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今年的创新题较之往年，加强了对考生的求异思维能力的考查，让大家想的多一些，算的少一些．
一、知识迁移型
知识迁移型的考题年年都会有，这些题目往往给出新定义，提供新信息，从而构成新的问题来考查学生的知识迁移能力.
例1 （福建卷）设[V]是全体平面向量构成的集合，若映射[f:V→R]满足：对任意向量[a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,]以及任意[λ][∈]R，均有[fλa+(1-λ)b][=λfa+(1-λ)fb]，则称映射[f]具有性质[p].先给出如下映射：
二、常规拓展型
创新题往往将常规题进行演变和拓展，其解法有的可以依照通法求解，而有的则要用非常规方法求解.
例2 （湖南卷）对于[n∈N*]，将[n]表示成[n=a0×2k+][a1×2k-1+a2×2k-2+⋯+ak-1×21+][ak×20] ，当[i=0]时，[ai=1]，当[1≤i≤k]时， [ai]为0或1. 记[I(n)]为上述表示中[ai]为0的个数（例如：[1=1×20]，[4=1×22+0×21+0×20]，故[I(1)=0]， [I(4)=2]），则:（1）[I(12)=] ；（2）[n=11272I(n)] .
分析 题目将常规知识进行了拓展，给出正整数[n]是二进制.
解 （1）[12=1×23+1×22+0×21+0×20]，
故[I(12)=]2.
（2）127用二进制数表示为1111111，我们先考查7位数的情况，它的后6位数字会出现0的个数分别为6、5、4、3、2、1、0这7种情况，其出现的次数依次为[C66]、[C56]、[C46]、[C36]、[C26]、[C16]、[C06]，即[In=6]时，出现[C66]次，[In=5]时，出现[C56]次，[In=4]时，出现[C46]次，[In=3]时，出现[C36]次，[In=2]时，出现[C26]次，[In=1]时，出现[C16]次，[In=0]时，出现[C06]次，针对这一种情况，对[2I(n)]求和，有[C6626+C5625+C4624][+C3623+C2622][+C1621+C0620=2+16=36]，即7位数时，对[2I(n)]求和，其结果为[36]，同理，考察6位数、5位数、4位数、3位数、2位数、1位数时，对[2I(n)]求和，其结果分别为[35、][34、][33、][32、][31、][30]，
故[n=11272I(n)][=36+35+34+33+32+31+30=37-12][=1093].
我们换一种思维，由特殊到一般，考查[22]～[23]（含[22]，不含[23]，即含前面的数，不含后面的数，以下相同）中的4个数，[In=2]的有1个，[In=1]的有2个，[In=0]的有1个，即分别为[C22、C12、C02]个；考查[23]～[24]中8个数，[In=3]有1个，[In=2]的有3个，[In=1]的有3个，[In=0]的有1个，即分别为[C33、C23、C13、C03]个；考查[24]～[25]中16个数，[In=4]有1个，[In=3]有4个，[In=2]的有6个，[In=1]的有4个，[In=0]的有1个，即分别为[C44、C34、C24、][C14、C04]个. 由此推到一般，当[n≥1]时，[2n]～[2n+1]（含[2n]，不含[2n+1]）中的[2n]个数，[In=n]的有[Cnn]个，[In=n-1]的有[Cn-1n]个，…，[In=1]的有[C1n]个，[In=0]的有[C0n]个.
于是[n=11272I(n)=7×20+C11+C12+⋯+C16×21]
[+C22+C23+⋯+C26×22][+C33+C34+C35+C36×23]
[+C44+C45+C46×24][+C55+C56×25][+C66×26]
[=C17×20+C27×21+C37×22+C47×23+C57×24+C67×25+C77×26]
[=121+27-1=1093].
感悟 另辟蹊径，殊途同归.
例3 （广东卷） 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.
分析 利用线性回归分析，必须首先找到相关量.
