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【摘 要】学生学习数学常常会发生错误，作为教师应善待学生的学习错误资源，促进学生充分借助错误资源，开展探究，寻根问底，有错“思”改——追“错”溯源、变“错”为宝、抛“错”引玉、顺“错”推舟、因“错”制宜。从而发展思维，形成正确的认知，做到有错必“思”，“思”中明理。
【关键词】数学学习;有错“思”改
学生在学习数学，构建知识的过程中往往不可能“一步到位”，并在这过程中常常不可避免发生错误，数学教师应善待学生的学习错误资源，科学地研究学生的学习错误，积极引导学生经历“发生错误—研究错误—改正错误”的过程，从而有效地促进学生有错必纠，有错“思”改。
一、追“错”溯源
瑞士心理学家皮亚杰说过：“学习是一个不断犯错误的过程，同时又是一个不断通过反复思考导致错误的缘由并逐渐消除错误的过程。”由此可见，小学生在平时的数学学习中，发生错误是不可避免的。教师应该追“错”溯源，让学生从知识源头予以杜绝，并且“知其然，知其所以然”。
例如，“一张长18厘米，宽10厘米的长方形纸中，剪半径2厘米的圆，可以剪几个？”常有学生这样计算：（18×10）÷（3.14×2×2）≈14（个）。出现这样的错误，学生自身是很难发现的。因此，教师须引导学生对“错”进行溯源。因为要考虑到现实情况，如果真的剪圆，会有边角料，那些边角料是不能用的。这位学生的解法等于是把边角料粘在一起再剪，完全不现实。因此，不能直接用长方形的面积除以圆的面积。正确的答案应是先把这张长方形纸分成若干个正方形，每个正方形内剪一个圆，正方形边长就是圆的直径，就是2×2=4厘米。从长方形的宽来看，10÷4=2.5（个），但是半个圆就不是圆了，所以取2个;再从长方形的长来看，18÷4=4.5（个），也就是说每一行只能有4个。从宽上看有2行，每一行4个，2×4=8（个），所以正确的应该是8个。
二、变“错”为宝
美国科学家富兰克林有一句名言：“垃圾是放错了地方的宝贝。”学生在知识建构过程中，会有一些认识上的偏差，对于学生生成的错误资源，教师必须适时进行价值引领，千方百计地通过学生的数学语言表达，暴露其思维过程，变“错”为宝。
例如，有这样一个与“比例尺”有关的题目，“一块长方形地，按比例尺1：200画出平面图后，量得长是8厘米，宽是6厘米，计算这块地的实际面积”。学生往往会给出下面两种计算方法：（1）8÷1/200=1600（厘米），6÷1/200=1200（厘米），1600×1200=1920000（平方厘米），1920000平方厘米=192平方米;（2）6×8÷1/200=9600（平方厘米），9600平方厘米=96平方分米。第（2）种算法中出现的一块地是96平方分米是错误的。出现这种错误是具有普遍性的，因此，作为老师应充分利用这一错误资源，变“错”为宝，引导学生找出错的根本原因，积累经验，避免往后犯同样的错误。教师提出了“那你们能研究一下图上面积和实际面积的比与比例尺有什么关系吗？”让学生去探索，经过讨论，明了比例尺是距离之间的比，而不是面积之间的比。而图上面积和实际面积是1：40000，也就是比例尺的平方，知道了第（2）种方法该怎么做了，用6×8÷1/40000就行了，学生从另一个角度去探索了数学的奥秘，从纠错中不断完善知识结构。
三、抛“错”引玉
德国哲学家黑格尔说过：“错误本身是达到真理的一个必然的环节。”数学活动是一种包含有猜测、错误和尝试、证明与反驳、检验与改进的复杂过程。如何抛“错”引玉，让差错焕发出光芒变成美丽的课程资源，这是值得每一位数学老师思考的共性问题。
