论文部分内容阅读
从有文字记载开始，圆周率就引起了古今中外学者们的兴趣.圆周率最早是在解决有关圆的计算问题中被发现的.仅凭这一点，求出它的尽量准确的数值，就是一个极其迫切的问题了.事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动.为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的.我们可以将这一计算历程分为几个阶段.
一、发现时期
二、几何法时期
对于祖冲之的关于圆周率的第二点贡献，即他选用两个简单的分数尤其是用密率来近似地表示π这一点，人们通常不会太注意.然而，实际上，后者在数学上有更重要的意义.
密率与π的近似程度很好，但形式上却很简单，并且很优美，只用到了数字1、3、5.数学史家梁宗巨教授验证出：分母小于16604的一切分数中，没有比密率更接近 π 的分数.在国外，祖冲之死后一千多年，西方人才获得这一结果.
可见，密率的提出是一件很不简单的事情.人们自然要追究他是采用什么办法得到这一结果的呢？他是用什么办法把圆周率从小数表示的近似值化为近似分数的呢？这一问题历来为数学史家所关注.由于文献的失传，祖冲之的求法已不为人知，后人对此进行了各种猜测.
我们再回过头来看一下国外所取得的成果.
1150年，印度数学家婆什迦罗也计算出 π＝3927/1250 ＝3.1416. 1424年，中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西著作的《圆周论》，计算了3×228＝805306368边内接与外切正多边形的周长，求出 π 值，他的结果是:
π＝3.14159265358979325，有十七位准确数字.这是国外第一次打破祖冲之的纪录.
17世纪初，德国人鲁道夫用了几乎一生的时间钻研这个问题.他也将新的十进制与早期的阿基米德方法结合起来，但他不是从正六边形开始并将其边数翻番的，他是从正方形开始的，一直推导出了有262条边的正多边形，这样，算出小数35位.为了纪念他的这一非凡成果，在德国圆周率 π 被称为“鲁道夫数”.但是，用几何方法求其值，计算量很大，这样算下去，数学家用尽一生的精力也改进不了多少.到鲁道夫可以说已经登峰造极，古典方法已引导数学家们走得很远，再向前推进，必须在方法上有所突破.
三、分析法时期
这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算 π .
19世纪以后，类似的公式不断涌现， π 的位数也迅速增长.1873年，谢克斯利用梅钦的一系列方法，将 π 算到小数点后707位.为了得到这项空前的纪录，他花费了20年的时间.他死后，人们将这凝聚着他毕生心血的数值，铭刻在他的墓碑上，以颂扬他顽强的意志和坚韧不拔的毅力.于是在他的墓碑上留下了他一生心血的结晶：π的小数点后707位数值.这一惊人的结果成为此后74年的标准.此后半个世纪，人们对他的计算结果深信不疑，或者说即便怀疑也没有办法来检查它是否正确.以致于在1937年巴黎博览会发现馆的天井里，依然显赫地刻着他求出的π值.
又过了若干年，数学家弗格森对他的计算结果产生了怀疑，其疑问基于如下猜想：在 π 的数值中，尽管各数字排列没有规律可循，但是各数码出现的机会应该相同.当他对谢克斯的结果进行统计时，发现各数字出现次数过于参差不齐，于是他怀疑有误.他使用了当时所能找到的最先进的计算工具，从1944年5月到1945年5月，算了整整一年.1946年，弗格森发现第528位是错的（应为4，误为5）.谢克斯的值中足足有一百多位全都作费了，这把可怜的谢克斯和他的15年浪费了的光阴全部一笔勾销了.
对此，有人曾嘲笑他说：数学史在记录了诸如阿基米德、费马等人的著作之余，也将会挤出那么一二行的篇幅来记述1873年前谢克斯曾把 π 计算到小数点后707位这件事.这样，他也许会觉得自己的生命没有虚度.如果确实是这样的话，他的目的达到了.
