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摘 要
在当前的课堂学习中，许多学生存在对知识的假性理解现象。这种假性理解普遍存在于各个学科，但在数学学习中尤为明显。本文从数学假性理解的内容、特点等视角对这一现象进行探究，并尝试从多个角度分析造成这种现象的原因，探讨克服学生在数学学习中假性理解出现的对策。
关键词
数学 假性理解 原因 策略
一、正确认识數学假性理解
1.数学假性理解的概念
假性理解指学生在学习新内容的过程中，对新知识的认识仅停留在表面，并未将其本质理解透彻，从而在运用这部分内容的时候出现错误。而数学假性理解是指在数学学习活动中，学习者对所要学习的数学知识、数学表达、数学认识等内容的理解不够深刻，尚未真正地领悟到其本质性的内涵，仅仅停留在感性层面，从而造成已经习得并理解其内在含义的假象，而这种不够深刻的理解，在实际运用到这些知识的时候就会给学生带来困扰，影响学生数学能力的提高和数学思维的培养。
2.数学假性理解的分类
在数学学习活动中，假性理解可以以数学知识内容的具体类别为维度进行划分，包括数学知识的假性理解、数学思想方法的假性理解两大类，而数学知识的假性理解又包括数学概念的假性理解、数学定理的假性理解、数学公式的假性理解等。
数学概念的假性理解主要表现为学生能够较为熟练地复述数学概念，但是在涉及到对概念的判定、运用具体的数学概念解决问题时，不能够抓住数学概念的关键所在。例如，初中一年级学生在处理“关于x的方程（m+1）x|m|+m-3=0是一元一次方程，求m的值”这一问题时，部分同学就会由于对一元一次方程概念的本质缺乏深层上的认识而出现的错解，或者有些同学虽然牢记一元一次方程的概念，而面对本题却无从下手。前者是由于只考虑到满足一元一次方程的部分条件却忽略掉“只有一个未知数存在”即未知数的存在性，也就是对一元一次方程的概念理解不够透彻、不够全面;而出现后面这种情况则是由于学生不能把文字语言和数学概念中的关键条件一一对应，没有对课本上的概念进行自我加工和深入理解，这都是数学概念上的假性理解。而数学定理、数学公式等的假性理解则是指学生对数学定理、数学公式等内容比较熟悉，但是仅限于单纯的套用，对其推理与证明、或者变形等内容缺乏认识。
数学思想方法的假性理解则是学生在学习具体的数学思想方法（如数形结合、化归、转化、整体代换等方法）的过程中对这些思想方法的接受只停留在表面，在具体的运用中并没有那么得心应手，从而出现这样或那样的错误。大多时候，学生都把这些假性理解简单归结为一时马虎，认为对做题过程中所涉及的知识点、解题方法和解题技巧等达到了理解的水平，就是真正地习得，这种单纯的归结方法是不科学的，往往会带来更多的学习问题，缺乏深层次的思考。
3.数学假性理解的特点
数学假性理解具有潜伏性。这里的潜伏性是指它的不易发现性，因为在学生的实际学习活动中，多数同学甚至教师都把这种假性理解简单地划到粗心这一行列，并不能透过现象看到问题的本质。这也是数学假性理解长期存在，得不到正视和有效解决的主要原因。只有正确认识到数学假性理解的存在，找到所谓粗心现象的根源和本质所在，才能够从根本上剖析此类问题，进而找到解决问题的对策，有效地进行问题解决。
数学假性理解具有普遍性。数学假性理解普遍存于学生的数学学习活动中，无论是数学新课的学习，还是数学知识的复习、数学思想方法的总结归纳，数学假性理解现象的出现越来越普遍。数学假性理解的普遍性不仅体现在数学学习内容上，还体现在数学学习的主体——学生方面，在数学学习中，出现假性理解问题的学生也越来越多，他们在运用已习得的数学知识解决数学问题时，会因为对知识的理解不够透彻而出现这样那样的错误，这些错误是学生数学假性理解的普遍表现。
