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【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）15-00-03
函数的对称性和周期性是函数重要的两大性质，而函数的性质是高中数学函数部分的一个重点内容。历年高考和竞赛题重点考察内容之一也是函数的定义域、值域、解析式、奇偶性、单调性、对称性、周期性、图像、极值和最值等性质。函数的对称性和周期性不仅广泛存在于数学问题之中，在我们的日常生活中也能经常遇见，而且利用对称性和周期性往往能更简捷地使问题得到解决，对称性和周期性关系还充分体现数学之美。本文就函数的对称性和周期性之间的关系加以探讨。
一、函数的对称性
（一）函数对称性的定义
函数的对称有自对称和互对称。自对称是指同一个函数图像的对称（中心对称或轴对称），图像是其本身；互对称是指两个函数图像上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。函数对称还有轴对称和点对称。
（二）函数自对称的相关结论
结论1：函数的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是。
上述关系式也可以写成或。
简证：设点在上，即，通过可知，，所以，所以点也在上，而点与关于点对称。得证。
特别地：函数的图像关于原点（0，0）对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0。即：a=b=0
推论1：如果函数满足，则函数的图象关于点对称
推论2：若，即：，则的图像关于点对称。
推论3：若，则的图像关于点对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。）
证明：在函数上任取一点，则。点关于点（，）的对称点为（，c-），当时，，即点（，c-）在函数的图象上。由于点为函数图象上的任意一点可知，函数的图象关于点（，）对称。
结论2：函数的图像关于直线x=a对称的充要条件是或或。（即：可以改写成或。）
特别地：函数的图像关于y轴（x=0）对称的充要条件是f（x）=f（-x）。即：a=0。
推论：函数满足的充要条件是的图象关于直线对称。（注：当a=b=0时，该函数为偶函数。）
注：假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c（x，y）=0，则有可能会出现关于对称。比如：圆它会关于y=0对称。
（三）函数互对称的相关结论
结论1.函数与关于x轴对称。换种说法：与若满足，则它们关于对称。
结论2.函数与关于y轴对称。换种说法：函数与若满足，则它们关于对称。
结论3.函数与的图像关于直线x=y成轴对称图形。
结论4.函数与的图像关于直线x=a成轴对称。换种说法：函数与若满足，则它们关于对称。
结论5.函数与关于直线对称。换种说法：与若满足，则它们关于对称。
结论6.函数的图象与的图象关于直线对称。
证明：在函数上任取一点，则，
点关于直线对称点（，）。由于，故点（，）在函数上。由点是函数图象上任一点，因此与关于直线对称。
结论7.函数与函数的图像关于直线对称。
结论8.函数与关于直线对称。
结论9.函数与的图象关于点对称。换种说法，函数与若满足，则函数它们关于点对称.
结论10.函数与的图象关于点对称。换种说法，函数与若满足，则它们关于点对称.
结论11.函数与函数的图像关于点对称。换种说法，函数与函数若满足，则它们的图像关于点对称。
结论12.函数与的图像关于点A（a，b）成中心对称。换种说法：与若满足，则它们关于点（a，b）对称。
下面的几个结论用解析几何中的对称曲线轨迹方程来理解：
结论13.曲线与曲线关于直线对称。
结论14.曲线与曲线关于直线对称。
结论15.曲线与曲线关于直线对称。
结论16.曲线与曲线关于点对称。
二、函数的周期性
（一）周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
（二）周期性的相关结论
结论1：对于非零常数T，若函数，则函数必有一个周期为2T。
证明：
∴函数的一个周期为2T。
结论2：对于非零常数T，若函数，则函数必有一个周期为2T。
结论3：对于非零常数T，若函数满足，则函数必有一个周期为2T。
结论4：对于非零常数T，若函数满足或，则函数的一个周期为2T。
结论：5：若函数满足（），则是以为一个周期的周期函数。
结论：6：函数对任意实数，都有（），则4T是f（x）的一个周期.