例如，在“分数应用题”的综合练习课中，教师设计了这样一道题：希望小学六（1）班体育测试，1/6的同学得了“及格”，1/2的同学得了“良”，其余的15人都得了“优”。六（1）班一共有学生多少人？大部分的同学能够列出算式：15÷（1-1/6-1/2）=45（人），这时教师将问题改为：六（1）班得了“及格”的学生多少人？算到45×1/6时，学生愣住了。为什么全班人数可以“整数”，而其中的部分人数却出现“7.5人”的状况呢？问题究竟出现在哪里呢？“老师，您出错题目了！”“老师，可以把题目中的15人改为偶数人。”针对出错，学生展开思维与讨论，于是学生争先恐后的举手发言，在恍然大悟中，学生明白了解决问题后检验的重要性。本案例中教师故意暴露理解盲区，自然生成审题关注点，提供反思机会，促成自我否定，形成正确思路，学生的思维、情感被彻底激活。
四、顺“错”推舟
前苏联教育家苏霍姆林斯基说过：“教育的技巧并不在于能预见到课堂的所有细节，而是在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生不知不觉中做出相应的变动。”数学课堂善于顺“错”推舟，及时调整，寻求“生成”与“预设”新的平衡，才能使我们的数学课堂锦上添花。
例如，“一辆汽车上山时每小时行30千米，从原路返回时每小时行50千米。这辆汽车上山和下山的平均速度是多少？”相当一部分学生这样解答：（30+50）÷2=40（千米），这种解法显然是错误的。因为这样求得的速度是速度的平均数，而不是平均速度。学生错误“错”得顺其自然，此时，教师应该因势利导：一般说来，求平均速度需要有两个最基本的条件：一是总路程，二是总时间。这又偏偏是本题都没有的。怎么
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办呢？我们不妨假设出发点到目的地的路程为1，可以上山用的时间是1/30，下山用的时间是1/50，根据总路程÷总时间=平均速度，就可以求出汽车上下山的平均速度。（1+1）÷（1/30+1/50）=37.5（千米），汽车上下山的平均速度是37.5千米。
五、因“错”制宜
课程专家叶澜教授曾作过这样的精辟论述：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程”。教师要帮助学生认识到“吃一堑，长一智”的道理，因“错”制宜，最大程度上减少甚至避免再次差错的出现。
例如，教学有余数的除法时计算：37.6÷1.4，并要求学生进行验算。结果大部分学生是错误的，有的同学得出的商是2.6，有的同学得出的余数是12。针对这一较为典型的错误，教师把它作为一个判断题让学生自主探究，先判断答案是否正确，接着追问：“你是怎样发现错误的？”学生在富有启发性问题的诱导下，积极主动地进行探索，很快找到了三种判断错误的方法：余数12与除数1.4比，余数比除数大，说明是错误的;验算：2.6×1.4+1.2≠37.6，说明商是错误的;验算26×1.4+12≠37.6，说明余数是错误的。紧接着，教师再带着学生分析，找出正确的商和余数。由于计算时，被除数和除数同时扩大了10倍，商里的小数点不能忘记，余数是被除数扩大10倍计算后余下的，所以余数也扩大了10倍，正确的余数应把12缩小10倍，即1.2，37.6÷1.4=26……1.2。
我国著名科学家钱学森曾说过：“正确的结果，是从大量的错误中得来的，没有大量的错误作阶梯，也就登不上最后结果的宝座。”正所谓“失败是成功之母。”错误是正确的先导，错误是通向成功的阶梯。对待学生学习数学的每个错误资源的不同处理策略，折射了教师不同的理念和智慧。只有遵照“一切为了学生的全面发展为本的思想”，给予学生有错“救”改的机会，赋予学生战胜困难的信心，便能映射出学生无限的创造与潜力。
【参考文献】
[1]周玲棣.课堂，因“错误”而精彩[J].中小学数学（小学版）.2005（1、2）
[2]沈正会.变学习错为培养创新思维的契机[J].小学教学设计.2003（7）
[3]朱巧琳.让“错误”资源促进学生的学习[J].小学教学参考.2007（10）
