二维柯西不等式的几种证明方法

• 作 者: 徐大刚
• 出 处: 速读·中旬
• 发表日期: 2018年8期

　　柯西不等式在不等式证明中占有重要的地位，而二维柯西不等式在高中数学竞赛中有会成为“常客”，且二维柯西不等式在高中数学中的代数、几何、三角等各个方面都有联系，熟悉这些联系能本质地把握不等式，并更自觉地应用它，本文将从多个角度来证明该不等式。
　　二维柯西不等式：若a、b、c、d∈R，则
　　[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]
　　证明：若[a2+b2=0]或[c2+d2=0]时，不等式显然成立。
　　现证明[a2+b2≠0]且[c2+d2≠0]的情况。
　　证法一：向量法：
　　设[m=（a]，[b）] [n=（c]，[d）]
　　[m=a2+b2] [n=c2+d2]
　　[∴m·n=ac+bd]
　　[又∵m·n≤m·n]
　　[∴ac+bd≤a2+b2·] [c2+d2]
　　两边平方得：[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]
　　當且仅当[m]与[n]共线时取等号
　　证法二：全量不小于部分：
　　[∵a2+b2c2+d2=（ac+bd）2+（ad-bc）2]
　　[（ac+bd）2+（ad-bc）2≥（ac+bd）2]
　　∴[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]
　　当且仅当ad=bc时取等号。
　　证法三：复数的模不小于实部（虚部）：
　　设[Z1=a-bi] [Z2=c-di]
　　则[Z1=a2+b2] [Z2=c2+d2]
　　[Z1·Z2=ac+bd+ad-bci]
　　[Z1][·][Z2][=][a2+b2·c2+d2][=][（ac+bd）2+（ad-bc）2][=][Z1·Z2]
　　而[Z1] [·][Z2][=][（ac+bd）2+（ad-bc）2]≥[ac+bd2][=][ac+bd]
　　[∴a2+b2·c2+d2≥ac+bd]
　　∴[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]
　　证法四：斜线段不小于垂线段：
　　[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]等价于[ac+bda2+b2≤c2+d2]
　　建立平面直角坐标系，设B（c，d） A（b，-a），直线OA：ax+by=0
　　设点B到直线OA的距离为BH，
　　[BH=ac+bda2+b2]
　　[∵BH≤OB]
　　[ac+bda2+b2≤c2+d2]
　　[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]
　　证法五：余弦定理：
　　建立平面直角坐标系，设A（a，b） B（c，d）
　　则在[△AOB]中
　　[cos∠AOB=OA2+OB2-AB22OA·OB]
　　=[a2+b2+c2+d2-（a-c）2+（b-d）22a2+b2·c2+d2]
　　=[ac+bda2+b2·c2+d2]
　　∵[cos∠AOB≤1]
　　∴[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]
　　证法六：判别式法：
　　构造二次函数[f（x）=a2+b2x2-2ac+bdx+c2+d2]
　　∵[f（x）=a2+b2x2-2ac+bdx+c2+d2]
　　=[（ax-c）2+（bx-d）2≥0]
　　∴可知判别式不大于0
　　即：[△=4ac+bd2-4a2+b2c2+d2≤0]
　　∴[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]
　　参考文献
　　[1]罗增儒.高中数学奥林匹克.陕西师范大学出版社.
　　[2]全日制普通高级中学教材书·数学第二册（上）.