解 注意到儿子的身高与父亲的身高有关，这是线性回归. 用[xi]表示父亲的身高， [yi]表示儿子的身高，其对应数据如下表.
[[xi]&173&170&176&[yi]&170&176&182&]
计算出[x=173]，[y=176]，
[b=i=13xi-xyi-yi=13xi-x2=1]，[a=y-bx=3]，
故线性回归方程为[y=x+3]，当[x=182]时，[y=185].即预测他孙子的身高为[185cm].
感悟 辨明是非，回归原点.
三、相似类比型
类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式．
例4 （江西卷）观察下列各式:[55=3125,56=15625,][57=78125,⋯,]则[52011]的末四位数字为（ ）
A. 3125 B. 5625 C. 0625 D. 8125
分析 题中的数2011比数5和数7要大得多，一定有规律可行，由前面的数的末四位数进行类比推理即可．
解 构造函数[fx=5x]，有
[f4=625,f5=3125,f6=15625]，
[f7=78125,][f8=390625]，[f9=3153125,]
[f10=15765625,⋯]，
观察可以得到其末四位数字出现的规律以4为周期，又[2011=2004+7]，故[52011]的末四位数字与[57]的末四位数字相同，故选D.
四、探索归纳型
探索归纳，是指通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式，通常有条件探索、结论探索和规律探索三种类型．
例5 （北京卷）设[A0,0,B4,0,][Ct+4,4,][Dt,4t∈R]，记[Nt]为平行四边形[ABCD]内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数[Nt]的值域为（ ）
A.[9,10,11] B.[9,10,12]
C.[9,11,12] D.[10,11,12]
分析 其一无论[t]取何值，平行四边形的面积总相等；其二直线[y=2]在平行四边形内部的整点只有两种情况：4个或者3个.
解 直线[y=2]在平行四边形内部的整点的个数有4个或者3个.直线[y=2]把平行四边形[ABCD]分割为两个全等的平行四边形，平行四边形内部的纵坐标为2的整点有4个时，直线[y=2]分成的两个平行四边形内部的整点个数各有4个，平行四边形内部的纵坐标为2的整点有3个时，直线[y=2]分成的两个平行四边形内部的整点个数各有4个或3个，故函数[Nt]的值域为[9,11,12].
感悟 一线分南北，南北点相同.
例6 （江西卷）如下图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，[M]和[N]是小圆的一条固定直径的两个端点. 那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点[M、N]在大圆内所绘出的图形大致是（ ）
分析 动手做一做，就有结果.
解 根据小圆与大圆半径1∶2的关系，找上下左右四个点，根据这四个点的位置，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，在运行的过程中，[M]点和[N]点的轨迹是四条线段，即大圆的半径. 故选A.
感悟 不能想当然，否则入歧途.
例7 （浙江卷）设[a、b、c]为实数，[f(x)=(x+][a)(x2+bx+c)]，[g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1)].记集合[S={xf(x)=0,x∈R},][T=xg(x)=0,x∈R].
若[{S}、{T}]分别为集合[S、T]的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A. [{S}=1]且[{T}=0] B. [{S}=1]且[{T}=1]
C. [{S}=2]且[{T}=2] D. [{S}=2]且[{T}=3]
分析 对于两个问题，先固定一个，再来考虑另外一个.
解 若[{T}=3]，即说明[g(x)=(ax+1)(cx2+][bx+1)=0]有3个不同的解，此时必有[b2-4c>0]，三个解为[x=-1a]或[x=-b±b2-4c2c]，注意到[-1a≠-b±b2-4c2c]，即[a≠b±b2-4c2].
再考查[f(x)=(x+a)(x2+bx+c)=0]，有[x+a=0]或[x2+bx+c=0]，由[b2-4c>0]知[x2+bx+c=0]有两个不同的解，故[x=-a]或[x=-b±b2-4c2]，注意到前面已经证明的[a≠b±b2-4c2]，此时也有[{S}=3]，不满足[{S}=2]，故选D.
