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拜读了贵刊第三期特级教师王勇先生的大作《2008年高考数学怎么考》一文后，感受颇深.王勇先生从选择题、填空题、解答题三大板块出发，对2008年高考数学到底怎么考谈了他的独特见解.受此文引导，我们在认真学习、分析、研究的基础上，特以高中数学的十三个知识板块为基点，对2008年高考数学考什么进行了大胆的预测，请同仁们赐教斧正.
高考对本板块的考查主要以选择题、填空题的形式出现，且都是基础题，难度不大，综合题目少，属于高考中的“送分题”.一是考查对集合概念的认识和理解，如集合与元素，集合与集合之间的关系；二是以集合知识为载体考查其它知识，突出考查使用数学语言的能力和使用数形结合的思想解决问题的能力.
【例1】 对于集合M、N，定义M-N={x|x∈M，且xN}，MN=(M-N)∪(N-M).设A={y|y=x2-3x,x∈R},B={y|y=-2x,x∈R},则AB等于（）.
【解析】 由题意可知A=-94,+∞,B=(-∞,0)，则A-B=\[0,+∞),B-A=-∞,-94.故选C.
【评析】 本题是一道信息迁移题，弄懂M-N及MN的本质含义及A和B中代表元素的特征，是求解本题的关键.
对简易逻辑的考查主要集中在命题的四种形式和充要条件的判定上，该部分是新课程新增内容，预测2008年高考对该部分的考查仍以小题、基础题为主。当然，也可能在解答题中涉及一些集合与简易逻辑的知识，重在集合与逻辑知识的应用.
【例2】 已知命题p：不等式|x|+|x-1|>m的解集为R；命题q:f(x)=-(5-2m)x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数m的取值范围是.
【评析】 本题以一道小题的形式综合考查了不等式恒成立、函数的单调性、简易逻辑等多方面的知识，题目虽小，但含“金”量甚高.
由于函数在数学中具有举足轻重的地位，它仍是2008年高考的一个热点，而且对能力的考查还将高于教学大纲.
①对函数的概念、基本性质及图象的考查主要以小题的形式出现.
【例3】 已知函数y=f(x)与y=g(x)的图象如下图甲、乙所示.
则y=f(x)•g(x)的大致图象为下图中的（）.
【分析】 先由图象求得y=f(x)和y=g(x)的定义域、值域、对称性、单调性等，再判断其积函数的图象分布情况.
【解析】 函数y=f(x)的定义域为R,是偶函数,在(-∞,0\]上递增，在\[0,+∞)上递减，且方程f(x)=0有两个实数根x=±2.
函数y=g(x)的定义域为非零实数集,是奇函数,在(-∞,0)上递增，在(0,+∞)上递增，且方程g(x)=0有两个实数根x=±1.
∴函数y=f(x)•g(x)的定义域为非零实数集，是奇函数.方程f(x)•g(x)=0有四个实数根±1,±2.
当x<-2时，f(x)•g(x)>0；当-10；当02时，f(x)•g(x)<0.
结合选项中的图象，可知应选B.
【评析】 本题从函数的图象和性质出发，多角度、多层次考查学生的抽象思维能力、阅读理解能力和逻辑思维能力.
②函数与不等式、数列、向量、解析几何等知识的综合运用会以解答题形式出现，属于理解、灵活运用层次，难度较大.
【例4】 设函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且对任意的正实数x,y有f(xy)=f(x)+f(y)，已知f(2)=1且当x>1时，f(x)>0.
（1）求f12的值；
（2）试判断y=f(x)在(0,+∞)上的单调性，并加以证明；
（3）一个各项均为正数的数列{an}满足：其中Sn是数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式；
（4）在（3）的条件下，是否存在正数M，使2n•a1•a2•…•an≥M2n+1(2a1-1)(2a2-1)…(2an-1)对一切n∈N*成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由.
故存在正数M，使所给不等式恒成立，M的取值范围为0,233.
【评析】 本题综合性强，难度大，覆盖的知识点多，其中的“恒成立”又是高考的热门话题，同学们要善于总结该题型的解法技巧.本题所涉及的赋值法、分离变量法、构造法等均是解数学题的重要方法，请同学们切实掌握并能熟练运用.一般来说，压轴题属于“可怕题”，有较好的区分和选拔功能，对这样的压轴题，尽量分段“踩点得分”，注意临场策略.
③通过函数应用题考查建立函数模型及解读信息的能力，将是2008年高考命题的热点之一.
④新课程新增内容中与函数有关的内容——函数连续与极限、导数是考查的重点，所占比重将进一步加大.示例见例22.
数列是高中代数的主要内容，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考试卷中也占有重要地位.
试题大致分两类，一类是纯数列知识的基本题，多采用选择或填空题型；另一类是中等以上难度的综合题.
①等差、等比数列的定义、通项公式以及等差、等比数列的性质一直是考查的重点.这方面的考题多以选择题、填空题出现，一般是中、低档难度题，但解题方法灵活多样，掌握了一定的技巧，就可以又快又准地完成它，有利于区分出不同层次的考生.
【评析】 本题考查等差数列、等比数列的有关性质和均值定理的应用.在用均值定理时一定要记住“一正、二定、三相等”，本题应分xy>0与xy<0两种情况分类讨论.
②数列出现在解答题中，通常与函数、方程、不等式、解析几何等综合在一起，或者以应用题的形式出现，一般属于中、高档难度题.示例见例4.
