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摘要针对中立型随机发展系统的温和解与轨道温和解，给出了其存在唯一性与渐近估计的充分条件，推广了经典的Pazy定理与一些近期文献的主要工作.
关键词随机发展方程；中立型；脉冲；适定性；渐近性
中图分类号O21163；O17521；O17529；O17515
文献标志码A
四川大学数学研究所，成都，610064
0引言与系统描述
近年来对随机微分方程的研究已成为学术界的一个热门方向[114].中立型随机发展系统更集中代表了随机常微分方程[5]、随机泛函微分方程[3，7，913]、Banach空间中抽象随机微分方程表示的数学物理方程等[12，4，6，14].其中一种经典的研究是利用数学期望将It积分转换普通积分，再利用处理微分方程的技巧与方法来获得其解的各种性态[313].这样获得方程的解只能在样本空间Ω中几乎必然（a.s.，即以概率1）成立.最近，人们对具有可加噪声与一些乘积噪声[1，4]或对具有光滑扩散项的发展方程[2，14]，利用积分或微分变换将It随机（滞后）微分方程化为仅其系数含随机量的（滞后）微分方程，研究了这些方程对所有样本点ω∈Ω都成立的轨道温和解的适定性与渐近性.本文则进一步针对中立型随机发展系统，研究这两类解，给出了其温和解与轨道温和解存在唯一性与渐近估计的充分条件，推广了一个经典的Pazy定理[15]与一些近期文献的主要工作[2，714].
下面将给出主要结果與证明的思路，其准确的概念与证明的细节可类似于文献[2，614]获得.
为了便于研究，我们令R+={x∈R：x≥0}，N表示自然数集，（Ω，F，{Ft}t≥0，P）表示一个完备的概论空间，X，Y
是Banach空间，L（X；Y）是X→Y的所有有界线性算子形成的Banach空间.|·|，|·|Y与|·|L（X；Y）分别表示空间X，Y与L（X；Y）的范数.特别地记L（X）=L（X，X）. 我们说：[a，b]→X是逐段连续若（t）有至多有限个不连续点且（t+）与（t-）存在并对任意t∈（a，b]有（t-）=（t）. PC（X；Y）与C（X；Y）分别表示X→Y的逐段连续与连续集，特别地，PCPC（[-τ，0]；X）与CC（[-τ，0]；X）其范数都记为‖‖=sup-τ≤s≤0|φ（s）|<∞，τ>0是常数或τ=∞. 当τ=∞，PC{：（-∞，0]→X|∈PC（[-r，0]；X），r∈（0，∞）且‖φ‖=sup-∞ 本文研究如下中立型随机发展系统的温和解与轨道温和解：
d[u（t）-G（t，ut）]=[A（t）u（t）+f（t，ut）]dt+g（t，ut）dW（t）， t∈[0，a），
u0=ξ∈PC，ξ（t）=ξ（t，ω）是一个随机过程， t∈[-τ，0]，（1）
其中a是常数或a=∞，A（t）：DX→X是一个稠定闭线性算子族，D
学报（自然科学版），2017，9（4）：400405Journal of Nanjing University of Information Science and Technology（Natural Science Edition），2017，9（4）：400405
徐道义.中立型随机发展系统的适定性与渐近性.
XU Daoyi.
Wellposedness and asymptotic behavior of neutral stochastic evolution systems.
独立于t且在X中稠密，非线性项f与g分别被称为漂移与扩散项.ut（s）=u（t+s）（s∈[-τ，0]）. W是一个取值于可分Hilbert空间U的双边Wiener过程[2].Q∈L（U）是W（t）的一个迹类协方差算子.记U0=Q12U，则L02=L2（U0；X）配以范数|Ψ|2L02=Tr（ΨQΨ*）是一个可分的Hilbert空间[6].下面用ω（t），t∈R表示过程W的规范形式及它的Wiener转换：
θtω（·）=ω（·+t）-ω（t），ω∈C（R；U），（2）
且其轨道集对于β∈（0，1/2）在任意区间[-k，k]，k∈N上有βHlder半范数（记作‖·‖β）.