人们对这些在地球的各个角落里作出不懈努力的人感到不可理解，这可能是正常的.但是，对此做出的嘲笑却是过于残忍了.人的能力是不同的，我们无法要求每个人都成为费马、高斯那样的人物.但成为不了伟大的数学家，并不意味着我们就不能为这个社会做出自己有限的贡献.人各有其长，作为一个精力充沛的计算者，谢克斯愿意献出一生的大部分时光从事这项工作，并最终为世界上的知识宝库添了一小块砖加了一小块瓦.对此我们不应为他的不懈努力而感染并从中得到一些启发与教育吗？
1948年1月弗格森和伦奇两人共同发表有808位正确小数的 π .这是人工计算 π 的最高记录.
四、计算机时期
1946年，世界第一台计算机ENIAC制造成功，标志着人类历史迈入了电脑时代.电脑的出现导致了计算方面的根本革命.1949年，ENIAC根据梅钦公式计算到2035（一说是2037）位小数，包括准备和整理时间在内仅用了70小时.计算机的发展一日千里，其纪录也就被频频打破.
（一）一个时代的开始
1973年，有人就把圆周率算到了小数点后100万位，并将结果印成一本二百页厚的书，可谓世界上最枯燥无味的书了.1989年突破10亿大关，1995年10月超过64亿位.1999年9月30日，《文摘报》报道，日本东京大学教授金田康正已求到2061.5843亿位的小数值.如果将这些数字打印在A4大小的复印纸上，令每页印2万位数字，那么，这些纸摞起来将高达五六百米.来自最新的报道：金田康正利用一台超级计算机，计算出圆周率小数点后一兆二千四百一十一亿位数，改写了他本人两年前创造的纪录.据悉，金田教授与日立制作所的员工合作，利用目前计算能力居世界第二十六位的超级计算机，使用新的计算方法，耗时四百多个小时，才计算出新的数位，比他1999年9月计算出的小数点后二千六百一十一位提高了六倍.圆周率小数点后第一兆位数是2，第一兆二千四百一十一亿位数为5.如果一秒钟读一位数，大约四万年后才能读完.
不过，现在打破纪录，不管推进到多少位，也不会令人感到特别的惊奇了.实际上，把 π 的数值算得过分精确，应用意义并不大.现代科技领域使用的 π 值，有十几位已经足够.如果用鲁道夫的35位小数的 π 值计算一个能把太阳系包围起来的圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一.我们还可以引用美国天文学家西蒙·纽克姆的话来说明这种计算的实用价值： “十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内，三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量.”
那么为什么数学家们还象登山运动员那样，奋力向上攀登，一直求下去而不是停止对 π 的探索呢？为什么其小数值有如此大的魅力呢？
这其中大概免不了有人类的好奇心与领先于人的心态作怪，但除此之外，还有许多其它原因.
（二）奔腾与圆周率之间的奇妙关系
1.圆周率现在可以被人们用来测试或检验超级计算机的各项性能，特别是运算速度与计算过程的稳定性.这对计算机本身的改进至关重要.就在几年前，当Intel公司推出奔腾（Pentium）时，发现它有一点小问题，这问题正是通过运行 π 的计算而找到的.这正是超高精度的 π 计算直到今天仍然有重要意义的原因之一.
2.计算的方法和思路可以引发新的概念和思想.虽然计算机的计算速度超出任何人的想象，但毕竟还需要由数学家去编制程序，指导计算机正确运算.实际上，确切地说，当我们把 π 的计算历史划分出一个电子计算机时期时，这并非意味着计算方法上的改进，而只是计算工具有了一个大飞跃而已.因而如何改进计算技术，研究出更好的计算公式，使公式收敛得更快，能极快地达到较大的精确度仍是数学家们面对的一个重要课题.在这方面，印度天才数学家拉马努扬得出了一些很好的结果.他发现了许多能够快速而精确地计算 π 近似值的公式.他的见解开通了更有效地计算 π 近似值的思路.现在计算机计算 π 值的公式就是由他得到的.