③探索性问题是近几年的高考热点，而探索性问题出现在数列中的频率又最大.
【评析】 本题是解析几何与数列综合而成的“点列”问题，此类题型在高考中出现过多次，“点列”题型虽然形式新颖，但实质是数列知识和技巧的展示，解题时求出其通项公式，问题也就迎刃而解了.另外，本题的分类讨论思想及求解探索性问题的方法也值得仔细品味.
由于高中教材内容的重大修订，对三角函数的整体要求已降低.不学的内容高考不会考，应降低教学难度的内容命题难度也在降低.通过分析近几年高考题，可以看到该部分命题趋势：
①考小题，重在基础
有关三角函数的小题，其考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域（定义域、值域及最值）、四性（单调性、奇偶性、对称性、周期性）、反函数以及简单的三角变换（求值、化简及比较大小）.
【例7】 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x)且f(x)在\[-3,-2\]上是减函数，又α、β是锐角三角形的两个内角，则（）.
【评析】 本题是一道集函数的周期性、奇偶性、单调性和三角形知识于一体的小型综合题，构思精巧，考查学生的合情推理能力.
②考大题，难度明显降低
有关三角函数的大题即解答题，通过三角公式变形、转换来考查思维能力的题目已没有了，主要是考查基本知识、基本技能和基本方法.
③考应用，融入三角形之中
这种题型既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，故近年来备受命题者的青睐.主要解法是充分利用三角形的内角和定理、正（余）弦定理、面积公式等，并结合三角公式进行三角变换，从而获解.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。” ④考综合，体现三角知识的工具作用
高考命题突出能力立意，加强对知识综合性和应用性的考查，故常常是在知识的交汇点命题.而三角知识是基础的基础，故考查三角函数与立体几何、解析几何、平面向量、参数等内容的综合性问题时，突出考查的是三角知识的工具性作用.
【评析】 本题考查向量的数量积、三角变换、解三角形、数列等知识，使三角有关知识不再孤立，充分体现了2008年《考试大纲》的新要求，也彰显出向量的工具性、交汇性和传接性.
平面向量是新教材新增内容，而且由于向量又是研究一些数学问题的工具，预测2008年高考会进一步向本考点倾斜，难度可能不会过大，以考查基础知识为主.
本考点的考查热点在两个方面，一是对向量的基本概念、基本运算的考查；二是突出考查向量的工具作用，即运用向量知识解决解析几何、立体几何等问题.
【评析】 本题考查向量加法的平行四边形法则，强化平面向量在平面几何中的应用.用已知向量表示另外一些向量,是利用向量解题的基本功.在解此类题时，除利用向量的加减法外，还应充分利用平面几何的一些定理.
本部分知识点虽然较少，但综合性较强，难度也比较大，在历年高考试题中占有较大的比重，约占总分的20%左右，远远高于课时的比例.从题型
看，主要是一道选择题或填空题，一道解答题.
文科多为解不等式，理科以证明不等式最为常见.从近几年高考试卷来看，文科在不等式证明上的要求比理科低.另外，其它考题中有些还要用到有关不等式的知识.
本部分试题的题型、趋势与解题策略是：
①对不等式的性质考查常与指数函数和对数函数的性质考查结合起来，一般多以选择题形式出现，有时与充要条件的知识相结合.解答好此类题目要求有较好的、较全面的基础知识，一般难度不大.
【评析】 数形结合的思想方法是高考重点考查的对象，解本题的关键在于由“数”想图，借“图”解题.
②解不等式的题常以填空题和解答题的形式出现，解答题多为文科试题.在解答题中，含字母参数的不等式较多，需要对字母参数进行分类讨论.高考命题注重对分类讨论思想的考查，通常放在最后两题，学生得分较低.
③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、对数函数等知识结合起来考查.不等式证明历来难度大，区分度高，综合性强，学生平时的练习题与试题差距较大，学生具有较强的逻辑思维能力及较高的数学素质才能取得较高的分数.
④应用问题与不等式结合考查.应用问题是近年数学高考命题的热点，而应用问题多与不等式有关，需要根据题意建立不等式，设法求解或用均值不等式或函数单调性求最值.
⑤含有绝对值的不等式.这类试题经常出现在高考试卷中，有关内容在教材中安排较少，学生解此类题大多感到困难，这与平时练习量不足有关，对此应有所加强.
【评析】 本题是与二次函数有关的代数推理题，是高考“经久不衰”的重点和热点问题.本题第（1）问的反证法，第（2）问抓住二次函数的图象的对称轴与两根的关系，第（3）问构造新函数等给人留下了深刻的印象，值得仔细品味.
直线与圆的方程是解析几何中最基础的内容，在高考试题中，主要以客观性试题的形式出现，属于容易题，考查内容主要为求直线的倾斜角、斜率；求直线的方程；判断直线与直线、直线与圆的位置关系；点到直线的距离，两直线所成的角；对称问题.另外，线性规划将是命题的重点.因此复习这部分内容时，应加强基本知识的灵活运用，以提高分析和解决问题的能力.
纵观近年高考试题，所考查的思想方法仍将是坐标法、数形结合、分类讨论、方程的思想和待定系数法.
【评析】 本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线垂直时斜率关系的应用，线性规划、平面区域的运用.将位置关系转化为斜率求其范围，运用“等价转化”的数学思想.