感悟 分别讨论，各个击破.
一、知识迁移型
知识迁移型的考题年年都会有，这些题目往往给出新定义，提供新信息，从而构成新的问题来考查学生的知识迁移能力.
例1 （福建卷）设[V]是全体平面向量构成的集合，若映射[f:V→R]满足：对任意向量[a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,]以及任意[λ][∈]R，均有[fλa+(1-λ)b][=λfa+(1-λ)fb]，则称映射[f]具有性质[p].先给出如下映射：
二、常规拓展型
创新题往往将常规题进行演变和拓展，其解法有的可以依照通法求解，而有的则要用非常规方法求解.
例2 （湖南卷）对于[n∈N*]，将[n]表示成[n=a0×2k+][a1×2k-1+a2×2k-2+⋯+ak-1×21+][ak×20] ，当[i=0]时，[ai=1]，当[1≤i≤k]时， [ai]为0或1. 记[I(n)]为上述表示中[ai]为0的个数（例如：[1=1×20]，[4=1×22+0×21+0×20]，故[I(1)=0]， [I(4)=2]），则:（1）[I(12)=] ；（2）[n=11272I(n)] .
分析 题目将常规知识进行了拓展，给出正整数[n]是二进制.
解 （1）[12=1×23+1×22+0×21+0×20]，
故[I(12)=]2.
（2）127用二进制数表示为1111111，我们先考查7位数的情况，它的后6位数字会出现0的个数分别为6、5、4、3、2、1、0这7种情况，其出现的次数依次为[C66]、[C56]、[C46]、[C36]、[C26]、[C16]、[C06]，即[In=6]时，出现[C66]次，[In=5]时，出现[C56]次，[In=4]时，出现[C46]次，[In=3]时，出现[C36]次，[In=2]时，出现[C26]次，[In=1]时，出现[C16]次，[In=0]时，出现[C06]次，针对这一种情况，对[2I(n)]求和，有[C6626+C5625+C4624][+C3623+C2622][+C1621+C0620=2+16=36]，即7位数时，对[2I(n)]求和，其结果为[36]，同理，考察6位数、5位数、4位数、3位数、2位数、1位数时，对[2I(n)]求和，其结果分别为[35、][34、][33、][32、][31、][30]，
故[n=11272I(n)][=36+35+34+33+32+31+30=37-12][=1093].
我们换一种思维，由特殊到一般，考查[22]～[23]（含[22]，不含[23]，即含前面的数，不含后面的数，以下相同）中的4个数，[In=2]的有1个，[In=1]的有2个，[In=0]的有1个，即分别为[C22、C12、C02]个；考查[23]～[24]中8个数，[In=3]有1个，[In=2]的有3个，[In=1]的有3个，[In=0]的有1个，即分别为[C33、C23、C13、C03]个；考查[24]～[25]中16个数，[In=4]有1个，[In=3]有4个，[In=2]的有6个，[In=1]的有4个，[In=0]的有1个，即分别为[C44、C34、C24、][C14、C04]个. 由此推到一般，当[n≥1]时，[2n]～[2n+1]（含[2n]，不含[2n+1]）中的[2n]个数，[In=n]的有[Cnn]个，[In=n-1]的有[Cn-1n]个，…，[In=1]的有[C1n]个，[In=0]的有[C0n]个.
于是[n=11272I(n)=7×20+C11+C12+⋯+C16×21]
[+C22+C23+⋯+C26×22][+C33+C34+C35+C36×23]
[+C44+C45+C46×24][+C55+C56×25][+C66×26]
[=C17×20+C27×21+C37×22+C47×23+C57×24+C67×25+C77×26]
[=121+27-1=1093].
感悟 另辟蹊径，殊途同归.
例3 （广东卷） 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.
分析 利用线性回归分析，必须首先找到相关量.
解 注意到儿子的身高与父亲的身高有关，这是线性回归. 用[xi]表示父亲的身高， [yi]表示儿子的身高，其对应数据如下表.