二、数学假性理解形成的原因
造成学生数学假性理解的原因是多方面的，只有清楚地了解造成这种现象出现的原因，才能够对症下药，从根本上找到减少甚至消除数学假性理解的方法。笔者分别是从教师和学生两个方面进行数学假性理解的原因分析。
1.教师层面的原因
教师过于注重知识量的传授，在一定程度上忽略“质”的讲解。在当前的数学课堂教学中，仍然存在赶进度的现象，部分教师在教学任务重、教学时间不够的情况下，为保证教学任务的完成，采取加快讲课进度的策略。而伴随着这种高进度的课堂教学，学生的各种问题也就出现了，数学假性理解的出现尤为明显。教师讲得快，学生为跟上教师的步伐，就会囫囵吞枣，粗略地理解所学内容，对知识的追求也由理解每一部分变为利用这些知识解答习题，但这种粗略的理解并不能帮助学生较好地利用这些知识处理数学问题，反而会造成各种错解的出现。老师讲得快，学生学得不够精细，不能够完全理解所学内容的本质，在运用知识时就会出现各种问题，而面对各种问题的出现，却简单地把错误归为粗心，这显然不够理性，对问题的分析不够深入透彻。
“授人以鱼不如授人以渔”是广大教师追求的教学状态。但是，现在的课堂教学中，教师越来越注重对解题方法、解题技巧的讲解，这就给学生带来一种错觉，认为只要掌握解题技巧就能够处理好数学问题了。所以使得一些同学过于追求数学方法和解题技巧的学习，而忽视了对数学内容自身的深层次理解。数学思想方法是数学教学中不可或缺的一部分，是数学文化的精华所在，但并不意味着，数学知识的讲解、数学习题的处理都要从思想方法和技巧上着手，过于注重方法总结会使得学生对方法技巧的依赖逐渐增大，盲目依赖固化的解题思路，不利于学生发散思维的培养，同时也会使学生对数学内容的理解仅停留在感性层面，不能够体悟到数学知识的根本所在。
2.学生自身的原因
学生为能够跟上教师的教学进度，对所学知识仅能够做到初步理解，对所学知识的理解难以做到深入透彻。针对教师讲授的课堂知识，一些学生仅限于能够复述，难以理解其本质，所以在运用这些知识去处理数学问题时会出现各种各样的错误，出现假性理解现象。面对数学课堂中教师呈现的大量数学内容，学生的接受能力也是有限的，为了最大程度习得教师的教学内容，部分学生对这些内容的学习便成了有选择性的接受，甚至对一些内容只能记住大概，这就为后续学习留下隐患。 部分学生在学完教师讲授的内容时，未能进行及时的再加工和再认识，没有形成自己的理解，并且在运用数学知识时难以做到举一反三。对所学内容，学生是需要进行再加工的，在自己对知识进行加工的过程中加深理解，形成自己的认识，并且能够在运用这些内容时做到知其所以然，而不是仅仅局限于记住解题的技巧和方式方法，忽略其本质内容。对所学内容进行及时总结，抓住内容的关键，在解决数学问题时能够做到举一反三，这是当前大多数学生需要做的。
还有，假性理解的“迷惑性”主要体现在课堂上的数学问题表征及其处理方法上。一般来说，数学问题经过课前预习环节后，大多数学生已经有了初步的认识，师生在处理问题时，教师可能误认为学生已经掌握问题的意义、性质和方法，但是教师进一步询问学生所选方法的理由时，很多学生回答不出来。其主要原因是：这些学生往往将数学问题表征为具体化的固定程式，表现为仅关注问题的具体操作过程，而忽视问题思路与方法的来源。这是假性理解状态下学生问题表征的第一个明显特征。例如，高中教材中有关统计与概率内容，其中的公式较为复杂，但每一项内容又都有很强的思想性，而反映这些内容的公式也有客观的条件性，这就容易形成假性理解的“迷惑性”。特别是，在当前的选择性必修中，统计部分还增加了参数估计、假设检验等内容，很多学生在学习时急于求成，不认真领会其背后蕴含的“样本距代替总体距”“小概率事件原理”等统计思想，过度依赖具体的计算公式，问题中的变量或条件的呈现方式只要稍加变化，学生就很难正确处理问题。