[4]刘春美.让错误放出光彩[J].小学青年教师.2006（4）
[5]余文森.小学数学名师易错问题针对教学[M].西南师范大学出版社.2010.3
（作者单位：福建省漳浦县实验小学）
【关键词】数学学习;有错“思”改
学生在学习数学，构建知识的过程中往往不可能“一步到位”，并在这过程中常常不可避免发生错误，数学教师应善待学生的学习错误资源，科学地研究学生的学习错误，积极引导学生经历“发生错误—研究错误—改正错误”的过程，从而有效地促进学生有错必纠，有错“思”改。
一、追“错”溯源
瑞士心理学家皮亚杰说过：“学习是一个不断犯错误的过程，同时又是一个不断通过反复思考导致错误的缘由并逐渐消除错误的过程。”由此可见，小学生在平时的数学学习中，发生错误是不可避免的。教师应该追“错”溯源，让学生从知识源头予以杜绝，并且“知其然，知其所以然”。
例如，“一张长18厘米，宽10厘米的长方形纸中，剪半径2厘米的圆，可以剪几个？”常有学生这样计算：（18×10）÷（3.14×2×2）≈14（个）。出现这样的错误，学生自身是很难发现的。因此，教师须引导学生对“错”进行溯源。因为要考虑到现实情况，如果真的剪圆，会有边角料，那些边角料是不能用的。这位学生的解法等于是把边角料粘在一起再剪，完全不现实。因此，不能直接用长方形的面积除以圆的面积。正确的答案应是先把这张长方形纸分成若干个正方形，每个正方形内剪一个圆，正方形边长就是圆的直径，就是2×2=4厘米。从长方形的宽来看，10÷4=2.5（个），但是半个圆就不是圆了，所以取2个;再从长方形的长来看，18÷4=4.5（个），也就是说每一行只能有4个。从宽上看有2行，每一行4个，2×4=8（个），所以正确的应该是8个。
二、变“错”为宝
美国科学家富兰克林有一句名言：“垃圾是放错了地方的宝贝。”学生在知识建构过程中，会有一些认识上的偏差，对于学生生成的错误资源，教师必须适时进行价值引领，千方百计地通过学生的数学语言表达，暴露其思维过程，变“错”为宝。
例如，有这样一个与“比例尺”有关的题目，“一块长方形地，按比例尺1：200画出平面图后，量得长是8厘米，宽是6厘米，计算这块地的实际面积”。学生往往会给出下面两种计算方法：（1）8÷1/200=1600（厘米），6÷1/200=1200（厘米），1600×1200=1920000（平方厘米），1920000平方厘米=192平方米;（2）6×8÷1/200=9600（平方厘米），9600平方厘米=96平方分米。第（2）种算法中出现的一块地是96平方分米是错误的。出现这种错误是具有普遍性的，因此，作为老师应充分利用这一错误资源，变“错”为宝，引导学生找出错的根本原因，积累经验，避免往后犯同样的错误。教师提出了“那你们能研究一下图上面积和实际面积的比与比例尺有什么关系吗？”让学生去探索，经过讨论，明了比例尺是距离之间的比，而不是面积之间的比。而图上面积和实际面积是1：40000，也就是比例尺的平方，知道了第（2）种方法该怎么做了，用6×8÷1/40000就行了，学生从另一个角度去探索了数学的奥秘，从纠错中不断完善知识结构。
三、抛“错”引玉
德国哲学家黑格尔说过：“错误本身是达到真理的一个必然的环节。”数学活动是一种包含有猜测、错误和尝试、证明与反驳、检验与改进的复杂过程。如何抛“错”引玉，让差错焕发出光芒变成美丽的课程资源，这是值得每一位数学老师思考的共性问题。