3.还有一个关于 π 的计算的问题是：我们能否无限地继续算下去？答案是：不行！根据朱达偌夫斯基的估计，我们最多算1077位.虽然，现在我们离这一极限还相差很远很远，但这毕竟是一个界限.为了不受这一界限的约束，就需要从计算理论上有新的突破.前面我们所提到的计算，不管用什么公式都必须从头算起，一旦前面的某一位出错，后面的数值完全没有意义.还记得令人遗憾的谢克斯吗？他就是历史上最惨痛的教训.
4.于是，有人想能否计算时不从头开始，而是从半截开始呢？这一根本性的想法就是寻找并行算法公式.1996年，圆周率的并行算法公式终于找到，但这是一个16进制的公式，这样很容易得出的1000亿位的数值，只不过是16进制的.是否有10进制的并行计算公式，仍是未来数学的一大难题.
6.在这方面，还有如下的统计结果：在60亿数字中已出现连在一起的8个8，9个7，10个6；小数点后第710150位与3204765位开始，均连续出现了7个3；小数点后第2747956位起，出现了有趣的数列876543210，遗憾的是前面缺个9；还有更有趣的数列123456789也出现了.
如果继续算下去，看来各种类型的数字排列组合可能都会出现.
（三） π 的其它计算方法
1850年，一位叫沃尔夫的人在投掷5000多次后，得到 π 的近似值为3.1596.目前宣称用这种方法得到最好结果的是意大利人拉兹瑞尼.在1901年，他重复这项实验，作了3408次投针，求得 π 的近似值为3.1415929，这个结果是如此准确，以致于很多人怀疑其实验的真伪.不过，蒲丰实验的重要性并非是为了求得比其它方法更精确的 π 值.蒲丰投针问题的重要性在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子.计算 π 的这一方法，不但因其新颖、奇妙而让人叫绝，而且他开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，是用偶然性方法去解决确定性计算的前导.
通过几何、微积分、概率等广泛的方法和渠道发现 π ，这充分显示了数学方法的奇异美. π 竟然与这些表面看来风马牛不相及的试验沟通在一起，这的确使人惊讶不已！
一、发现时期
二、几何法时期
对于祖冲之的关于圆周率的第二点贡献，即他选用两个简单的分数尤其是用密率来近似地表示π这一点，人们通常不会太注意.然而，实际上，后者在数学上有更重要的意义.
密率与π的近似程度很好，但形式上却很简单，并且很优美，只用到了数字1、3、5.数学史家梁宗巨教授验证出：分母小于16604的一切分数中，没有比密率更接近 π 的分数.在国外，祖冲之死后一千多年，西方人才获得这一结果.
可见，密率的提出是一件很不简单的事情.人们自然要追究他是采用什么办法得到这一结果的呢？他是用什么办法把圆周率从小数表示的近似值化为近似分数的呢？这一问题历来为数学史家所关注.由于文献的失传，祖冲之的求法已不为人知，后人对此进行了各种猜测.
我们再回过头来看一下国外所取得的成果.
1150年，印度数学家婆什迦罗也计算出 π＝3927/1250 ＝3.1416. 1424年，中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西著作的《圆周论》，计算了3×228＝805306368边内接与外切正多边形的周长，求出 π 值，他的结果是:
π＝3.14159265358979325，有十七位准确数字.这是国外第一次打破祖冲之的纪录.
17世纪初，德国人鲁道夫用了几乎一生的时间钻研这个问题.他也将新的十进制与早期的阿基米德方法结合起来，但他不是从正六边形开始并将其边数翻番的，他是从正方形开始的，一直推导出了有262条边的正多边形，这样，算出小数35位.为了纪念他的这一非凡成果，在德国圆周率 π 被称为“鲁道夫数”.但是，用几何方法求其值，计算量很大，这样算下去，数学家用尽一生的精力也改进不了多少.到鲁道夫可以说已经登峰造极，古典方法已引导数学家们走得很远，再向前推进，必须在方法上有所突破.