此外，学校的教育水平、学习氛围、教师的教学风格、学生的认知水平、学习习惯、思维方式等因素都是影响数学假性理解出现的因素。
三、克服数学假性理解现象的策略
1.教师要改变教学方法
教师要改进教学方法，改变赶进度的现状，要进行高质量的课堂教学，而不是仅仅追求高速度。只有引导学生去理解数学知识的内涵，才能有效帮助学生真正地把所学知识纳入到已有的认知结构中，实现对数学知识本质的掌握。教师要选择适合所授内容的教学方式，结合学生的实际情况进行课堂教学，充分把握学情。同时，在引导学生解决数学问题时还要注意，教师不要过分强调解题技巧，而要注重解题思路、解题关键步骤的分析，不仅让学生知道具体的解法，还要知道为什么要这样处理。这样才能帮助学生从根本上掌握所学内容，并帮助学生在真正意义上实现对数学知识的理解和运用。
2.学生要改进学习方法
学生要能够做到对数学内容的及时再加工，形成自己的认知。学生是数学假性理解发生的主体，教师等因素相对于学生自身而言都是外在的。要想从根本上解决数学假性理解这一问题，学生是关键所在。无论在哪个学科领域，学生都应该对所学内容有自己的思考，相对于其他学科，数学有着抽象性等特点，这使得数学中的再思考尤为重要。学生在学习数学知识时，不能只做到简单的理解、知道，或者简单套用数学公式进行习题处理，而要清楚地知道这些知识点的内涵和关键，明确这些知识应用的原理，对这些内容有自己的理解，能够用自己的语言进行描述和整合，在不断的反思中完善自己的认知结构，提高自身的数学能力。
3.注重学生问题意识的培养
培养问题意识，是克服数学假性理解现象的重要策略。一方面，问题是思考的源泉，无论是学习新知识还是理解思想方法、寻找规律，都要树立问题意识，带着问题听课，即使是教材中的基本概念、定义和公式，也要多想一下为什么要这样推导，为什么要这样规定;另一方面，问题及问题解决还是数学思维品质形成的关键。思维的训练和数学思维品质的养成，是在学生一步步克服数学假性理解的过程中形成的，只有经常带着问题学习、带着问题思考，才能准确找到自身在数学学习中存在的思维障碍和理解困难。因此，学生在学习时应当针对具体原因有针对性地克服假性理解，注重概念、公式的适用范围以及题目中的细节条件，加深对概念和公式深度理解，培养良好的数学思维习惯。具体来说，学生在学习相关概念时要注意公式的适用范围和成立的前提条件;在解题时应当养成随时批注的习惯，对解题的关键点进行标注，充分提取、领悟题目中的提示信息，才能选取适当的方法解决问题。而数学思维的深刻性、灵活性、批判性等品质的训练，离不开数学深层次的思考和反思。因此，教师应当采取支持性的而非控制的方式鼓励学生对自己的学习过程进行回顾、思考、评价和调节，充分尊重学生学习自主权，设定合理的反思性学习指导意见以培养学生的反思能力。学生只有对自己的学习情况有正确把握，才能适时调整自己的学习节奏，进而消除假性理解。
本文从理论层面对数学假性理解的内涵、特点、原因和解决策略等进行了初步的探讨，在后续针对数学假性理解的研究中，还有许多视角可以切入，比如造成学生数学假性理解的因素中，各因素所占比例是怎样的、数学假性理解是否存在性别上的差异、是否存在年级间的差异、针对数学假性理解所提出的策略是否具有可行性等都需要进一步的实证研究。
参考文献
[1] 张将.谈数学概念学习中的假性理解[J].中学数学杂志，2003（05）：21-22.
[2] 蔡勇.消除中学数学假性理解现象的几点思考——浅谈基于尝试教学理论的高中数学课堂教学[J].数学教学通讯，2016（04）：18-19.
[3] 杜静静.从一道试題看“数学假性理解”[J].福建中学数学，2015（09）：28-30.
