三个数学问题的简证

• 作 者: 程宏 袁合才
• 出 处: 数学教学通讯(教师阅读)
• 发表日期: 2011年11期
• 关键词: 三角题 高考试题 权方和不等式 数学奥林匹克

　　摘要：本文给出了三个数学问题的直接、简洁的证明，有利于学生学习掌握相关知识.
　　关键词：三角题；高考试题；权方和不等式；数学奥林匹克
　　
　　■问题一一道三角题的简证
　　题目：已知α，β∈0，■，且sin（α+β）=sin2α+sin2β，求证： α+β=■.
　　浙江大学出版社出版的《奥数讲义（高一年级下）》一书中结合三角函数单调性用反证法对此问题加以证明，侯典峰在《中学数学》上发表的《一道三角题的直接证明》一文中给出了此问题的一个直接证明，但其证明过程较为烦琐，不易为高中生理解和掌握.本文给出一个简单的证明.
　　证明：由sin2α+sin2β=sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，整理得
　　sinα（sinα-cosβ）=sinβ（cosα-sinβ）
　　又因α，β∈0，■，下面我们讨论：
　　（1）如果sinα≥cosβ=sin■－β，即α≥■－β，α+β≥■，那么cosα≥sinβ=cos■－β，于是α≤■－β，α+β≤■，所以有α+β=■.
　　（2）如果sinα≤cosβ=sin■－β，即α≤■－β，α+β≤■，那么cosα≤sinβ=cos■－β，于是α≥■－β，α+β≥■，所以有α+β=■.
　　综上所述，α+β=■.
　　■问题二一道高考试题的简解
　　何寿龙在《数学通讯》上发表的《对一道高考试题的探究》一文中讨论了2009年辽宁省高考卷理科第12题：若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x-1）=5，则x1+x2等于（）
　　A. ■ B. 3 C. ■ D. 4
　　文中给出了三种解法，但其技巧性较强，不易为高中生所理解和掌握. 本文给出该题的简证.
　　由题意， x1满足2x+2x=5得x1+2x1-1=■，于是x1－1=log2■－x■.（1）
　　x2满足2x+2log2（x-1）=5得
　　x2+log2（x2-1）=■. （2）
　　（1）和（2）式左右两端分别相加，整理得x1+x2=■+log2■－x■－log2（x2-1）=■+log2■.?摇?摇?摇?摇 （3）
　　①在（3）中若■=1，即x1+x2=■，又log2■=log21=0，
　　此时（3）式恰好成立.
　　②在（3）中若■>1，即x1+x2<■，又log2■>log21=0，所以■+log2■>■，此时（3）式不成立.
　　③同理在（3）中若■<1，即x1+x2>■，又log2■　　综上，x1+x2=■.
　　
　　■问题三2011年西班牙数学奥林匹克竞赛试题的简证
　　题为：已知a，b，c>0，证明：
　　■+■+■+■≥■.
　　证明：由权方和不等式可得
　　■+■+■=■+■+■≥■=■+1，
　　所以■+■+■+■≥■+■+1=■■+■+■+1≥■+1=■，即证.