三、分析法时期
这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算 π .
19世纪以后，类似的公式不断涌现， π 的位数也迅速增长.1873年，谢克斯利用梅钦的一系列方法，将 π 算到小数点后707位.为了得到这项空前的纪录，他花费了20年的时间.他死后，人们将这凝聚着他毕生心血的数值，铭刻在他的墓碑上，以颂扬他顽强的意志和坚韧不拔的毅力.于是在他的墓碑上留下了他一生心血的结晶：π的小数点后707位数值.这一惊人的结果成为此后74年的标准.此后半个世纪，人们对他的计算结果深信不疑，或者说即便怀疑也没有办法来检查它是否正确.以致于在1937年巴黎博览会发现馆的天井里，依然显赫地刻着他求出的π值.
又过了若干年，数学家弗格森对他的计算结果产生了怀疑，其疑问基于如下猜想：在 π 的数值中，尽管各数字排列没有规律可循，但是各数码出现的机会应该相同.当他对谢克斯的结果进行统计时，发现各数字出现次数过于参差不齐，于是他怀疑有误.他使用了当时所能找到的最先进的计算工具，从1944年5月到1945年5月，算了整整一年.1946年，弗格森发现第528位是错的（应为4，误为5）.谢克斯的值中足足有一百多位全都作费了，这把可怜的谢克斯和他的15年浪费了的光阴全部一笔勾销了.
对此，有人曾嘲笑他说：数学史在记录了诸如阿基米德、费马等人的著作之余，也将会挤出那么一二行的篇幅来记述1873年前谢克斯曾把 π 计算到小数点后707位这件事.这样，他也许会觉得自己的生命没有虚度.如果确实是这样的话，他的目的达到了.
人们对这些在地球的各个角落里作出不懈努力的人感到不可理解，这可能是正常的.但是，对此做出的嘲笑却是过于残忍了.人的能力是不同的，我们无法要求每个人都成为费马、高斯那样的人物.但成为不了伟大的数学家，并不意味着我们就不能为这个社会做出自己有限的贡献.人各有其长，作为一个精力充沛的计算者，谢克斯愿意献出一生的大部分时光从事这项工作，并最终为世界上的知识宝库添了一小块砖加了一小块瓦.对此我们不应为他的不懈努力而感染并从中得到一些启发与教育吗？
1948年1月弗格森和伦奇两人共同发表有808位正确小数的 π .这是人工计算 π 的最高记录.
四、计算机时期
1946年，世界第一台计算机ENIAC制造成功，标志着人类历史迈入了电脑时代.电脑的出现导致了计算方面的根本革命.1949年，ENIAC根据梅钦公式计算到2035（一说是2037）位小数，包括准备和整理时间在内仅用了70小时.计算机的发展一日千里，其纪录也就被频频打破.
（一）一个时代的开始
1973年，有人就把圆周率算到了小数点后100万位，并将结果印成一本二百页厚的书，可谓世界上最枯燥无味的书了.1989年突破10亿大关，1995年10月超过64亿位.1999年9月30日，《文摘报》报道，日本东京大学教授金田康正已求到2061.5843亿位的小数值.如果将这些数字打印在A4大小的复印纸上，令每页印2万位数字，那么，这些纸摞起来将高达五六百米.来自最新的报道：金田康正利用一台超级计算机，计算出圆周率小数点后一兆二千四百一十一亿位数，改写了他本人两年前创造的纪录.据悉，金田教授与日立制作所的员工合作，利用目前计算能力居世界第二十六位的超级计算机，使用新的计算方法，耗时四百多个小时，才计算出新的数位，比他1999年9月计算出的小数点后二千六百一十一位提高了六倍.圆周率小数点后第一兆位数是2，第一兆二千四百一十一亿位数为5.如果一秒钟读一位数，大约四万年后才能读完.
