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在有关圆的计算或证明中，有些题目特别是无附图题，经常会有多解的可能，我们在解题过程中，一定要认真审题，全面考虑，抓住关键，避免漏解.下面就常见的几种类型加以总结，同学们复习时应加以重视.
例1 （2016·黑龙江）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的面积为（ ）.
A.[2 3] B.[233]
C.[2 3]或[2-3] D.[4 23]或[2-3]
【学生错解】如图1（1），∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，作OD⊥BC于点D，∴CD=1，OD=[3]，则BC边上的高为[2 3]，所以△ABC的面积为[2 3]，选A.
【分析】根据题意画出所有情况的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可以求出不同情况下△ABC的面积.
解：（1）如图1（1），△ABC的面积为2 [3]；（2）如图1（2），当点O在△ABC的外部时，易求BC边上的高为[2-3]，所以△ABC的面积为[2-3].综合可知△ABC的面积为[2 3]或[2-3]，选C.
【特别提醒】由于O点可以在三角形的内部也可以在三角形的外部，因而解决问题应进行分类讨论.
例2 （2016·西宁）⊙O的半径为1，弦AB=[3]，弦AC=[2]，则∠BAC度数为 .
【学生错解】如图2（1）所示：
连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∠OEA=∠OFA=90°，
由垂径定理得：AE=BE=[32]，AF=CF=[22]，cos∠OAE=[AEAO]=[32]，∴∠OAE=30°，同理，∠OAF=45°，∴∠BAC=45° 30°=75°.
【分析】连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA的值，根据解直角三角形的知识，求出∠OAB和∠OAC的度数，然后分两种情况求出∠BAC即可.
解：（1）如图2（1），∠BAC=45° 30°=75°；（2）如图2（2），同样可求∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=45°-30°=15°.答案应填15°或75°.
【特别提醒】弦可以在圆心的同侧，也可以在圆心的两侧.
例3 （2015·绍兴）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连接PA，PB.若PB=4，则PA的长为 .
【学生错解】如图3（1），连接CP，
∵CP=5，CB=3，PB=4，∴CB2 PB2=CP2，
∴△CPB为直角三角形，∠CBP=90°，
∴PB∥AC，而PB=AC=4，
∴四边形ACBP为矩形，
∴PA=BC=3.
【分析】连接CP，延长PB交⊙C于P′，如图3（2），先计算出CB2 PB2=CP2，则根据勾股定理的逆定理得∠CBP=90°，再根据垂径定理得到PB=P′B=4，接着证明四边形ACBP为矩形，则PA=BC=3，然后在Rt△APP′中利用勾股定理计算出P′A=[73]，从而得到满足条件的PA的长为3或[73].
解：（1）如图3（1），PA=3；
（2）如图3（2），PB的延长线交⊙C于P′，同上面的解法可知四边形ACBP为矩形，由BC⊥P′P，则P′B=PB=4，在Rt△APP′中，∵PA=3，PP′=8，∴P′A=[82 32]=[73].
∴PA的长为3或[73].
【特别提醒】点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.
例4 已知⊙P的圆心P在直线y=2x-1的图像上运動.
（1）若⊙P的半径为2，当⊙P与x轴相切时，求点P的坐标.
（2）若⊙P的半径为2，当⊙P与y轴相切时，求P点的坐标.
（3）若⊙P与x轴和y轴都相切时，⊙P的半径是多少？
【学生错解】（1）当⊙P与x轴相切时，P点的纵坐标为2.
∴2=2x-1，∴x=[32].
∴P点的坐标为（[32]，2）.
（2）当⊙P与y轴相切时，P点的横坐标2.
∴y=2×2-1=3，∴P点的坐标为（2，3）.
（3）⊙P与x轴和y轴都相切时，横坐标与纵坐标相等，即x=y，∴x=2x-1，即x=1，y=1，∴P点的坐标为（1，1）.
【分析】（1）当⊙P与x轴相切时，则P点到x轴的距离等于半径2，所以P点纵坐标是2或-2，再求横坐标即可；（2）同理可求当⊙P与y轴相切时，P点横坐标是2或-2，再求P点的纵坐标即可；（3）若⊙P与x轴和y轴都相切时，P到两坐标轴的距离相等，即横坐标和纵坐标相等，可分为同号与异号.
解：（1）当⊙P与x轴相切时，P点的纵坐标为2或-2.∴2=2x-1，或-2=2x-1；
∴x=[32]或x=-[12].
∴P点的坐标为（[32]，2）或（-[12]，-2）.
（2）当⊙P与y轴相切时，P点的横坐标为2或-2.
∴y=2×2-1=3或y=2×（-2）-1=-5.
∴P点的坐标为（2，3）或（-2，-5）.
（3）⊙P与x轴和y轴都相切时，横坐标与纵坐标绝对值相等即x=y，或y=-x.
∴x=2x-1，即x=1，y=1；或-x=2x-1，即x=[13]，y=-[13]；∴P点的坐标为（1，1），（[13]，-[13]）.
即⊙P的半径是1或[13].