设A（·）生成发展算子T（t，s）∈L（X），0≤s≤t T（t，s）满足如下条件[15]：
（i） T（s，s）=I（X中的恒等映射），T（t，r）T（r，s）=T（t，s），0≤s≤r≤t （ii）（t，s）→T（t，s） 对于0≤s≤t （iii） tT（t，s）u=A（t）T（t，s）u，sT（t，s）u=-T（t，s）A（s）u，u∈D（A（t））X.
定义1令L是一个具有范数|·|L的Banach空间.记Lp（J；L）={f：J→L| ∫J|f（t）|pLdt<∞，p>0，JR}.若对于任意b∈（t0，a）及n∈N都有p>0及函数LLn ∈L1（[t0，b]；R+）使得对任意φ，ψ∈PC，当‖φ‖∨‖ψ‖≤n时有
|F（t，φ）-F（t，ψ）|pL≤LLn （t）‖φ-ψ‖p，t∈[t0，b]，（3）
则称F：[t0，a）×PC→L满足广义p阶局部Lipschitz条件，并记为F∈Lipp[t0，a）[LLn （t）].
特别地，若有与n无关的函数LL∞∈L1（[t0，b]；R+）代替（3）中的LLn，使得它对于所有φ，ψ∈PC都成立，称说F 满足广义p 阶全局Lipschitz条件. 于是LL∞（t）≡LL∞（常数），F∈Lip1[t0，a）[LL∞]成为了通常的全局Lipschitz条件[8]. 我们假设有Banach空间Y紧嵌入X且其范数满足|x|Y≤η|x| （η>0常数）并使得：
（S1）对给定t∈（0，a），函数T（t，s）A（s）∈C（[0，t]，L（Y；X））且有S∈L1（[0，t]；R+）使得
|T（t，s）A（s）|L（Y；X）≤S（t，s）/η，s∈[0，t].
注1由条件（S1）及u∈PC（[0，t]；X），应用Bochner对可积函数判别法及估计
|T（t，s）A（s）u（s）|≤|T（t，s）A（s）|L（Y；X）|u（s）|Y≤S（t，s）|u（s）|，s∈[0，t]，（4）
则有函数s→T（t，s）A（s）u（s）在[0，t]上可积.
（S2）对u∈PC（[-τ，a）；X），函数g（t，ut）∈C1（[0，a）×PC；L（U；X））满足：
dg（t，ut）dt=K（t，ut），算子K：[0，a）×PC|→L（U；X）.
1轨道温和解
条件（S2）使得
d[g（t，ut）ω（t）]=K（t，ut）ω（t）dt+g（t，ut）dω，
那么（1）成为
d[u（t）-G（t，ut）-g（t，ut）ω（t）]={A（t）[u（t）-
G（t，ut）-g（t，ut）ω（t）]+A（t）[g（t，ut）ω（t）+G（t，ut）]-K（t，ut）ω（t）+f（t，ut）}dt.（5）
于是在（S2）条件下，（1）的轨道温和解由下面积分方程定义：
u（t）=T（t，0）[ξ（0）-G（0，ξ）]+
∫t0T（t，s）[f（s，us）-K（s，us）ω（s）]ds+
G（t，ut）+g（t，ut）ω（t）+
∫t0T（t，s）A（s）[g（s，us）ω（s）+G（s，us）]ds，ω∈Ω.（6）
定理1若条件（S1）与（S2）成立. 设对任意b∈[0，a）有
f（t，0）∈L1（[0，b]；X），K（t，0）∈L1（[0，b]；L（U；X）），K∈Lip1[0，a）[LL（U；X）n（t）]，
f∈Lip1[0，a）[LX（t）]，g∈Lip1[0，a）[LL（U；Y）n（t）]，G∈Lip1[0，a）[LL（X；Y）∞∨LX∞] （LX∞<1）；（7）
G∈PC（[0，a）×PC，X）；
g∈PC（[0，a）×PC，L（U；Y））.（8）
则必定存在一个停时β=β（ω）∈（0，a]使得方程（1）有唯一最大局部轨道温和解u（t）∈PC（[0，β）；X）. 即对所有ω∈Ω，u（t）是（1）的温和解，若有某些ω∈Ω具有β（ω） 证明因为G，g都逐段连续，必定存在∈（0，b]使得G（t，ut）与g（t，ut）ω（t）在[0，]上连续，且至少二者之一在间断.