[作者：傅海伦（1970-），男，山东曹县人，山东师范大学数学与统计学院，教授，博士生导师;张佩雯（1992-），女，山东济宁人，济南市技师学院交通服务与管理系，助教，硕士;王彩芬（1976-），女，山东高密人，山东师范大学数学与统计学院，讲师，博士生。]
【责任编辑 陈国庆】
在当前的课堂学习中，许多学生存在对知识的假性理解现象。这种假性理解普遍存在于各个学科，但在数学学习中尤为明显。本文从数学假性理解的内容、特点等视角对这一现象进行探究，并尝试从多个角度分析造成这种现象的原因，探讨克服学生在数学学习中假性理解出现的对策。
关键词
数学 假性理解 原因 策略
一、正确认识數学假性理解
1.数学假性理解的概念
假性理解指学生在学习新内容的过程中，对新知识的认识仅停留在表面，并未将其本质理解透彻，从而在运用这部分内容的时候出现错误。而数学假性理解是指在数学学习活动中，学习者对所要学习的数学知识、数学表达、数学认识等内容的理解不够深刻，尚未真正地领悟到其本质性的内涵，仅仅停留在感性层面，从而造成已经习得并理解其内在含义的假象，而这种不够深刻的理解，在实际运用到这些知识的时候就会给学生带来困扰，影响学生数学能力的提高和数学思维的培养。
2.数学假性理解的分类
在数学学习活动中，假性理解可以以数学知识内容的具体类别为维度进行划分，包括数学知识的假性理解、数学思想方法的假性理解两大类，而数学知识的假性理解又包括数学概念的假性理解、数学定理的假性理解、数学公式的假性理解等。
数学概念的假性理解主要表现为学生能够较为熟练地复述数学概念，但是在涉及到对概念的判定、运用具体的数学概念解决问题时，不能够抓住数学概念的关键所在。例如，初中一年级学生在处理“关于x的方程（m+1）x|m|+m-3=0是一元一次方程，求m的值”这一问题时，部分同学就会由于对一元一次方程概念的本质缺乏深层上的认识而出现的错解，或者有些同学虽然牢记一元一次方程的概念，而面对本题却无从下手。前者是由于只考虑到满足一元一次方程的部分条件却忽略掉“只有一个未知数存在”即未知数的存在性，也就是对一元一次方程的概念理解不够透彻、不够全面;而出现后面这种情况则是由于学生不能把文字语言和数学概念中的关键条件一一对应，没有对课本上的概念进行自我加工和深入理解，这都是数学概念上的假性理解。而数学定理、数学公式等的假性理解则是指学生对数学定理、数学公式等内容比较熟悉，但是仅限于单纯的套用，对其推理与证明、或者变形等内容缺乏认识。
数学思想方法的假性理解则是学生在学习具体的数学思想方法（如数形结合、化归、转化、整体代换等方法）的过程中对这些思想方法的接受只停留在表面，在具体的运用中并没有那么得心应手，从而出现这样或那样的错误。大多时候，学生都把这些假性理解简单归结为一时马虎，认为对做题过程中所涉及的知识点、解题方法和解题技巧等达到了理解的水平，就是真正地习得，这种单纯的归结方法是不科学的，往往会带来更多的学习问题，缺乏深层次的思考。
3.数学假性理解的特点
数学假性理解具有潜伏性。这里的潜伏性是指它的不易发现性，因为在学生的实际学习活动中，多数同学甚至教师都把这种假性理解简单地划到粗心这一行列，并不能透过现象看到问题的本质。这也是数学假性理解长期存在，得不到正视和有效解决的主要原因。只有正确认识到数学假性理解的存在，找到所谓粗心现象的根源和本质所在，才能够从根本上剖析此类问题，进而找到解决问题的对策，有效地进行问题解决。
数学假性理解具有普遍性。数学假性理解普遍存于学生的数学学习活动中，无论是数学新课的学习，还是数学知识的复习、数学思想方法的总结归纳，数学假性理解现象的出现越来越普遍。数学假性理解的普遍性不仅体现在数学学习内容上，还体现在数学学习的主体——学生方面，在数学学习中，出现假性理解问题的学生也越来越多，他们在运用已习得的数学知识解决数学问题时，会因为对知识的理解不够透彻而出现这样那样的错误，这些错误是学生数学假性理解的普遍表现。