【特别提醒】此题重点考查了直线与圆相切时的性质.直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径.
（作者单位：江苏省丰县初级中学）
例1 （2016·黑龙江）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的面积为（ ）.
A.[2 3] B.[233]
C.[2 3]或[2-3] D.[4 23]或[2-3]
【学生错解】如图1（1），∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，作OD⊥BC于点D，∴CD=1，OD=[3]，则BC边上的高为[2 3]，所以△ABC的面积为[2 3]，选A.
【分析】根据题意画出所有情况的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可以求出不同情况下△ABC的面积.
解：（1）如图1（1），△ABC的面积为2 [3]；（2）如图1（2），当点O在△ABC的外部时，易求BC边上的高为[2-3]，所以△ABC的面积为[2-3].综合可知△ABC的面积为[2 3]或[2-3]，选C.
【特别提醒】由于O点可以在三角形的内部也可以在三角形的外部，因而解决问题应进行分类讨论.
例2 （2016·西宁）⊙O的半径为1，弦AB=[3]，弦AC=[2]，则∠BAC度数为 .
【学生错解】如图2（1）所示：
连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∠OEA=∠OFA=90°，
由垂径定理得：AE=BE=[32]，AF=CF=[22]，cos∠OAE=[AEAO]=[32]，∴∠OAE=30°，同理，∠OAF=45°，∴∠BAC=45° 30°=75°.
【分析】连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA的值，根据解直角三角形的知识，求出∠OAB和∠OAC的度数，然后分两种情况求出∠BAC即可.
解：（1）如图2（1），∠BAC=45° 30°=75°；（2）如图2（2），同样可求∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=45°-30°=15°.答案应填15°或75°.
【特别提醒】弦可以在圆心的同侧，也可以在圆心的两侧.
例3 （2015·绍兴）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连接PA，PB.若PB=4，则PA的长为 .
【学生错解】如图3（1），连接CP，
∵CP=5，CB=3，PB=4，∴CB2 PB2=CP2，
∴△CPB为直角三角形，∠CBP=90°，
∴PB∥AC，而PB=AC=4，
∴四边形ACBP为矩形，
∴PA=BC=3.
【分析】连接CP，延长PB交⊙C于P′，如图3（2），先计算出CB2 PB2=CP2，则根据勾股定理的逆定理得∠CBP=90°，再根据垂径定理得到PB=P′B=4，接着证明四边形ACBP为矩形，则PA=BC=3，然后在Rt△APP′中利用勾股定理计算出P′A=[73]，从而得到满足条件的PA的长为3或[73].
解：（1）如图3（1），PA=3；
（2）如图3（2），PB的延长线交⊙C于P′，同上面的解法可知四边形ACBP为矩形，由BC⊥P′P，则P′B=PB=4，在Rt△APP′中，∵PA=3，PP′=8，∴P′A=[82 32]=[73].
∴PA的长为3或[73].
【特别提醒】点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.
例4 已知⊙P的圆心P在直线y=2x-1的图像上运動.
（1）若⊙P的半径为2，当⊙P与x轴相切时，求点P的坐标.
（2）若⊙P的半径为2，当⊙P与y轴相切时，求P点的坐标.
（3）若⊙P与x轴和y轴都相切时，⊙P的半径是多少？
【学生错解】（1）当⊙P与x轴相切时，P点的纵坐标为2.
∴2=2x-1，∴x=[32].
∴P点的坐标为（[32]，2）.
（2）当⊙P与y轴相切时，P点的横坐标2.
∴y=2×2-1=3，∴P点的坐标为（2，3）.
（3）⊙P与x轴和y轴都相切时，横坐标与纵坐标相等，即x=y，∴x=2x-1，即x=1，y=1，∴P点的坐标为（1，1）.
【分析】（1）当⊙P与x轴相切时，则P点到x轴的距离等于半径2，所以P点纵坐标是2或-2，再求横坐标即可；（2）同理可求当⊙P与y轴相切时，P点横坐标是2或-2，再求P点的纵坐标即可；（3）若⊙P与x轴和y轴都相切时，P到两坐标轴的距离相等，即横坐标和纵坐标相等，可分为同号与异号.
解：（1）当⊙P与x轴相切时，P点的纵坐标为2或-2.∴2=2x-1，或-2=2x-1；
∴x=[32]或x=-[12].
∴P点的坐标为（[32]，2）或（-[12]，-2）.
（2）当⊙P与y轴相切时，P点的横坐标为2或-2.
∴y=2×2-1=3或y=2×（-2）-1=-5.
∴P点的坐标为（2，3）或（-2，-5）.
（3）⊙P与x轴和y轴都相切时，横坐标与纵坐标绝对值相等即x=y，或y=-x.
∴x=2x-1，即x=1，y=1；或-x=2x-1，即x=[13]，y=-[13]；∴P点的坐标为（1，1），（[13]，-[13]）.
即⊙P的半径是1或[13].
【特别提醒】此题重点考查了直线与圆相切时的性质.直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径.
（作者单位：江苏省丰县初级中学）