对于T1∈（0，]（T1将由后面压缩映射的需要给定，对最后由G，g都连续而得的结论不受限制），我们考虑C（[0，T1]；X）的完备度量子空间
CξT1={u∈C（[0，T1]；X）：u（s）=ξ（s）∈PC}，
其范数‖u‖CξT1=supt∈[-τ，T1]|u（t）|<∞.
定义算子Γ：CξT1 →CξT1 如下：
Γ（u）（t）-G（t，Γut）=T（t，0）[ξ（0）-
G（0，ξ）]+∫t0T（t，s）[f（s，us）-K（s，us）ω（s）]ds+
g（t，ut）ω（t）+G（t，ut）+∫t0T（t，s）A（s）[g（s，us）ω（s）+
G（s，us）]ds.
由条件（7）及注1，按照文献[11]引理22序列Jn（t）连续性的方式可以证明（9）中的积分是连续的，再由G（t，ut）与g（t，ut）ω（t）的连续性，易知t→Γ（u）（t）在[0，]上连续.结合文献[1314]的方法，我们能证明f，g，G，K满足相应广义全局Lipschitz条件下，必定有T1∈（0，]使得算子Γ在CξT1 中是一个压缩映射，即（6）有唯一连续解u（t）（t∈[0，T1]）.因为uT+1∈PC进而按前面的方式解同样的问题，我们能证明（6）在[T1，T2]，…有连续解且必定有Ti≥ （见文献[2，14]）. 式（1）有唯一连续轨道温和解解u（t）（t∈[t+0，]）.因为u+∈PC，重复上面的过程，我们能获得解u（t）∈PC（[0，b]；X）.由b的任意性，则在f，g，G，K满足广义全局Lipschitz条件下，（1）有唯一全局轨道温和解u（t）∈PC（[0，a）；X）.
为了证明定理，对任意n∈N，我们定义函数n：R+→[0，1]如下：
n（s）=1，0≤s≤n，n/s，s>n.
對于任意t∈[0，b][0，a），我们考虑方程
un（t）=T（t，0）[ξ（0）-G（0，ξ）]+
∫t0T（t，s）[fn（s，（un）s）-Kn（s，（un）s）ω（s）]ds+
gn（t，（un）t）ω（t）+G（t，（un）t）+
∫t0T（t，s）A（s）[gn（s，（un）s）ω（s）+G（s，（un）s）]ds，
其中 fn（t，ut）=f（t，n（‖ut‖）ut），
gn（t，ut）=g（t，n（‖ut‖）ut），
Kn（t，ut）=K（t，n（‖ut‖）ut）.
显然fn，gn及Kn在[0，b]×C上满足广义全局Lipschitz条件.则由上面的结论，（1）有唯一全局轨道温和解un（t）∈C（[-τ，b]；X）.
定义停时序列βn如下：
βn=b∧inf{t∈（0，b]：|un（t）|≥n}.
则βn是n递增序列，于是可以定义β（w）=limn→+∞βn. 令un（t）=un（t∧βn），则 u（t）=limn→+∞un（t）（t∈[0，β））是（1）唯一最大局部轨道温和解.
注2定理1是经典的Pazy最大局部温和解存在唯一性定理的推广[文献23，定理614]）.实际上对能由相应广义全局Lipschitz条件获得其各种全局解唯一存在的方程（如由Lévy过程或分数阶Brownian运动驱动的随机泛函发展方程等），一般都可以用上面的方法得到其最大局部解存在唯一性定理.
定理2若定理1的所有条件成立，且
|T（t，s）|L（X）≤Ne-∫tsr（u）du，N为正常数，（10）
其中r（·）：J→R+是有限可测函数且sup0≤t supt∈[0，a）e-ζ∫t0r（s）dst<∞（ζ∈（0，1））.