纵观近年高考试题，本考点主要考查两大类问题：一是根据条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，其热点有：①以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；②求平面曲线的方程和轨迹；③圆锥曲线的有关元素计算、关系证明和范围确定；④涉及与圆锥曲线对称变换、最值和位置关系有关的问题.
【评析】 本题是以抛物线与双曲线交汇定义为考查点，考查学生灵活应用定义及离心率解题的能力，具有较好的区分和选拔功能.
关于圆锥曲线问题解决的基本方法是定义法、配方法、换元法、待定系数法和化归法.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义巧妙用，引参、用参妙解题，分清关系思路畅，数形结合关系明，选好、选准突破口，一点破译全局活”.
【例14】 一般地，我们称离心率e=5-1[]2的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆E∶x2[]a2+y2[]b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为F(c,0)(c＞0),P,Q为椭圆E上的任意两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点.
（1）试证：若E是“黄金椭圆”，则a,b,c是等比数列；
（2）设E为黄金椭圆，问：是否存在过点F、P的直线l，使l与y轴的交点R满足RP=-2PF？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由.
（3）设E为黄金椭圆，若直线PQ和OM的斜率分别为kPQ和kOM，求kPQ•kOM的值.
【评析】本题是一道解析几何中的“信息迁移题”，给出“黄金椭圆”的概念让学生解读和领悟，在此基础上与数列、平面向量有机交汇，体现了当今高考在知识交汇点处命题的指导思想.第（2）问设计为一个探索开放型的问题顺应当今高考命题趋势.本题对解析几何的基本思想和方法予以深刻考查，对运算能力和逻辑推理能力的要求也相当高.
立体几何试题约占全试卷总分值的22%，直线与平面的位置关系，占全试卷分值的10%左右，题型多数情况为一道选择题或填空题、一道解答题.试题多为中等难度题，选择题、填空题的难度一般不会超过解答题.
命题主要考查：
①直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系：多数为单选题，近年又以多选题和填空题的形式出现.
【例15】 设x,y,z是空间不同的直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z且y⊥z，则x∥y”为真命题的是 .
①x为直线，y\,z为平面；②x、y、z为平面；③x、y为直线，z为平面；
④x、y为平面，z为直线；⑤x、y、z为直线.
【解析】①显然是正确的；②垂直于同一个平面的两个平面的位置关系应为平行或相交，故②不正确；③垂直于同一个平面的两条直线平行，故③正确；④垂直于同一条直线的两个平面平行，故④正确；⑤垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，故⑤不正确.所以应填入的答案为①③④.
【评析】这是填空题中的“多选题”，高考中经常出现，应引起足够重视.本题以全新的视角考查了线线、线面、面面的位置关系问题，要认真、细致地逐一将符号语言转换为文字语言加以分析才能得到正确答案.
②角的计算：常见的是求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的大小.这些试题有一定难度，要把它们转化为相交直线所成的角.
③距离的计算：多为点与点之间的距离与点到平面的距离，点到平面的距离最常见.另外球面距离问题也不容忽视.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。” ④逻辑思维能力：在解答题中，先证后算，注重环节严谨，条理清晰.
⑤既考传统方法又考向量方法，有时对这两种方法联袂考查.将问题设置为动态探究题型是近几年高考命题的新动向.
【例16】如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC为直角，AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC=2,G为△PAC的重心，E为PB的中点，F在线段BC上，且CF=2FB.
（1）求证：FG∥平面PAB；
（2）求证：FG⊥AC；
（3）当二面角P-CD-A多大时，FG⊥平面AEC？
【评析】本题全方位地考查了立体几何中的主要内容，如线面与线线的位置关系、二面角问题等，考查的知识点丰富.本题既可用传统方法求解又可用向量方法解决，各显其妙！第（3）问的动态探索性也是“亮点”，堪称一道优秀的创新型试题.
立体几何是高考创新题型的主要“试验田”，如主观试题客观化,填空题变为多选题,已知结论求条件,由几个论断组合为正确论断等，已成为当今高考一道亮丽的风景.
高考对排列、组合、二项式定理考查特点是基
础全面，多数高考试题的难度与课本中习题的难度相当，但在高考试卷中分值所占比例超过所占总课时的比例，原因是排列、组合知识是学习概率的基础，二项式定理与高等数学的知识有关，概率与实际生活密切相关，是高考考查的重点.在解答题中，如果题目再靠后的话，将可能出现概率与其它知识点（如函数、不等式、几何等）相结合的综合题，有一定的难度.
【例17】设(3x1[]3+1)n展开式中各项的系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，若A+B=272，则展开式中的x项的系数是 .
【评析】二项式定理是高考的热点内容，常以选择题、填空题的形式出现.解答本题时应注意区分“二项式系数”与“项的系数”这两个不同的概念，通项公式及赋值法的运用应熟练掌握.
【例18】 平面上有11个点，每两个点连成一条直线，但由于其中恰好有三点共线的情况，所以一共得43条不同的直线.若从这11个点中任意取3个，则能构成三角形的概率是.
【分析】 要求能构成三角形的概率，就要求出这11个点能构成多少个三角形，因此应首先弄清这11个点中有多少条三点共线的直线.
【评析】本题以平面几何为载体考查排列组合在概率求解中的应用.解题关键是依据题目条件，将11个点中三点共线的直线数目求出来，因为三点共线时它们不能构成三角形，显然当出现三点共线时，这三个点不能构成C23条直线，而只能构成一条直线，所以出现一条三点共线的直线时就多算了(C23-1)条直线，于是可假设有x条三点共线的直线，根据C311-x(C23-1)=43求出三点共线的直线数目，再进行后面的计算.