不过，现在打破纪录，不管推进到多少位，也不会令人感到特别的惊奇了.实际上，把 π 的数值算得过分精确，应用意义并不大.现代科技领域使用的 π 值，有十几位已经足够.如果用鲁道夫的35位小数的 π 值计算一个能把太阳系包围起来的圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一.我们还可以引用美国天文学家西蒙·纽克姆的话来说明这种计算的实用价值： “十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内，三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量.”
那么为什么数学家们还象登山运动员那样，奋力向上攀登，一直求下去而不是停止对 π 的探索呢？为什么其小数值有如此大的魅力呢？
这其中大概免不了有人类的好奇心与领先于人的心态作怪，但除此之外，还有许多其它原因.
（二）奔腾与圆周率之间的奇妙关系
1.圆周率现在可以被人们用来测试或检验超级计算机的各项性能，特别是运算速度与计算过程的稳定性.这对计算机本身的改进至关重要.就在几年前，当Intel公司推出奔腾（Pentium）时，发现它有一点小问题，这问题正是通过运行 π 的计算而找到的.这正是超高精度的 π 计算直到今天仍然有重要意义的原因之一.
2.计算的方法和思路可以引发新的概念和思想.虽然计算机的计算速度超出任何人的想象，但毕竟还需要由数学家去编制程序，指导计算机正确运算.实际上，确切地说，当我们把 π 的计算历史划分出一个电子计算机时期时，这并非意味着计算方法上的改进，而只是计算工具有了一个大飞跃而已.因而如何改进计算技术，研究出更好的计算公式，使公式收敛得更快，能极快地达到较大的精确度仍是数学家们面对的一个重要课题.在这方面，印度天才数学家拉马努扬得出了一些很好的结果.他发现了许多能够快速而精确地计算 π 近似值的公式.他的见解开通了更有效地计算 π 近似值的思路.现在计算机计算 π 值的公式就是由他得到的.
3.还有一个关于 π 的计算的问题是：我们能否无限地继续算下去？答案是：不行！根据朱达偌夫斯基的估计，我们最多算1077位.虽然，现在我们离这一极限还相差很远很远，但这毕竟是一个界限.为了不受这一界限的约束，就需要从计算理论上有新的突破.前面我们所提到的计算，不管用什么公式都必须从头算起，一旦前面的某一位出错，后面的数值完全没有意义.还记得令人遗憾的谢克斯吗？他就是历史上最惨痛的教训.
4.于是，有人想能否计算时不从头开始，而是从半截开始呢？这一根本性的想法就是寻找并行算法公式.1996年，圆周率的并行算法公式终于找到，但这是一个16进制的公式，这样很容易得出的1000亿位的数值，只不过是16进制的.是否有10进制的并行计算公式，仍是未来数学的一大难题.
6.在这方面，还有如下的统计结果：在60亿数字中已出现连在一起的8个8，9个7，10个6；小数点后第710150位与3204765位开始，均连续出现了7个3；小数点后第2747956位起，出现了有趣的数列876543210，遗憾的是前面缺个9；还有更有趣的数列123456789也出现了.
如果继续算下去，看来各种类型的数字排列组合可能都会出现.
（三） π 的其它计算方法
1850年，一位叫沃尔夫的人在投掷5000多次后，得到 π 的近似值为3.1596.目前宣称用这种方法得到最好结果的是意大利人拉兹瑞尼.在1901年，他重复这项实验，作了3408次投针，求得 π 的近似值为3.1415929，这个结果是如此准确，以致于很多人怀疑其实验的真伪.不过，蒲丰实验的重要性并非是为了求得比其它方法更精确的 π 值.蒲丰投针问题的重要性在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子.计算 π 的这一方法，不但因其新颖、奇妙而让人叫绝，而且他开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，是用偶然性方法去解决确定性计算的前导.
通过几何、微积分、概率等广泛的方法和渠道发现 π ，这充分显示了数学方法的奇异美. π 竟然与这些表面看来风马牛不相及的试验沟通在一起，这的确使人惊讶不已！