二、数学假性理解形成的原因
造成学生数学假性理解的原因是多方面的，只有清楚地了解造成这种现象出现的原因，才能够对症下药，从根本上找到减少甚至消除数学假性理解的方法。笔者分别是从教师和学生两个方面进行数学假性理解的原因分析。
1.教师层面的原因
教师过于注重知识量的传授，在一定程度上忽略“质”的讲解。在当前的数学课堂教学中，仍然存在赶进度的现象，部分教师在教学任务重、教学时间不够的情况下，为保证教学任务的完成，采取加快讲课进度的策略。而伴随着这种高进度的课堂教学，学生的各种问题也就出现了，数学假性理解的出现尤为明显。教师讲得快，学生为跟上教师的步伐，就会囫囵吞枣，粗略地理解所学内容，对知识的追求也由理解每一部分变为利用这些知识解答习题，但这种粗略的理解并不能帮助学生较好地利用这些知识处理数学问题，反而会造成各种错解的出现。老师讲得快，学生学得不够精细，不能够完全理解所学内容的本质，在运用知识时就会出现各种问题，而面对各种问题的出现，却简单地把错误归为粗心，这显然不够理性，对问题的分析不够深入透彻。
“授人以鱼不如授人以渔”是广大教师追求的教学状态。但是，现在的课堂教学中，教师越来越注重对解题方法、解题技巧的讲解，这就给学生带来一种错觉，认为只要掌握解题技巧就能够处理好数学问题了。所以使得一些同学过于追求数学方法和解题技巧的学习，而忽视了对数学内容自身的深层次理解。数学思想方法是数学教学中不可或缺的一部分，是数学文化的精华所在，但并不意味着，数学知识的讲解、数学习题的处理都要从思想方法和技巧上着手，过于注重方法总结会使得学生对方法技巧的依赖逐渐增大，盲目依赖固化的解题思路，不利于学生发散思维的培养，同时也会使学生对数学内容的理解仅停留在感性层面，不能够体悟到数学知识的根本所在。
2.学生自身的原因
学生为能够跟上教师的教学进度，对所学知识仅能够做到初步理解，对所学知识的理解难以做到深入透彻。针对教师讲授的课堂知识，一些学生仅限于能够复述，难以理解其本质，所以在运用这些知识去处理数学问题时会出现各种各样的错误，出现假性理解现象。面对数学课堂中教师呈现的大量数学内容，学生的接受能力也是有限的，为了最大程度习得教师的教学内容，部分学生对这些内容的学习便成了有选择性的接受，甚至对一些内容只能记住大概，这就为后续学习留下隐患。 部分学生在学完教师讲授的内容时，未能进行及时的再加工和再认识，没有形成自己的理解，并且在运用数学知识时难以做到举一反三。对所学内容，学生是需要进行再加工的，在自己对知识进行加工的过程中加深理解，形成自己的认识，并且能够在运用这些内容时做到知其所以然，而不是仅仅局限于记住解题的技巧和方式方法，忽略其本质内容。对所学内容进行及时总结，抓住内容的关键，在解决数学问题时能够做到举一反三，这是当前大多数学生需要做的。
还有，假性理解的“迷惑性”主要体现在课堂上的数学问题表征及其处理方法上。一般来说，数学问题经过课前预习环节后，大多数学生已经有了初步的认识，师生在处理问题时，教师可能误认为学生已经掌握问题的意义、性质和方法，但是教师进一步询问学生所选方法的理由时，很多学生回答不出来。其主要原因是：这些学生往往将数学问题表征为具体化的固定程式，表现为仅关注问题的具体操作过程，而忽视问题思路与方法的来源。这是假性理解状态下学生问题表征的第一个明显特征。例如，高中教材中有关统计与概率内容，其中的公式较为复杂，但每一项内容又都有很强的思想性，而反映这些内容的公式也有客观的条件性，这就容易形成假性理解的“迷惑性”。特别是，在当前的选择性必修中，统计部分还增加了参数估计、假设检验等内容，很多学生在学习时急于求成，不认真领会其背后蕴含的“样本距代替总体距”“小概率事件原理”等统计思想，过度依赖具体的计算公式，问题中的变量或条件的呈现方式只要稍加变化，学生就很难正确处理问题。
此外，学校的教育水平、学习氛围、教师的教学风格、学生的认知水平、学习习惯、思维方式等因素都是影响数学假性理解出现的因素。
