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摘 要： “小数的性质”在小数知识学习中处于关键之处，起到基石的作用。“小数的性质”是整数与小数互相改写的依据，也是针对“小数部分的末尾”而言。“小数的性质”帮助学生学习小数四则运算时，进行计算道理的理解，使小数四则运算转化为整数四则运算，借助数位之间的进率和小数的意义进行理解。
关键词：理解;为理解而教;小数的性质
在数学知识编排中，小数是在学习整数知识的基础之上，结合分数的知识进行学习的。随着小学生思维的发展和生活经历的增多，小数也走进了学生的视野，因此，小数的知识值得小学生去探究。在小数知识体系中，“小数的性质”起着承上启下、至关重要的地位。小学生对“小数的性质”知识的学习必须全面透彻，才能为后续的小数四则运算学习和分数的学习打下坚实的基础，才能真正地理解整数与小数的关系，才能深度理解小学数学中的数系结构。
一、“小数的性质”的知识定位
在苏教版小学数学教材中，小数知识的学习从小学三年级开始，结合分数的知识进行学习小数，例如，看分数写小数。教材中用类比的方法让小学生进行简单的模仿和改写，属于低层次的模仿学习和机械学习。此阶段的小学生所学习的小数知识比较浅显，属于“照葫芦画瓢”的低水平阶段，不能系统地理解小数的概念与意义。到了五年级，小学生学习小数的意义、性质和四则运算，能够较为全面地认识小数知识，系统地运用小数知识解决实际问题，属于高层次的意义学习，能够在数系计算中理解小数的价值和作用，但不能把小数与分数在计算上相互贯通。直到学完分数的意义、性质和四则运算的时候，小学生才能对小数和分数在概念理解和计算方法上相互贯通、灵活互化，共同填补整数计算解决实际问题的不足之处，才能深刻体会到小数和分数存在的必要性和价值——分数比小数在计算中更简便，小数比分数在生活中更实用，至此，才能全面地理解小学数学中的数系结构和数系计算。
“小数的性质”知识的学习是小学生学习小数知识从机械学习转向意义学习的关键之处，是小数四则运算在计算道理上的基石。如果小学生对该知识不能深刻理解和灵活运用，那么小学生很难进行小数四则运算的学习。退一步说，即使小学生在没有透彻理解“小数的性质”知识情况下，类比整数四则计算，学会了小数四则运算的计算方法，能够进行小数计算，但是，这种程度的小数计算也只是高水平机械学习的结果，没有在头脑中的数学知识体系中对小数四则运算进行理解性建构和内化，在计算道理上存在严重短板。
二、“小数的性质”的概念深化
1.对比练习，巩固理解
教材把“小数的性质”定义为“小数的末尾添上‘0’或去掉‘0’，小数的大小不变”。小学生运用此知识进行改写及化简小数时，对于一般的题目，能够准确地改写及化简小数，如4.2改写为三位小数4.200 、30.010化简为两位小数30.01、0.0100化简为两位小数0.01等题目。即使少数小学生在做题时出现错误，但是，教师只要趁机提示，让小学生结合课本中的“小数的性质”概念进行检查时，他们中的大多数人就能明白自己出错的原因。而对于个别学习困难的小学生，再紧扣“小数的性质”概念进行单独辅导，就几乎能让全体小学生对小数进行改写及化简。换而言之，通过对比练习，使小学生对“小数的性质”概念进行巩固理解，明白了小数的“头零”“肚零”不能省略或添加，而小数的“尾零”能够省略，而且无论小数的“尾零”的数量有多少个，都可以被省略掉，小数的大小也没有发生改变。循此逻辑，一个小数，在其末尾无论添加了多少个“尾零”，都是依据“小数的性质”知识而进行正确改写，也没有改变小数本身的大小。
2.重点探究，深化理解
把整數10改写成三位小数，得10.000，反之，10.000依据“小数的性质”知识进行化简时，有部分小学生出现化简错误的现象，把10.000化简为整数1。让化简错误的小学生认真思考和检查，依然出现错误，教师辅导之后发现，虽然化简错误的小学生在对“小数的性质”概念的运用上出现错误，但是他们意识不到自己的错误，不认为自己出错，反而坚定地认为自己的化简是紧扣课本中的“小数的性质”概念，把“小数的末尾”去掉“0”。化简错误的小学生解释的理由是教材中的概念没有严格界定“小数的末尾”具体在哪个数位或哪个部分，因而，就错误地把小数的整数部分的“零”也当成“尾零”给省略掉了。