概率与统计的引入拓宽了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算等内容都是考查实践能力的极好素材.由于中学数学中所学习的概率与统计内容是这一数学分支中最基础的内容，考虑到教学实际和学生的生活实际，高考对这部分内容的考查贴近考生生活，注重考查基础知识和基本方法.
随机变量是理科高考的必考内容.其中理科离散型随机变量的分布列、期望与方差是热点.题型以解答题为主，以选择题、填空题为辅.这种形势有可能发生变化，即有可能转变为以客观题为主.文科主要是抽样方法的考查，以客观题为主.
【例19】 某单位有职工160人，其中有业务人员120人，管理人员24人，后勤服务人员16人.为了解职工的某种情况，要从中抽取一个样本容量为20的样本，记作①；从某中学高三年级的18名体育特长生中选出3人调查学习负担情况，记作②；那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（）.
A.①用随机抽样法，②用系统抽样法
B.①用分层抽样法，②用随机抽样法
C.①用系统抽样法，②用分层抽样法
D.①用分层抽样法，②用系统抽样法
【分析】 对①、②，根据三种抽样的特点来作出判断.
【解析】 ①中，总体是由差异明显的三部分个体组成，所以用分层抽样法；对于②，总体所含个数较少，个体没有明显差异，所以用随机抽样法.故选B.
【评析】 准确掌握随机抽样、系统抽样、分层抽样及三种抽样之间的联系与区别,是准确解答这类问题的关键.抽样问题也是近年高考的一个热点，所以我们必须掌握三种抽样方法.
【例20】 甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为ξ；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为η.
（1）分别求ξ和η的期望；
（2）规定若ξ>η，则甲获胜；若ξ<η，则乙获胜，分别求出甲和乙获胜的概率.
【分析】对于（1）可直接运用期望公式计算；对于（2）先由独立重复试验的概率计算公式求出ξ、η分别取每一个值时的概率，然后根据独立事件和互斥事件的概率计算公式计算甲、乙获胜的概率.
【评析】解答本题的关键在于确定随机变量的所有取值；准确求出随机变量取每一个值时的概率；明确甲、乙中一个获胜时对应的ξ、η的相应取值.
由于数列的极限在中学数学与高等数学中起着重要的衔接作用，因此这个知识点历来是高考常考内容.在高考中常以填空、选择题出现，或作为一个设问步骤，结合到数列问题的综合考查中.
函数的极限是另一个高考热点，函数在无穷远处的极限，类似于数列极限，而在x=x0处的极限，计算时有它独特的方法.比如x=x0不在函数f(x)的定义域内的情况，往往采用约去零因子的方法，较为复杂一些的函数极限的计算，可借助于函数极限的四则运算法则处理.
【评析】本题通过换元法求函数的极限，一系列变形技巧令人拍案叫绝！充分考查考生的数学素养和数学能力.
通过观察、分析等手段利用不完全归纳法得出一个结论，再用数学归纳法去证明该结论,也是高考常见题型之一.这里的归纳、猜想、证明是不完全归纳法与完全归纳法的综合运用.
导数的广泛应用，为我们解决函数问题提供了有力的方法，如用导数解决函数中的最值问题、不等式问题或与解析几何相联系.这些知识、方法网络的交汇点上的问题，将是2008年高考命题考查的热点及趋势.
【评析】 本题主要考查导数在求函数极值，判断函数单调性方面的应用及用比较法证明不等式知识.
近几年高考对复数的考查难度降低，题量减少.主要是复数的概念及化简、求模等计算题.常以选择题、填空题形式出现（上海高考例外），多为容易题.
【评析】本题以信息迁移题的形式出现，考查考生领悟新信息的能力.本题考查复数的代数运算有关法则及基本技能（分母实数化）.
根据以上分析并结合2008年新考纲和作者本人多年的经验，预测2008年高考数学三大题型的命题趋势如下：
1．选择题将以集合、简易逻辑、函数、三角、数列、立体几何、解析几何、排列组合、二项式定理、复数等为素材，编制颇具思考性、挑战性和趣味性的小型综合题.请同学们加强专题训练，熟悉选择题的解法，“不择手段”乃是解选择题的明智之举！
2．填空题将以简易逻辑、平面向量、立体几何、数列、线性规划、解析几何等为载体，编制新颖别致、小巧玲珑的小型综合题.基于填空题是改革创新题型的“试验田”，请同学们早做心理准备，及早适应.另外解填空题要注意精细，不能有一丝一毫的差错，否则全题皆错.
3．解答题将以平面向量与三角的交汇题或三角函数与解三角形的融合题开场——稳定考生情绪；概率与统计应用题助兴——吊起考生胃口；立体几何题（传统方法与向量方法任选）平稳过渡——考生志在必得；导数与函数题率先发难——考生骑虎难下；解析几何题把关——考生面临考验；数列、不等式、函数等大型综合题压轴——考生尽早了断（放弃、分段得分或强攻）！
①解答本题的关键是什么？②本题涉及哪些知识点和思想方法？③本题与以前遇到的哪些问题有联系？④变更条件（或结论）会有怎样的结论（或需要补充什么已知条件）？做一道题从不同角度想出五种方法，与做五道同类型的题用的时间可能差不多，但前者的效果肯定比后者要好得多.高考碰到平时做过的陈题可能性不大，而解题所需的知识、方法和能力要求都不会超出大纲，都会在平时复习中遇到，关键是要会触类旁通.
