论文部分内容阅读
在近几年的中考数学试题中出现了一些操作类试题，操作类试题是指通过动手测量、作图、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的试题，它把代数计算与几何作图融为一体，新颖独特，是中考试题中一道亮丽的风景．这类问题格调清新，有利于考查学生的识图能力、计算能力、动手操作能力和空间想象能力.
近几年的操作类试题，有一部分属于简单的操作类型，它包括裁剪、折叠、拼图、旋转，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起.对于这种类型的考题，考生需要能够明晰所考查的知识点，建立合适的数学模型，求得答案.还有一部分操作题属于新定义型，给出一个新的定义，让学生根据定义得出图形，并解决一系列问题，对于这种类型的考题，考生需要弄清定义，正确操作，寻找课本知识结合点，求得答案.下面结合近今年的几道中考试题谈一下本人观点.
一、 明晰考点，建立直角三角形求解
例1 （2010·宁德市）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（ ）
A． 2＋■ B． 2＋2■
C． 12 D． 18
解析 BC=5，EC=4，BE=1 在Rt△ABE中，由勾股定理求出AE=■.则展开后三角形的周长是2＋2■
点评 此题考察等腰三角形对称性知识，通过建立直角三角形这一模型，借助勾股定理求出AE长，通过对称性求出等腰三角形的周长.
在折纸类的操作题中，建立直角三角形通过勾股定理进行计算是一种常见方法.
二、 明晰考点，建立方程模型求解
例2 （2010·晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（ ）
A. 669 B. 670
C. 671 D. 672
解析 先通过具体的操作，归纳出小正方形的个数与第n次操作之间满足个数=4+3（n-1），然后令个数等于2011，建立一元一次方程，求出n=670.
点评 在这类操作题中，学生通过自己的操作
探索出所求结果与操作次数之间的关系式，通过建立方程模型进行求解，这是一种有效的方法.
三、 弄清题意，正确操作，寻找与课本知识结合点
例3 （2011·南京市）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
（1） 如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．
（2） 在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
解析 （1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°CD是AB上的中线，
∴CD=12AB ∴CD=BD .
∴∠BCE=∠ABC.
∵BE⊥CD ∴∠BEC=90°？摇？摇
？摇？摇？摇∴∠BEC=∠ACB.
∴△BCE∽△ABC.
∴E是△ABC的自相似点.
（2） ①作图略 作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；
（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．
则P为△ABC的自相似点．
②连接PB、PC． ∵P为△ABC的内心，
∴∠PBC=■∠ABC，∠PCB=■∠ACB．
∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．
∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，
∠ACB＝2∠BCP=4∠A． ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．
∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．
∴∠A=■． ∴该三角形三个内角的度数分别为■、■、■.
点评 这道题关键在于自相似点这个新定义的理解，通过由特殊图形到一般图形加深对新定义的理解，并结合内心的概念，完成最后一问.
例4 （2012·宁波）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第二次操作，……依次类推，若第n次余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，如图1，■ABCD中，若AB=1，BC=2，则■ABCD为1阶准菱形.
（1） 判断现推理：
① 邻边长分别为2和3的平行四边形是 阶准菱形；
② 小明为了得剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把■ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点落在边上的点F，得到四边形，请证明四边形是菱形.
（2） 操作、探究、计算：
① 已知平行四边形的边长分别为1，a（a＞1）且是3阶准菱形，请画出■ABCD及裁剪线的示意图，并在下方写出的a值.
② 已知■ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出■ABCD是几阶准菱形.