三、函数对称性和周期性的联系
（一）奇偶函数对称性和周期性的联系
1.如果奇函数满足（a0）（即关于x=a成轴对称），则函数是以4a为周期的周期函数。
2.如果偶函数满足（a0）（即关于直线x=a成轴对称），则函数是以2a为周期的周期函数。
3.如果奇函数满足，则可以推出其周期为2T，且可以推出对称轴为；又根据可以找出其对称中心为（以上）。
4.如果偶函数满足，则亦可以推出周期为2T，且对称中心为；又根据可以推出对称轴为（以上）。
（二）其它函数对称性和周期性的联系 1.如果函数同时关于直线x=a和x=b对称，即函数满足且（其中）同时成立，则可推出函数是以2|a-b|为周期的周期函数。
因为有：
。
2.若函数关于直线x=a成轴对称，同时关于点成中心对称，即在R上同时满足，且（其中），则函数是以4|a-b|为周期的周期函数。
3.若函数在R上有两个对称中心点（a，c）和（b，c），即函数在R上满足，且（其中），则函数是以2|a-b|为周期的周期函数。
特别地：若的图像有两个对称中心和（），即函数在R上满足，且（其中），则函数是以2|a-b|为周期的周期函数。
以上三个结论可归纳出以下总结：
如果函数在定义域内有两条垂直于x轴的对称轴或纵坐标相等的两个对称中心点或一条垂直于x轴的对称轴和一个对称中心点，则该函数一定是周期函数。
（三）运用以上总结时应注意的两点：
1.以上归纳出的结论一不小心就容易简化为：“若一个函数有两个对称性（不管是轴对称还是中心对称），则它一定为周期函数。”
如果有一个判断题是如此讲述，那就是大错特错，函数有两条对称轴，不一定就具有周期性，除非加上这两条对称轴都垂直于x轴，也就是形如x=a这样的对称轴；一个函数有两个对称点，那也不一定就具有周期性，除非这两个对称点的纵坐标都相等。有一个最简单不过的例子就是函数y=x，如图：
很容易知道，图象上的每一个点都是函数的对称点，显然，该函数没有周期性。该图象的任何一条法线（即垂直于y=x的直线）都是函数的对称轴，该函数没有周期性。这是我们在理解对称性与周期性时需要注意的。
2.注意变化后的对称性和周期性条件
永远把握住“同号看周期，异号看对称”这一句话，结合前面的结论，便可以解决这一类问题。只要题目当中给出，那基本上都是间接告诉你该函数的周期；若给出，那基本上也是间接告诉你函数对称性的。这就需要我们对给出的条件进行化简，使之变成与周期性和对称性有关的式子。一般的方法是在与中的x同时加上|a-b|，多化简几步，自然就能化简出来。
如：函数对任意x满足。这条件是同号的，和周期有关。我们对括号里同时加上|2-0|=2得到：，将带入化简得到：，还是没有得到我们想要的结果，那就进一步对括号里的同时加上|4-0|=4，得到：。说明该函数是以8为周期的周期函数。
又如：函数对任意，满足。这条件是异号的，和对称有关。直接可得到函数是关于x=3对称的对称性函数。
又如：函数满足。这条件是异号的，和对称有关。可得到函数是关于点（1，0）（即：关于（，0））对称的对称性函数。
四、函数对称性和周期性的应用举例
1.设函数在（，）上满足，，且在闭区间[0，7]上，只有。
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）试求方程在闭区间[-2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。
解：（1）由，得函数的对称轴为，。由前面的知识可知函数的一个周期为2|a-b|，即：T=10。
因为函数在[0，7]上只有，
可知，
又∴
而且，则可得，。
因此，函数既不是奇函数，也不是偶函数。
（2）由，可得，故函数在[0，10]和[-10，0]上均有两个解（1，3和-7，-9）满足；从而可知函数在[0，2005]上有402个解，在[-2005，0]上有400个解。所以，函数在[-2005，2005]上共有802个解。
2.定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是（ ）
（A）是偶函数，也是周期函数
（B）是偶函数，但不是周期函数
（C）是奇函数，也是周期函数
（D）是奇函数，但不是周期函数
解：∵为偶函数，∴。
又有。∴有两条对称轴x=5与x=10，因此是以2|10-5|=10为一个周期的周期函数，∴x=0，即y轴也是的一个对称轴，因此还是一个偶函数。故选（A）。
3.已知函数是定义在上的周期函数，周期T=5，函数是奇函数。又知在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5.