【作者单位：王重阳 湖北省襄樊市一中
程敬荣 湖北省襄樊市东风中学
山虎 本刊编辑部】
责任编辑：夏循焱
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
高考对本板块的考查主要以选择题、填空题的形式出现，且都是基础题，难度不大，综合题目少，属于高考中的“送分题”.一是考查对集合概念的认识和理解，如集合与元素，集合与集合之间的关系；二是以集合知识为载体考查其它知识，突出考查使用数学语言的能力和使用数形结合的思想解决问题的能力.
【例1】 对于集合M、N，定义M-N={x|x∈M，且xN}，MN=(M-N)∪(N-M).设A={y|y=x2-3x,x∈R},B={y|y=-2x,x∈R},则AB等于（）.
【解析】 由题意可知A=-94,+∞,B=(-∞,0)，则A-B=\[0,+∞),B-A=-∞,-94.故选C.
【评析】 本题是一道信息迁移题，弄懂M-N及MN的本质含义及A和B中代表元素的特征，是求解本题的关键.
对简易逻辑的考查主要集中在命题的四种形式和充要条件的判定上，该部分是新课程新增内容，预测2008年高考对该部分的考查仍以小题、基础题为主。当然，也可能在解答题中涉及一些集合与简易逻辑的知识，重在集合与逻辑知识的应用.
【例2】 已知命题p：不等式|x|+|x-1|>m的解集为R；命题q:f(x)=-(5-2m)x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数m的取值范围是.
【评析】 本题以一道小题的形式综合考查了不等式恒成立、函数的单调性、简易逻辑等多方面的知识，题目虽小，但含“金”量甚高.
由于函数在数学中具有举足轻重的地位，它仍是2008年高考的一个热点，而且对能力的考查还将高于教学大纲.
①对函数的概念、基本性质及图象的考查主要以小题的形式出现.
【例3】 已知函数y=f(x)与y=g(x)的图象如下图甲、乙所示.
则y=f(x)•g(x)的大致图象为下图中的（）.
【分析】 先由图象求得y=f(x)和y=g(x)的定义域、值域、对称性、单调性等，再判断其积函数的图象分布情况.
【解析】 函数y=f(x)的定义域为R,是偶函数,在(-∞,0\]上递增，在\[0,+∞)上递减，且方程f(x)=0有两个实数根x=±2.
函数y=g(x)的定义域为非零实数集,是奇函数,在(-∞,0)上递增，在(0,+∞)上递增，且方程g(x)=0有两个实数根x=±1.
∴函数y=f(x)•g(x)的定义域为非零实数集，是奇函数.方程f(x)•g(x)=0有四个实数根±1,±2.
当x<-2时，f(x)•g(x)>0；当-1
结合选项中的图象，可知应选B.
【评析】 本题从函数的图象和性质出发，多角度、多层次考查学生的抽象思维能力、阅读理解能力和逻辑思维能力.
②函数与不等式、数列、向量、解析几何等知识的综合运用会以解答题形式出现，属于理解、灵活运用层次，难度较大.
【例4】 设函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且对任意的正实数x,y有f(xy)=f(x)+f(y)，已知f(2)=1且当x>1时，f(x)>0.
（1）求f12的值；
（2）试判断y=f(x)在(0,+∞)上的单调性，并加以证明；
（3）一个各项均为正数的数列{an}满足：其中Sn是数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式；
（4）在（3）的条件下，是否存在正数M，使2n•a1•a2•…•an≥M2n+1(2a1-1)(2a2-1)…(2an-1)对一切n∈N*成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由.
故存在正数M，使所给不等式恒成立，M的取值范围为0,233.
【评析】 本题综合性强，难度大，覆盖的知识点多，其中的“恒成立”又是高考的热门话题，同学们要善于总结该题型的解法技巧.本题所涉及的赋值法、分离变量法、构造法等均是解数学题的重要方法，请同学们切实掌握并能熟练运用.一般来说，压轴题属于“可怕题”，有较好的区分和选拔功能，对这样的压轴题，尽量分段“踩点得分”，注意临场策略.
③通过函数应用题考查建立函数模型及解读信息的能力，将是2008年高考命题的热点之一.
④新课程新增内容中与函数有关的内容——函数连续与极限、导数是考查的重点，所占比重将进一步加大.示例见例22.
数列是高中代数的主要内容，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考试卷中也占有重要地位.
试题大致分两类，一类是纯数列知识的基本题，多采用选择或填空题型；另一类是中等以上难度的综合题.
①等差、等比数列的定义、通项公式以及等差、等比数列的性质一直是考查的重点.这方面的考题多以选择题、填空题出现，一般是中、低档难度题，但解题方法灵活多样，掌握了一定的技巧，就可以又快又准地完成它，有利于区分出不同层次的考生.
【评析】 本题考查等差数列、等比数列的有关性质和均值定理的应用.在用均值定理时一定要记住“一正、二定、三相等”，本题应分xy>0与xy<0两种情况分类讨论.
②数列出现在解答题中，通常与函数、方程、不等式、解析几何等综合在一起，或者以应用题的形式出现，一般属于中、高档难度题.示例见例4.
③探索性问题是近几年的高考热点，而探索性问题出现在数列中的频率又最大.