例如，在“分数应用题”的综合练习课中，教师设计了这样一道题：希望小学六（1）班体育测试，1/6的同学得了“及格”，1/2的同学得了“良”，其余的15人都得了“优”。六（1）班一共有学生多少人？大部分的同学能够列出算式：15÷（1-1/6-1/2）=45（人），这时教师将问题改为：六（1）班得了“及格”的学生多少人？算到45×1/6时，学生愣住了。为什么全班人数可以“整数”，而其中的部分人数却出现“7.5人”的状况呢？问题究竟出现在哪里呢？“老师，您出错题目了！”“老师，可以把题目中的15人改为偶数人。”针对出错，学生展开思维与讨论，于是学生争先恐后的举手发言，在恍然大悟中，学生明白了解决问题后检验的重要性。本案例中教师故意暴露理解盲区，自然生成审题关注点，提供反思机会，促成自我否定，形成正确思路，学生的思维、情感被彻底激活。
四、顺“错”推舟
前苏联教育家苏霍姆林斯基说过：“教育的技巧并不在于能预见到课堂的所有细节，而是在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生不知不觉中做出相应的变动。”数学课堂善于顺“错”推舟，及时调整，寻求“生成”与“预设”新的平衡，才能使我们的数学课堂锦上添花。
例如，“一辆汽车上山时每小时行30千米，从原路返回时每小时行50千米。这辆汽车上山和下山的平均速度是多少？”相当一部分学生这样解答：（30+50）÷2=40（千米），这种解法显然是错误的。因为这样求得的速度是速度的平均数，而不是平均速度。学生错误“错”得顺其自然，此时，教师应该因势利导：一般说来，求平均速度需要有两个最基本的条件：一是总路程，二是总时间。这又偏偏是本题都没有的。怎么
（下转第18页）
（上接第17页）
办呢？我们不妨假设出发点到目的地的路程为1，可以上山用的时间是1/30，下山用的时间是1/50，根据总路程÷总时间=平均速度，就可以求出汽车上下山的平均速度。（1+1）÷（1/30+1/50）=37.5（千米），汽车上下山的平均速度是37.5千米。
五、因“错”制宜
课程专家叶澜教授曾作过这样的精辟论述：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程”。教师要帮助学生认识到“吃一堑，长一智”的道理，因“错”制宜，最大程度上减少甚至避免再次差错的出现。
例如，教学有余数的除法时计算：37.6÷1.4，并要求学生进行验算。结果大部分学生是错误的，有的同学得出的商是2.6，有的同学得出的余数是12。针对这一较为典型的错误，教师把它作为一个判断题让学生自主探究，先判断答案是否正确，接着追问：“你是怎样发现错误的？”学生在富有启发性问题的诱导下，积极主动地进行探索，很快找到了三种判断错误的方法：余数12与除数1.4比，余数比除数大，说明是错误的;验算：2.6×1.4+1.2≠37.6，说明商是错误的;验算26×1.4+12≠37.6，说明余数是错误的。紧接着，教师再带着学生分析，找出正确的商和余数。由于计算时，被除数和除数同时扩大了10倍，商里的小数点不能忘记，余数是被除数扩大10倍计算后余下的，所以余数也扩大了10倍，正确的余数应把12缩小10倍，即1.2，37.6÷1.4=26……1.2。
我国著名科学家钱学森曾说过：“正确的结果，是从大量的错误中得来的，没有大量的错误作阶梯，也就登不上最后结果的宝座。”正所谓“失败是成功之母。”错误是正确的先导，错误是通向成功的阶梯。对待学生学习数学的每个错误资源的不同处理策略，折射了教师不同的理念和智慧。只有遵照“一切为了学生的全面发展为本的思想”，给予学生有错“救”改的机会，赋予学生战胜困难的信心，便能映射出学生无限的创造与潜力。
【参考文献】
[1]周玲棣.课堂，因“错误”而精彩[J].中小学数学（小学版）.2005（1、2）
[2]沈正会.变学习错为培养创新思维的契机[J].小学教学设计.2003（7）
[3]朱巧琳.让“错误”资源促进学生的学习[J].小学教学参考.2007（10）
[4]刘春美.让错误放出光彩[J].小学青年教师.2006（4）
[5]余文森.小学数学名师易错问题针对教学[M].西南师范大学出版社.2010.3
（作者单位：福建省漳浦县实验小学）