遇此情况，一方面，教师要充分激活小学生的思考，发动小学生进行小组讨论，探究不同改写结果的解释是否合理，有无漏洞。必要的时候，可以追问小学生，“小数改写前后是用等号连接，还是用约等于号连接？”“依据‘小数的性质’知识进行改写小数，小数的大小最终发生变化了吗？”头脑反应快的小学生会给出正确的回答，也会领悟到小数的整数部分的“0”不属于“尾零”，而“尾零”只存在于小数的小数部分。
另一方面，教师趁此机会引导小学生思考整数与小数的关系，二者在数位和进率上是相互衔接、相互连通的，因此，在形式上，可以把整数看成特殊的小数，而小数是整数的数系结构的延伸与细化。进而言之，小数的数系结构在形式上和数量上包含整数的数系结构，例如，在数轴上的所有整数，都可以用小数去表示。10.000之所以错误地改写为1，是因为小学生没有理解整数部分与小数部分的不同点，没有思考到小数知识包含整数知识，没有理解到有些小数只有整数部分有数字因而简写为整数，有些小数只有小数部分有数字因而整数部分用0占位，有些小数的整数部分和小数部分都有数字，更没有认识到“小数的性质”仅仅是针对小数的小数部分而言。
综上，教材上“小数的性质”概念在小学生进行整数与小数的改写练习之后，应该升级为“小数部分的末尾添上‘0’或去掉‘0’，小数的大小不变”，要对“小数的末尾”进行限定，及时地帮助小学生理解小数知识，使小学生形成关于小数与整数正确的数系认识。如果概念不准确、不周密，小学生很容易出现理解上的失误，对于“小数的性质”知识掌握不准确，影响小学生关于小数四则运算知识的学习。 三、“小数的性质”的迁移运用
之所以把“小数的性质”定位为小数四则运算在计算道理上的基石，是因为无论学习小数加减法，还是学习小数乘除法，都离不开“小数的性质”的迁移运用。小数加减法中运用“小数的性质”知识帮助小学生有效地归纳计算方法、理解计算道理。在计算方法上，在小数部分的末尾补上“0”，能使两个小数部分的数位个数相同，相同的数位对齐，类比整数进行加减运算;在计算道理上，小数部分的末尾补上“0”，使两个小数部分的数位的个数相同，从而使二者的计数单位相同，便于理解两个小数的意义，进行小数意义上的整数化的加减计算。例如，3.4减去2.65，依据“小数的性质”知识，3.4末尾补上一个“0”，改写为3.40，小数的大小不变，但计数单位改变为0.01，表示为340个0.01，而340个0.01减去265个0.01，还剩75个0.01，所以计算结果为0.75。
小数除法中运用“小数的性质”知识，有利于计算方法的发现与归纳，也有利于计算道理的理解。在计算方法上，小数除法竖式计算类比整数除法竖式计算，用被除数所有数位上的数字依次除完除数之后，竖式中还剩有余数时，要在余数后面不断地补上“0”继续除，商写在对应数位的上面，直到除尽或符合题目要求为止。在计算道理上，小数除法竖式中的余数肯定是整数形式的数字，在其后面补上“0”，实质上就是改写小数，只不过没有在除法竖式中点上小数点，只是在被除数和商中点上小数点而已。换而言之，小数除法的计算，在形式上是把小数除法转化为整数除法进行计算，在实质上需要结合数位的进率和计数单位进行理解，而这其中的关键之处就需要依据“小数的性质”知识，例如，12÷5，12除以5商2余2，在余数2后面补上“0”，其实就是把整数2改写成一位小数2.0，表示为20个0.1，20個0.1除以5相当于20个0.1平均分成5份，每份是4个0.1，得0.4，所以4就写在商中得数2的后一位，并且，商中得数2和4之间，应该点上小数点。也可以理解为，12÷5=（10+2）÷5=10÷5+2÷5=2+0.4=2.4。
总之，“小数的性质”知识是小学生系统学习小数知识的基石，是真正理解小数四则运算中计算道理的关键点，是启迪小学生思维、深化其数系结构的“金钥匙”。