【评析】 本题是解析几何与数列综合而成的“点列”问题，此类题型在高考中出现过多次，“点列”题型虽然形式新颖，但实质是数列知识和技巧的展示，解题时求出其通项公式，问题也就迎刃而解了.另外，本题的分类讨论思想及求解探索性问题的方法也值得仔细品味.
由于高中教材内容的重大修订，对三角函数的整体要求已降低.不学的内容高考不会考，应降低教学难度的内容命题难度也在降低.通过分析近几年高考题，可以看到该部分命题趋势：
①考小题，重在基础
有关三角函数的小题，其考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域（定义域、值域及最值）、四性（单调性、奇偶性、对称性、周期性）、反函数以及简单的三角变换（求值、化简及比较大小）.
【例7】 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x)且f(x)在\[-3,-2\]上是减函数，又α、β是锐角三角形的两个内角，则（）.
【评析】 本题是一道集函数的周期性、奇偶性、单调性和三角形知识于一体的小型综合题，构思精巧，考查学生的合情推理能力.
②考大题，难度明显降低
有关三角函数的大题即解答题，通过三角公式变形、转换来考查思维能力的题目已没有了，主要是考查基本知识、基本技能和基本方法.
③考应用，融入三角形之中
这种题型既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，故近年来备受命题者的青睐.主要解法是充分利用三角形的内角和定理、正（余）弦定理、面积公式等，并结合三角公式进行三角变换，从而获解.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。” ④考综合，体现三角知识的工具作用
高考命题突出能力立意，加强对知识综合性和应用性的考查，故常常是在知识的交汇点命题.而三角知识是基础的基础，故考查三角函数与立体几何、解析几何、平面向量、参数等内容的综合性问题时，突出考查的是三角知识的工具性作用.
【评析】 本题考查向量的数量积、三角变换、解三角形、数列等知识，使三角有关知识不再孤立，充分体现了2008年《考试大纲》的新要求，也彰显出向量的工具性、交汇性和传接性.
平面向量是新教材新增内容，而且由于向量又是研究一些数学问题的工具，预测2008年高考会进一步向本考点倾斜，难度可能不会过大，以考查基础知识为主.
本考点的考查热点在两个方面，一是对向量的基本概念、基本运算的考查；二是突出考查向量的工具作用，即运用向量知识解决解析几何、立体几何等问题.
【评析】 本题考查向量加法的平行四边形法则，强化平面向量在平面几何中的应用.用已知向量表示另外一些向量,是利用向量解题的基本功.在解此类题时，除利用向量的加减法外，还应充分利用平面几何的一些定理.
本部分知识点虽然较少，但综合性较强，难度也比较大，在历年高考试题中占有较大的比重，约占总分的20%左右，远远高于课时的比例.从题型
看，主要是一道选择题或填空题，一道解答题.
文科多为解不等式，理科以证明不等式最为常见.从近几年高考试卷来看，文科在不等式证明上的要求比理科低.另外，其它考题中有些还要用到有关不等式的知识.
本部分试题的题型、趋势与解题策略是：
①对不等式的性质考查常与指数函数和对数函数的性质考查结合起来，一般多以选择题形式出现，有时与充要条件的知识相结合.解答好此类题目要求有较好的、较全面的基础知识，一般难度不大.
【评析】 数形结合的思想方法是高考重点考查的对象，解本题的关键在于由“数”想图，借“图”解题.
②解不等式的题常以填空题和解答题的形式出现，解答题多为文科试题.在解答题中，含字母参数的不等式较多，需要对字母参数进行分类讨论.高考命题注重对分类讨论思想的考查，通常放在最后两题，学生得分较低.
③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、对数函数等知识结合起来考查.不等式证明历来难度大，区分度高，综合性强，学生平时的练习题与试题差距较大，学生具有较强的逻辑思维能力及较高的数学素质才能取得较高的分数.
④应用问题与不等式结合考查.应用问题是近年数学高考命题的热点，而应用问题多与不等式有关，需要根据题意建立不等式，设法求解或用均值不等式或函数单调性求最值.
⑤含有绝对值的不等式.这类试题经常出现在高考试卷中，有关内容在教材中安排较少，学生解此类题大多感到困难，这与平时练习量不足有关，对此应有所加强.
【评析】 本题是与二次函数有关的代数推理题，是高考“经久不衰”的重点和热点问题.本题第（1）问的反证法，第（2）问抓住二次函数的图象的对称轴与两根的关系，第（3）问构造新函数等给人留下了深刻的印象，值得仔细品味.
直线与圆的方程是解析几何中最基础的内容，在高考试题中，主要以客观性试题的形式出现，属于容易题，考查内容主要为求直线的倾斜角、斜率；求直线的方程；判断直线与直线、直线与圆的位置关系；点到直线的距离，两直线所成的角；对称问题.另外，线性规划将是命题的重点.因此复习这部分内容时，应加强基本知识的灵活运用，以提高分析和解决问题的能力.
纵观近年高考试题，所考查的思想方法仍将是坐标法、数形结合、分类讨论、方程的思想和待定系数法.
【评析】 本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线垂直时斜率关系的应用，线性规划、平面区域的运用.将位置关系转化为斜率求其范围，运用“等价转化”的数学思想.
纵观近年高考试题，本考点主要考查两大类问题：一是根据条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，其热点有：①以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；②求平面曲线的方程和轨迹；③圆锥曲线的有关元素计算、关系证明和范围确定；④涉及与圆锥曲线对称变换、最值和位置关系有关的问题.
【评析】 本题是以抛物线与双曲线交汇定义为考查点，考查学生灵活应用定义及离心率解题的能力，具有较好的区分和选拔功能.