（1）求证：；（2）求的解析式；（3）求在[4，9]上的解析式。
函数的对称性和周期性是函数重要的两大性质，而函数的性质是高中数学函数部分的一个重点内容。历年高考和竞赛题重点考察内容之一也是函数的定义域、值域、解析式、奇偶性、单调性、对称性、周期性、图像、极值和最值等性质。函数的对称性和周期性不仅广泛存在于数学问题之中，在我们的日常生活中也能经常遇见，而且利用对称性和周期性往往能更简捷地使问题得到解决，对称性和周期性关系还充分体现数学之美。本文就函数的对称性和周期性之间的关系加以探讨。
一、函数的对称性
（一）函数对称性的定义
函数的对称有自对称和互对称。自对称是指同一个函数图像的对称（中心对称或轴对称），图像是其本身；互对称是指两个函数图像上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。函数对称还有轴对称和点对称。
（二）函数自对称的相关结论
结论1：函数的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是。
上述关系式也可以写成或。
简证：设点在上，即，通过可知，，所以，所以点也在上，而点与关于点对称。得证。
特别地：函数的图像关于原点（0，0）对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0。即：a=b=0
推论1：如果函数满足，则函数的图象关于点对称
推论2：若，即：，则的图像关于点对称。
推论3：若，则的图像关于点对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。）
证明：在函数上任取一点，则。点关于点（，）的对称点为（，c-），当时，，即点（，c-）在函数的图象上。由于点为函数图象上的任意一点可知，函数的图象关于点（，）对称。
结论2：函数的图像关于直线x=a对称的充要条件是或或。（即：可以改写成或。）
特别地：函数的图像关于y轴（x=0）对称的充要条件是f（x）=f（-x）。即：a=0。
推论：函数满足的充要条件是的图象关于直线对称。（注：当a=b=0时，该函数为偶函数。）
注：假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c（x，y）=0，则有可能会出现关于对称。比如：圆它会关于y=0对称。
（三）函数互对称的相关结论
结论1.函数与关于x轴对称。换种说法：与若满足，则它们关于对称。
结论2.函数与关于y轴对称。换种说法：函数与若满足，则它们关于对称。
结论3.函数与的图像关于直线x=y成轴对称图形。
结论4.函数与的图像关于直线x=a成轴对称。换种说法：函数与若满足，则它们关于对称。
结论5.函数与关于直线对称。换种说法：与若满足，则它们关于对称。
结论6.函数的图象与的图象关于直线对称。
证明：在函数上任取一点，则，
点关于直线对称点（，）。由于，故点（，）在函数上。由点是函数图象上任一点，因此与关于直线对称。
结论7.函数与函数的图像关于直线对称。
结论8.函数与关于直线对称。
结论9.函数与的图象关于点对称。换种说法，函数与若满足，则函数它们关于点对称.
结论10.函数与的图象关于点对称。换种说法，函数与若满足，则它们关于点对称.
结论11.函数与函数的图像关于点对称。换种说法，函数与函数若满足，则它们的图像关于点对称。
结论12.函数与的图像关于点A（a，b）成中心对称。换种说法：与若满足，则它们关于点（a，b）对称。
下面的几个结论用解析几何中的对称曲线轨迹方程来理解：
结论13.曲线与曲线关于直线对称。
结论14.曲线与曲线关于直线对称。
结论15.曲线与曲线关于直线对称。
结论16.曲线与曲线关于点对称。
二、函数的周期性
（一）周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
（二）周期性的相关结论
结论1：对于非零常数T，若函数，则函数必有一个周期为2T。
证明：
∴函数的一个周期为2T。
结论2：对于非零常数T，若函数，则函数必有一个周期为2T。
结论3：对于非零常数T，若函数满足，则函数必有一个周期为2T。
结论4：对于非零常数T，若函数满足或，则函数的一个周期为2T。
结论：5：若函数满足（），则是以为一个周期的周期函数。
结论：6：函数对任意实数，都有（），则4T是f（x）的一个周期.