[[xi]&173&170&176&[yi]&170&176&182&]
计算出[x=173]，[y=176]，
[b=i=13xi-xyi-yi=13xi-x2=1]，[a=y-bx=3]，
故线性回归方程为[y=x+3]，当[x=182]时，[y=185].即预测他孙子的身高为[185cm].
感悟 辨明是非，回归原点.
三、相似类比型
类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式．
例4 （江西卷）观察下列各式:[55=3125,56=15625,][57=78125,⋯,]则[52011]的末四位数字为（ ）
A. 3125 B. 5625 C. 0625 D. 8125
分析 题中的数2011比数5和数7要大得多，一定有规律可行，由前面的数的末四位数进行类比推理即可．
解 构造函数[fx=5x]，有
[f4=625,f5=3125,f6=15625]，
[f7=78125,][f8=390625]，[f9=3153125,]
[f10=15765625,⋯]，
观察可以得到其末四位数字出现的规律以4为周期，又[2011=2004+7]，故[52011]的末四位数字与[57]的末四位数字相同，故选D.
四、探索归纳型
探索归纳，是指通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式，通常有条件探索、结论探索和规律探索三种类型．
例5 （北京卷）设[A0,0,B4,0,][Ct+4,4,][Dt,4t∈R]，记[Nt]为平行四边形[ABCD]内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数[Nt]的值域为（ ）
A.[9,10,11] B.[9,10,12]
C.[9,11,12] D.[10,11,12]
分析 其一无论[t]取何值，平行四边形的面积总相等；其二直线[y=2]在平行四边形内部的整点只有两种情况：4个或者3个.
解 直线[y=2]在平行四边形内部的整点的个数有4个或者3个.直线[y=2]把平行四边形[ABCD]分割为两个全等的平行四边形，平行四边形内部的纵坐标为2的整点有4个时，直线[y=2]分成的两个平行四边形内部的整点个数各有4个，平行四边形内部的纵坐标为2的整点有3个时，直线[y=2]分成的两个平行四边形内部的整点个数各有4个或3个，故函数[Nt]的值域为[9,11,12].
感悟 一线分南北，南北点相同.
例6 （江西卷）如下图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，[M]和[N]是小圆的一条固定直径的两个端点. 那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点[M、N]在大圆内所绘出的图形大致是（ ）
分析 动手做一做，就有结果.
解 根据小圆与大圆半径1∶2的关系，找上下左右四个点，根据这四个点的位置，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，在运行的过程中，[M]点和[N]点的轨迹是四条线段，即大圆的半径. 故选A.
感悟 不能想当然，否则入歧途.
例7 （浙江卷）设[a、b、c]为实数，[f(x)=(x+][a)(x2+bx+c)]，[g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1)].记集合[S={xf(x)=0,x∈R},][T=xg(x)=0,x∈R].
若[{S}、{T}]分别为集合[S、T]的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A. [{S}=1]且[{T}=0] B. [{S}=1]且[{T}=1]
C. [{S}=2]且[{T}=2] D. [{S}=2]且[{T}=3]
分析 对于两个问题，先固定一个，再来考虑另外一个.
解 若[{T}=3]，即说明[g(x)=(ax+1)(cx2+][bx+1)=0]有3个不同的解，此时必有[b2-4c>0]，三个解为[x=-1a]或[x=-b±b2-4c2c]，注意到[-1a≠-b±b2-4c2c]，即[a≠b±b2-4c2].
再考查[f(x)=(x+a)(x2+bx+c)=0]，有[x+a=0]或[x2+bx+c=0]，由[b2-4c>0]知[x2+bx+c=0]有两个不同的解，故[x=-a]或[x=-b±b2-4c2]，注意到前面已经证明的[a≠b±b2-4c2]，此时也有[{S}=3]，不满足[{S}=2]，故选D.
感悟 分别讨论，各个击破.