关于圆锥曲线问题解决的基本方法是定义法、配方法、换元法、待定系数法和化归法.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义巧妙用，引参、用参妙解题，分清关系思路畅，数形结合关系明，选好、选准突破口，一点破译全局活”.
【例14】 一般地，我们称离心率e=5-1[]2的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆E∶x2[]a2+y2[]b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为F(c,0)(c＞0),P,Q为椭圆E上的任意两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点.
（1）试证：若E是“黄金椭圆”，则a,b,c是等比数列；
（2）设E为黄金椭圆，问：是否存在过点F、P的直线l，使l与y轴的交点R满足RP=-2PF？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由.
（3）设E为黄金椭圆，若直线PQ和OM的斜率分别为kPQ和kOM，求kPQ•kOM的值.
【评析】本题是一道解析几何中的“信息迁移题”，给出“黄金椭圆”的概念让学生解读和领悟，在此基础上与数列、平面向量有机交汇，体现了当今高考在知识交汇点处命题的指导思想.第（2）问设计为一个探索开放型的问题顺应当今高考命题趋势.本题对解析几何的基本思想和方法予以深刻考查，对运算能力和逻辑推理能力的要求也相当高.
立体几何试题约占全试卷总分值的22%，直线与平面的位置关系，占全试卷分值的10%左右，题型多数情况为一道选择题或填空题、一道解答题.试题多为中等难度题，选择题、填空题的难度一般不会超过解答题.
命题主要考查：
①直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系：多数为单选题，近年又以多选题和填空题的形式出现.
【例15】 设x,y,z是空间不同的直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z且y⊥z，则x∥y”为真命题的是 .
①x为直线，y\,z为平面；②x、y、z为平面；③x、y为直线，z为平面；
④x、y为平面，z为直线；⑤x、y、z为直线.
【解析】①显然是正确的；②垂直于同一个平面的两个平面的位置关系应为平行或相交，故②不正确；③垂直于同一个平面的两条直线平行，故③正确；④垂直于同一条直线的两个平面平行，故④正确；⑤垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，故⑤不正确.所以应填入的答案为①③④.
【评析】这是填空题中的“多选题”，高考中经常出现，应引起足够重视.本题以全新的视角考查了线线、线面、面面的位置关系问题，要认真、细致地逐一将符号语言转换为文字语言加以分析才能得到正确答案.
②角的计算：常见的是求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的大小.这些试题有一定难度，要把它们转化为相交直线所成的角.
③距离的计算：多为点与点之间的距离与点到平面的距离，点到平面的距离最常见.另外球面距离问题也不容忽视.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。” ④逻辑思维能力：在解答题中，先证后算，注重环节严谨，条理清晰.
⑤既考传统方法又考向量方法，有时对这两种方法联袂考查.将问题设置为动态探究题型是近几年高考命题的新动向.
【例16】如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC为直角，AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC=2,G为△PAC的重心，E为PB的中点，F在线段BC上，且CF=2FB.
（1）求证：FG∥平面PAB；
（2）求证：FG⊥AC；
（3）当二面角P-CD-A多大时，FG⊥平面AEC？
【评析】本题全方位地考查了立体几何中的主要内容，如线面与线线的位置关系、二面角问题等，考查的知识点丰富.本题既可用传统方法求解又可用向量方法解决，各显其妙！第（3）问的动态探索性也是“亮点”，堪称一道优秀的创新型试题.
立体几何是高考创新题型的主要“试验田”，如主观试题客观化,填空题变为多选题,已知结论求条件,由几个论断组合为正确论断等，已成为当今高考一道亮丽的风景.
高考对排列、组合、二项式定理考查特点是基
础全面，多数高考试题的难度与课本中习题的难度相当，但在高考试卷中分值所占比例超过所占总课时的比例，原因是排列、组合知识是学习概率的基础，二项式定理与高等数学的知识有关，概率与实际生活密切相关，是高考考查的重点.在解答题中，如果题目再靠后的话，将可能出现概率与其它知识点（如函数、不等式、几何等）相结合的综合题，有一定的难度.
【例17】设(3x1[]3+1)n展开式中各项的系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，若A+B=272，则展开式中的x项的系数是 .
【评析】二项式定理是高考的热点内容，常以选择题、填空题的形式出现.解答本题时应注意区分“二项式系数”与“项的系数”这两个不同的概念，通项公式及赋值法的运用应熟练掌握.
【例18】 平面上有11个点，每两个点连成一条直线，但由于其中恰好有三点共线的情况，所以一共得43条不同的直线.若从这11个点中任意取3个，则能构成三角形的概率是.
【分析】 要求能构成三角形的概率，就要求出这11个点能构成多少个三角形，因此应首先弄清这11个点中有多少条三点共线的直线.
【评析】本题以平面几何为载体考查排列组合在概率求解中的应用.解题关键是依据题目条件，将11个点中三点共线的直线数目求出来，因为三点共线时它们不能构成三角形，显然当出现三点共线时，这三个点不能构成C23条直线，而只能构成一条直线，所以出现一条三点共线的直线时就多算了(C23-1)条直线，于是可假设有x条三点共线的直线，根据C311-x(C23-1)=43求出三点共线的直线数目，再进行后面的计算.
概率与统计的引入拓宽了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算等内容都是考查实践能力的极好素材.由于中学数学中所学习的概率与统计内容是这一数学分支中最基础的内容，考虑到教学实际和学生的生活实际，高考对这部分内容的考查贴近考生生活，注重考查基础知识和基本方法.
