是小数的2倍。
水到渠成的“再创造”，迫不及待地体验，让学生的学习自然且生动。利用画图表征进行讨论交流，表达出自己构建的概念表征。
一节课，磨炼过三次，能让自己从中体会到很多。从最原先的迷茫到渐渐读懂教材，引领学生走进“倍”的世界，一起“再创造”，教师付出了很多。正所谓，“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，一次次教学实践，带给教师无限多的体验与遐想，在教师经历了无数次磨炼之后，孩子们的“倍”感才能逐渐增多。