三、函数对称性和周期性的联系
（一）奇偶函数对称性和周期性的联系
1.如果奇函数满足（a0）（即关于x=a成轴对称），则函数是以4a为周期的周期函数。
2.如果偶函数满足（a0）（即关于直线x=a成轴对称），则函数是以2a为周期的周期函数。
3.如果奇函数满足，则可以推出其周期为2T，且可以推出对称轴为；又根据可以找出其对称中心为（以上）。
4.如果偶函数满足，则亦可以推出周期为2T，且对称中心为；又根据可以推出对称轴为（以上）。
（二）其它函数对称性和周期性的联系 1.如果函数同时关于直线x=a和x=b对称，即函数满足且（其中）同时成立，则可推出函数是以2|a-b|为周期的周期函数。
因为有：
。
2.若函数关于直线x=a成轴对称，同时关于点成中心对称，即在R上同时满足，且（其中），则函数是以4|a-b|为周期的周期函数。
3.若函数在R上有两个对称中心点（a，c）和（b，c），即函数在R上满足，且（其中），则函数是以2|a-b|为周期的周期函数。
特别地：若的图像有两个对称中心和（），即函数在R上满足，且（其中），则函数是以2|a-b|为周期的周期函数。
以上三个结论可归纳出以下总结：
如果函数在定义域内有两条垂直于x轴的对称轴或纵坐标相等的两个对称中心点或一条垂直于x轴的对称轴和一个对称中心点，则该函数一定是周期函数。
（三）运用以上总结时应注意的两点：
1.以上归纳出的结论一不小心就容易简化为：“若一个函数有两个对称性（不管是轴对称还是中心对称），则它一定为周期函数。”
如果有一个判断题是如此讲述，那就是大错特错，函数有两条对称轴，不一定就具有周期性，除非加上这两条对称轴都垂直于x轴，也就是形如x=a这样的对称轴；一个函数有两个对称点，那也不一定就具有周期性，除非这两个对称点的纵坐标都相等。有一个最简单不过的例子就是函数y=x，如图：
很容易知道，图象上的每一个点都是函数的对称点，显然，该函数没有周期性。该图象的任何一条法线（即垂直于y=x的直线）都是函数的对称轴，该函数没有周期性。这是我们在理解对称性与周期性时需要注意的。
2.注意变化后的对称性和周期性条件
永远把握住“同号看周期，异号看对称”这一句话，结合前面的结论，便可以解决这一类问题。只要题目当中给出，那基本上都是间接告诉你该函数的周期；若给出，那基本上也是间接告诉你函数对称性的。这就需要我们对给出的条件进行化简，使之变成与周期性和对称性有关的式子。一般的方法是在与中的x同时加上|a-b|，多化简几步，自然就能化简出来。
如：函数对任意x满足。这条件是同号的，和周期有关。我们对括号里同时加上|2-0|=2得到：，将带入化简得到：，还是没有得到我们想要的结果，那就进一步对括号里的同时加上|4-0|=4，得到：。说明该函数是以8为周期的周期函数。
又如：函数对任意，满足。这条件是异号的，和对称有关。直接可得到函数是关于x=3对称的对称性函数。
又如：函数满足。这条件是异号的，和对称有关。可得到函数是关于点（1，0）（即：关于（，0））对称的对称性函数。
四、函数对称性和周期性的应用举例
1.设函数在（，）上满足，，且在闭区间[0，7]上，只有。
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）试求方程在闭区间[-2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。
解：（1）由，得函数的对称轴为，。由前面的知识可知函数的一个周期为2|a-b|，即：T=10。
因为函数在[0，7]上只有，
可知，
又∴
而且，则可得，。
因此，函数既不是奇函数，也不是偶函数。
（2）由，可得，故函数在[0，10]和[-10，0]上均有两个解（1，3和-7，-9）满足；从而可知函数在[0，2005]上有402个解，在[-2005，0]上有400个解。所以，函数在[-2005，2005]上共有802个解。
2.定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是（ ）
（A）是偶函数，也是周期函数
（B）是偶函数，但不是周期函数
（C）是奇函数，也是周期函数
（D）是奇函数，但不是周期函数
解：∵为偶函数，∴。
又有。∴有两条对称轴x=5与x=10，因此是以2|10-5|=10为一个周期的周期函数，∴x=0，即y轴也是的一个对称轴，因此还是一个偶函数。故选（A）。
3.已知函数是定义在上的周期函数，周期T=5，函数是奇函数。又知在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5.
（1）求证：；（2）求的解析式；（3）求在[4，9]上的解析式。