随机变量是理科高考的必考内容.其中理科离散型随机变量的分布列、期望与方差是热点.题型以解答题为主，以选择题、填空题为辅.这种形势有可能发生变化，即有可能转变为以客观题为主.文科主要是抽样方法的考查，以客观题为主.
【例19】 某单位有职工160人，其中有业务人员120人，管理人员24人，后勤服务人员16人.为了解职工的某种情况，要从中抽取一个样本容量为20的样本，记作①；从某中学高三年级的18名体育特长生中选出3人调查学习负担情况，记作②；那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（）.
A.①用随机抽样法，②用系统抽样法
B.①用分层抽样法，②用随机抽样法
C.①用系统抽样法，②用分层抽样法
D.①用分层抽样法，②用系统抽样法
【分析】 对①、②，根据三种抽样的特点来作出判断.
【解析】 ①中，总体是由差异明显的三部分个体组成，所以用分层抽样法；对于②，总体所含个数较少，个体没有明显差异，所以用随机抽样法.故选B.
【评析】 准确掌握随机抽样、系统抽样、分层抽样及三种抽样之间的联系与区别,是准确解答这类问题的关键.抽样问题也是近年高考的一个热点，所以我们必须掌握三种抽样方法.
【例20】 甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为ξ；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为η.
（1）分别求ξ和η的期望；
（2）规定若ξ>η，则甲获胜；若ξ<η，则乙获胜，分别求出甲和乙获胜的概率.
【分析】对于（1）可直接运用期望公式计算；对于（2）先由独立重复试验的概率计算公式求出ξ、η分别取每一个值时的概率，然后根据独立事件和互斥事件的概率计算公式计算甲、乙获胜的概率.
【评析】解答本题的关键在于确定随机变量的所有取值；准确求出随机变量取每一个值时的概率；明确甲、乙中一个获胜时对应的ξ、η的相应取值.
由于数列的极限在中学数学与高等数学中起着重要的衔接作用，因此这个知识点历来是高考常考内容.在高考中常以填空、选择题出现，或作为一个设问步骤，结合到数列问题的综合考查中.
函数的极限是另一个高考热点，函数在无穷远处的极限，类似于数列极限，而在x=x0处的极限，计算时有它独特的方法.比如x=x0不在函数f(x)的定义域内的情况，往往采用约去零因子的方法，较为复杂一些的函数极限的计算，可借助于函数极限的四则运算法则处理.
【评析】本题通过换元法求函数的极限，一系列变形技巧令人拍案叫绝！充分考查考生的数学素养和数学能力.
通过观察、分析等手段利用不完全归纳法得出一个结论，再用数学归纳法去证明该结论,也是高考常见题型之一.这里的归纳、猜想、证明是不完全归纳法与完全归纳法的综合运用.
导数的广泛应用，为我们解决函数问题提供了有力的方法，如用导数解决函数中的最值问题、不等式问题或与解析几何相联系.这些知识、方法网络的交汇点上的问题，将是2008年高考命题考查的热点及趋势.
【评析】 本题主要考查导数在求函数极值，判断函数单调性方面的应用及用比较法证明不等式知识.
近几年高考对复数的考查难度降低，题量减少.主要是复数的概念及化简、求模等计算题.常以选择题、填空题形式出现（上海高考例外），多为容易题.
【评析】本题以信息迁移题的形式出现，考查考生领悟新信息的能力.本题考查复数的代数运算有关法则及基本技能（分母实数化）.
根据以上分析并结合2008年新考纲和作者本人多年的经验，预测2008年高考数学三大题型的命题趋势如下：
1．选择题将以集合、简易逻辑、函数、三角、数列、立体几何、解析几何、排列组合、二项式定理、复数等为素材，编制颇具思考性、挑战性和趣味性的小型综合题.请同学们加强专题训练，熟悉选择题的解法，“不择手段”乃是解选择题的明智之举！
2．填空题将以简易逻辑、平面向量、立体几何、数列、线性规划、解析几何等为载体，编制新颖别致、小巧玲珑的小型综合题.基于填空题是改革创新题型的“试验田”，请同学们早做心理准备，及早适应.另外解填空题要注意精细，不能有一丝一毫的差错，否则全题皆错.
3．解答题将以平面向量与三角的交汇题或三角函数与解三角形的融合题开场——稳定考生情绪；概率与统计应用题助兴——吊起考生胃口；立体几何题（传统方法与向量方法任选）平稳过渡——考生志在必得；导数与函数题率先发难——考生骑虎难下；解析几何题把关——考生面临考验；数列、不等式、函数等大型综合题压轴——考生尽早了断（放弃、分段得分或强攻）！
①解答本题的关键是什么？②本题涉及哪些知识点和思想方法？③本题与以前遇到的哪些问题有联系？④变更条件（或结论）会有怎样的结论（或需要补充什么已知条件）？做一道题从不同角度想出五种方法，与做五道同类型的题用的时间可能差不多，但前者的效果肯定比后者要好得多.高考碰到平时做过的陈题可能性不大，而解题所需的知识、方法和能力要求都不会超出大纲，都会在平时复习中遇到，关键是要会触类旁通.
【作者单位：王重阳 湖北省襄樊市一中
程敬荣 湖北省襄樊市东风中学
山虎 本刊编辑部】
责任编辑：夏循焱
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”