【备注：本文系江苏省盐城市教育科学“十三五”规划2020年度立项课题“小学生数学理解能力培养的课堂案例研究”的研究成果，课题立项编号为：2020-L-045。】
关键词：理解;为理解而教;小数的性质
在数学知识编排中，小数是在学习整数知识的基础之上，结合分数的知识进行学习的。随着小学生思维的发展和生活经历的增多，小数也走进了学生的视野，因此，小数的知识值得小学生去探究。在小数知识体系中，“小数的性质”起着承上启下、至关重要的地位。小学生对“小数的性质”知识的学习必须全面透彻，才能为后续的小数四则运算学习和分数的学习打下坚实的基础，才能真正地理解整数与小数的关系，才能深度理解小学数学中的数系结构。
一、“小数的性质”的知识定位
在苏教版小学数学教材中，小数知识的学习从小学三年级开始，结合分数的知识进行学习小数，例如，看分数写小数。教材中用类比的方法让小学生进行简单的模仿和改写，属于低层次的模仿学习和机械学习。此阶段的小学生所学习的小数知识比较浅显，属于“照葫芦画瓢”的低水平阶段，不能系统地理解小数的概念与意义。到了五年级，小学生学习小数的意义、性质和四则运算，能够较为全面地认识小数知识，系统地运用小数知识解决实际问题，属于高层次的意义学习，能够在数系计算中理解小数的价值和作用，但不能把小数与分数在计算上相互贯通。直到学完分数的意义、性质和四则运算的时候，小学生才能对小数和分数在概念理解和计算方法上相互贯通、灵活互化，共同填补整数计算解决实际问题的不足之处，才能深刻体会到小数和分数存在的必要性和价值——分数比小数在计算中更简便，小数比分数在生活中更实用，至此，才能全面地理解小学数学中的数系结构和数系计算。
“小数的性质”知识的学习是小学生学习小数知识从机械学习转向意义学习的关键之处，是小数四则运算在计算道理上的基石。如果小学生对该知识不能深刻理解和灵活运用，那么小学生很难进行小数四则运算的学习。退一步说，即使小学生在没有透彻理解“小数的性质”知识情况下，类比整数四则计算，学会了小数四则运算的计算方法，能够进行小数计算，但是，这种程度的小数计算也只是高水平机械学习的结果，没有在头脑中的数学知识体系中对小数四则运算进行理解性建构和内化，在计算道理上存在严重短板。
二、“小数的性质”的概念深化
1.对比练习，巩固理解
教材把“小数的性质”定义为“小数的末尾添上‘0’或去掉‘0’，小数的大小不变”。小学生运用此知识进行改写及化简小数时，对于一般的题目，能够准确地改写及化简小数，如4.2改写为三位小数4.200 、30.010化简为两位小数30.01、0.0100化简为两位小数0.01等题目。即使少数小学生在做题时出现错误，但是，教师只要趁机提示，让小学生结合课本中的“小数的性质”概念进行检查时，他们中的大多数人就能明白自己出错的原因。而对于个别学习困难的小学生，再紧扣“小数的性质”概念进行单独辅导，就几乎能让全体小学生对小数进行改写及化简。换而言之，通过对比练习，使小学生对“小数的性质”概念进行巩固理解，明白了小数的“头零”“肚零”不能省略或添加，而小数的“尾零”能够省略，而且无论小数的“尾零”的数量有多少个，都可以被省略掉，小数的大小也没有发生改变。循此逻辑，一个小数，在其末尾无论添加了多少个“尾零”，都是依据“小数的性质”知识而进行正确改写，也没有改变小数本身的大小。
2.重点探究，深化理解
把整數10改写成三位小数，得10.000，反之，10.000依据“小数的性质”知识进行化简时，有部分小学生出现化简错误的现象，把10.000化简为整数1。让化简错误的小学生认真思考和检查，依然出现错误，教师辅导之后发现，虽然化简错误的小学生在对“小数的性质”概念的运用上出现错误，但是他们意识不到自己的错误，不认为自己出错，反而坚定地认为自己的化简是紧扣课本中的“小数的性质”概念，把“小数的末尾”去掉“0”。化简错误的小学生解释的理由是教材中的概念没有严格界定“小数的末尾”具体在哪个数位或哪个部分，因而，就错误地把小数的整数部分的“零”也当成“尾零”给省略掉了。