解析 （1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案；
② 根据平行四边形的性质得出AE∥BF，进而得出AE=BF，即可得出答案；
② ∵ a=6b+r，b=5r，∴ a=6×5r+r=31r；
如图所示：故■ABCD是10阶准菱形．
点评 此题考查考生对于n阶准菱形这个新定义的理解，并考查考生对于图形的剪拼与菱形判定.因此，建立在理解定义基础上的操作是解题的保证．
从上面的几个例子可以看出，对于操作类的试题，考生在考试要弄清题意，明晰考点，要注意与图形的平移、旋转、翻折、对称相结合，同时，还要能够理解新定义，在理解定义基础上进行操作，并寻求与我们已掌握知识的结合点，进行求解．
（责任编辑：李建军）
近几年的操作类试题，有一部分属于简单的操作类型，它包括裁剪、折叠、拼图、旋转，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起.对于这种类型的考题，考生需要能够明晰所考查的知识点，建立合适的数学模型，求得答案.还有一部分操作题属于新定义型，给出一个新的定义，让学生根据定义得出图形，并解决一系列问题，对于这种类型的考题，考生需要弄清定义，正确操作，寻找课本知识结合点，求得答案.下面结合近今年的几道中考试题谈一下本人观点.
一、 明晰考点，建立直角三角形求解
例1 （2010·宁德市）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（ ）
A． 2＋■ B． 2＋2■
C． 12 D． 18
解析 BC=5，EC=4，BE=1 在Rt△ABE中，由勾股定理求出AE=■.则展开后三角形的周长是2＋2■
点评 此题考察等腰三角形对称性知识，通过建立直角三角形这一模型，借助勾股定理求出AE长，通过对称性求出等腰三角形的周长.
在折纸类的操作题中，建立直角三角形通过勾股定理进行计算是一种常见方法.
二、 明晰考点，建立方程模型求解
例2 （2010·晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（ ）
A. 669 B. 670
C. 671 D. 672
解析 先通过具体的操作，归纳出小正方形的个数与第n次操作之间满足个数=4+3（n-1），然后令个数等于2011，建立一元一次方程，求出n=670.
点评 在这类操作题中，学生通过自己的操作
探索出所求结果与操作次数之间的关系式，通过建立方程模型进行求解，这是一种有效的方法.
三、 弄清题意，正确操作，寻找与课本知识结合点
例3 （2011·南京市）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
（1） 如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．
（2） 在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
解析 （1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°CD是AB上的中线，
∴CD=12AB ∴CD=BD .
∴∠BCE=∠ABC.
∵BE⊥CD ∴∠BEC=90°？摇？摇
？摇？摇？摇∴∠BEC=∠ACB.
∴△BCE∽△ABC.
∴E是△ABC的自相似点.
（2） ①作图略 作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；
（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．
则P为△ABC的自相似点．
②连接PB、PC． ∵P为△ABC的内心，
∴∠PBC=■∠ABC，∠PCB=■∠ACB．
∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．
∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，
∠ACB＝2∠BCP=4∠A． ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．
∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．
∴∠A=■． ∴该三角形三个内角的度数分别为■、■、■.
点评 这道题关键在于自相似点这个新定义的理解，通过由特殊图形到一般图形加深对新定义的理解，并结合内心的概念，完成最后一问.
例4 （2012·宁波）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第二次操作，……依次类推，若第n次余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，如图1，■ABCD中，若AB=1，BC=2，则■ABCD为1阶准菱形.
（1） 判断现推理：
① 邻边长分别为2和3的平行四边形是 阶准菱形；
② 小明为了得剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把■ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点落在边上的点F，得到四边形，请证明四边形是菱形.
（2） 操作、探究、计算：
① 已知平行四边形的边长分别为1，a（a＞1）且是3阶准菱形，请画出■ABCD及裁剪线的示意图，并在下方写出的a值.
② 已知■ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出■ABCD是几阶准菱形.
解析 （1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案；
② 根据平行四边形的性质得出AE∥BF，进而得出AE=BF，即可得出答案；
② ∵ a=6b+r，b=5r，∴ a=6×5r+r=31r；
如图所示：故■ABCD是10阶准菱形．
点评 此题考查考生对于n阶准菱形这个新定义的理解，并考查考生对于图形的剪拼与菱形判定.因此，建立在理解定义基础上的操作是解题的保证．
从上面的几个例子可以看出，对于操作类的试题，考生在考试要弄清题意，明晰考点，要注意与图形的平移、旋转、翻折、对称相结合，同时，还要能够理解新定义，在理解定义基础上进行操作，并寻求与我们已掌握知识的结合点，进行求解．
（责任编辑：李建军）