三、克服数学假性理解现象的策略
1.教师要改变教学方法
教师要改进教学方法，改变赶进度的现状，要进行高质量的课堂教学，而不是仅仅追求高速度。只有引导学生去理解数学知识的内涵，才能有效帮助学生真正地把所学知识纳入到已有的认知结构中，实现对数学知识本质的掌握。教师要选择适合所授内容的教学方式，结合学生的实际情况进行课堂教学，充分把握学情。同时，在引导学生解决数学问题时还要注意，教师不要过分强调解题技巧，而要注重解题思路、解题关键步骤的分析，不仅让学生知道具体的解法，还要知道为什么要这样处理。这样才能帮助学生从根本上掌握所学内容，并帮助学生在真正意义上实现对数学知识的理解和运用。
2.学生要改进学习方法
学生要能够做到对数学内容的及时再加工，形成自己的认知。学生是数学假性理解发生的主体，教师等因素相对于学生自身而言都是外在的。要想从根本上解决数学假性理解这一问题，学生是关键所在。无论在哪个学科领域，学生都应该对所学内容有自己的思考，相对于其他学科，数学有着抽象性等特点，这使得数学中的再思考尤为重要。学生在学习数学知识时，不能只做到简单的理解、知道，或者简单套用数学公式进行习题处理，而要清楚地知道这些知识点的内涵和关键，明确这些知识应用的原理，对这些内容有自己的理解，能够用自己的语言进行描述和整合，在不断的反思中完善自己的认知结构，提高自身的数学能力。
3.注重学生问题意识的培养
培养问题意识，是克服数学假性理解现象的重要策略。一方面，问题是思考的源泉，无论是学习新知识还是理解思想方法、寻找规律，都要树立问题意识，带着问题听课，即使是教材中的基本概念、定义和公式，也要多想一下为什么要这样推导，为什么要这样规定;另一方面，问题及问题解决还是数学思维品质形成的关键。思维的训练和数学思维品质的养成，是在学生一步步克服数学假性理解的过程中形成的，只有经常带着问题学习、带着问题思考，才能准确找到自身在数学学习中存在的思维障碍和理解困难。因此，学生在学习时应当针对具体原因有针对性地克服假性理解，注重概念、公式的适用范围以及题目中的细节条件，加深对概念和公式深度理解，培养良好的数学思维习惯。具体来说，学生在学习相关概念时要注意公式的适用范围和成立的前提条件;在解题时应当养成随时批注的习惯，对解题的关键点进行标注，充分提取、领悟题目中的提示信息，才能选取适当的方法解决问题。而数学思维的深刻性、灵活性、批判性等品质的训练，离不开数学深层次的思考和反思。因此，教师应当采取支持性的而非控制的方式鼓励学生对自己的学习过程进行回顾、思考、评价和调节，充分尊重学生学习自主权，设定合理的反思性学习指导意见以培养学生的反思能力。学生只有对自己的学习情况有正确把握，才能适时调整自己的学习节奏，进而消除假性理解。
本文从理论层面对数学假性理解的内涵、特点、原因和解决策略等进行了初步的探讨，在后续针对数学假性理解的研究中，还有许多视角可以切入，比如造成学生数学假性理解的因素中，各因素所占比例是怎样的、数学假性理解是否存在性别上的差异、是否存在年级间的差异、针对数学假性理解所提出的策略是否具有可行性等都需要进一步的实证研究。
参考文献
[1] 张将.谈数学概念学习中的假性理解[J].中学数学杂志，2003（05）：21-22.
[2] 蔡勇.消除中学数学假性理解现象的几点思考——浅谈基于尝试教学理论的高中数学课堂教学[J].数学教学通讯，2016（04）：18-19.
[3] 杜静静.从一道试題看“数学假性理解”[J].福建中学数学，2015（09）：28-30.
[作者：傅海伦（1970-），男，山东曹县人，山东师范大学数学与统计学院，教授，博士生导师;张佩雯（1992-），女，山东济宁人，济南市技师学院交通服务与管理系，助教，硕士;王彩芬（1976-），女，山东高密人，山东师范大学数学与统计学院，讲师，博士生。]
【责任编辑 陈国庆】