遇此情况，一方面，教师要充分激活小学生的思考，发动小学生进行小组讨论，探究不同改写结果的解释是否合理，有无漏洞。必要的时候，可以追问小学生，“小数改写前后是用等号连接，还是用约等于号连接？”“依据‘小数的性质’知识进行改写小数，小数的大小最终发生变化了吗？”头脑反应快的小学生会给出正确的回答，也会领悟到小数的整数部分的“0”不属于“尾零”，而“尾零”只存在于小数的小数部分。
另一方面，教师趁此机会引导小学生思考整数与小数的关系，二者在数位和进率上是相互衔接、相互连通的，因此，在形式上，可以把整数看成特殊的小数，而小数是整数的数系结构的延伸与细化。进而言之，小数的数系结构在形式上和数量上包含整数的数系结构，例如，在数轴上的所有整数，都可以用小数去表示。10.000之所以错误地改写为1，是因为小学生没有理解整数部分与小数部分的不同点，没有思考到小数知识包含整数知识，没有理解到有些小数只有整数部分有数字因而简写为整数，有些小数只有小数部分有数字因而整数部分用0占位，有些小数的整数部分和小数部分都有数字，更没有认识到“小数的性质”仅仅是针对小数的小数部分而言。
综上，教材上“小数的性质”概念在小学生进行整数与小数的改写练习之后，应该升级为“小数部分的末尾添上‘0’或去掉‘0’，小数的大小不变”，要对“小数的末尾”进行限定，及时地帮助小学生理解小数知识，使小学生形成关于小数与整数正确的数系认识。如果概念不准确、不周密，小学生很容易出现理解上的失误，对于“小数的性质”知识掌握不准确，影响小学生关于小数四则运算知识的学习。 三、“小数的性质”的迁移运用
之所以把“小数的性质”定位为小数四则运算在计算道理上的基石，是因为无论学习小数加减法，还是学习小数乘除法，都离不开“小数的性质”的迁移运用。小数加减法中运用“小数的性质”知识帮助小学生有效地归纳计算方法、理解计算道理。在计算方法上，在小数部分的末尾补上“0”，能使两个小数部分的数位个数相同，相同的数位对齐，类比整数进行加减运算;在计算道理上，小数部分的末尾补上“0”，使两个小数部分的数位的个数相同，从而使二者的计数单位相同，便于理解两个小数的意义，进行小数意义上的整数化的加减计算。例如，3.4减去2.65，依据“小数的性质”知识，3.4末尾补上一个“0”，改写为3.40，小数的大小不变，但计数单位改变为0.01，表示为340个0.01，而340个0.01减去265个0.01，还剩75个0.01，所以计算结果为0.75。
小数除法中运用“小数的性质”知识，有利于计算方法的发现与归纳，也有利于计算道理的理解。在计算方法上，小数除法竖式计算类比整数除法竖式计算，用被除数所有数位上的数字依次除完除数之后，竖式中还剩有余数时，要在余数后面不断地补上“0”继续除，商写在对应数位的上面，直到除尽或符合题目要求为止。在计算道理上，小数除法竖式中的余数肯定是整数形式的数字，在其后面补上“0”，实质上就是改写小数，只不过没有在除法竖式中点上小数点，只是在被除数和商中点上小数点而已。换而言之，小数除法的计算，在形式上是把小数除法转化为整数除法进行计算，在实质上需要结合数位的进率和计数单位进行理解，而这其中的关键之处就需要依据“小数的性质”知识，例如，12÷5，12除以5商2余2，在余数2后面补上“0”，其实就是把整数2改写成一位小数2.0，表示为20个0.1，20個0.1除以5相当于20个0.1平均分成5份，每份是4个0.1，得0.4，所以4就写在商中得数2的后一位，并且，商中得数2和4之间，应该点上小数点。也可以理解为，12÷5=（10+2）÷5=10÷5+2÷5=2+0.4=2.4。
总之，“小数的性质”知识是小学生系统学习小数知识的基石，是真正理解小数四则运算中计算道理的关键点，是启迪小学生思维、深化其数系结构的“金钥匙”。
【备注：本文系江苏省盐城市教育科学“十三五”规划2020年度立项课题“小学生数学理解能力培养的课堂案例研究”的研究成果，课题立项编号为：2020-L-045。】