假定有函数m1（·）∈L1（R+；R+）及常数α1，α2，α3≥0使得
|f（t，ut）|≤m1（t）‖ut‖+α1，supt∈[0，a）|G（t，0）|<∞，（11）
|g（t，ut）|L（U；Y）≤α2，|K（t，ut）|L（U；X）≤α3，（12）
且有常数σ∈（0，1-ζ）和π∈（0，1）使得
κ+∫t0[|T（t，s）|L（X）m1（s）+κS（t，s）]eσ∫tsr（u）duds≤π<1，（13）
则式（1）有唯一全局轨道温和解u（t）并有如下估计
|u（t）|≤Ne-λ∫t0r（s）ds+I1-π，t∈[-τ，a），（14）
其中I，λ∈（0，1-ζ），N>N‖ξ‖是正常数且
I=sup0≤t S（t，s）（α2|ω（s-t）|U+|G（s，0）|）ds+|G（t，0）|<∞.（15）
证明定理1已保证了（1）最大局部轨道温和解u（t）的存在性.只要证明了估计（14），自然就获得其轨道温和解u（t）的全局存在性.按文献[2，14]的方式，对于μ≥0我们考虑Wiener转换θ-tω，则有
u（μ）=T（μ，0）[ξ（0）-G（0，ξ）]+g（μ，uμ）θ-tω（μ）+G（μ，uμ）+
∫μ0T（μ，s）[f（s，us）-K（s，us）θ-tω（s）]ds+
∫μ0T（μ，s）A（s）[g（s，us）θ-tω（s）+G（s，us）]ds.（16）
進而，
-∫μ0T（μ，s）A（s）g（s，us）ω（-t）ds=
∫μ0ddsT（μ，s）g（s，us）ω（-t）ds=
g（μ，uμ）ω（-t）-T（μ，0）g（0，u0）ω（-t）-
∫μ0T（μ，s）K（s，us）ω（-t）ds，（17）
那么，由（2），（11），（12）及（17），有
|u（μ）|≤Ne-∫μ0r（s）ds|ξ（0）-G（0，ξ）|+
α2|ω（μ-t）|U+α2Ne-∫μ0r（s）ds|ω（-t）|U+
∫μ0{[|
T（μ，s）|L（
X）m1（s）+κS（μ，s）]‖us‖+
α1|T（μ，s）|L（X）}ds+κ‖uμ‖+|G（μ，0）|+
α3∫μ0Ne-∫μsr（u）du|ω（s-t）|Uds+
∫μ0S（μ，s）[α2|ω（s-t）|U+|G（s，0）|]ds.（18）
在上式中取μ=t并利用ω（0）=0，有
|u（t）|≤Ne-∫t0r（s）ds|ξ（0）-G（0，ξ）|+
α2Ne-∫t0r（s）ds|ω（-t）|U+∫t0[|
T（t，s）|L（X）m1（s）+κS（t，s）]‖us‖+α1Ne-∫tsr（u）duds+
α3∫t0Ne-∫tsr（u）du|ω（s-t）|Uds+κ‖ut‖+|G（t，0）|+
∫t0S（t，s）[α2|ω（s-t）|U+|G（s，0）|]ds.
因为对任意r<0，supr≤s≤0|ω（s）|U是亚线性的[2]，那么必存在常数d>0与I≥0使得（15）成立且
Ne-∫t0r（s）ds|ξ（0）-G（0，ξ）|+α2Ne-∫t0r（s）ds|ω（-t）|U≤
de-（1-ζ）∫t0r（s）ds.（19）
结合（19）与（15），我们获得
|u（t）|≤κ‖ut‖+de-（1-ζ）∫t0r（s）ds+∫t0[|T（t，s）|L（X）m1（s）+κS（t，s）]‖us‖ds+I.（20）
由条件（13），应用文献[14]的引理41（取其中c（t）≡κ，=a），我们获得式（14）.
注3定理2是文献[14]定理42与文献[23]引理13的推广.对中立型系统，自然能获得文献[23]引理13类似的吸引集. 显然定理1能应用如下脉冲中立型随机发展系统轨道温和解的存在性：
d[u（t）-G（t，ut）]=[A（t）u（t）+f（t，ut）]dt+g（t，ut）dW（t），t∈[0，a），t≠tk，
u（t+k）-u（tk）=Ik（u（tk）），Ik：X→X，k∈N，
u（t）=ξ（t）∈PC，t∈[-τ，0]，点集{tk|tk∈[0，t]，t∈[0，a）}是有限集.（21）
定理3在定理1的条件下，对任意t∈[0，a），（1）的最大局部轨道温和解u（t）=u（t，ξ）有先验估计：
|u（t）|≤Lξ（t），且|Ik（u（tk））|<∞，tk∈[0，a），（22）
其中Lξ：[0，a）→R+且sups∈[0，t]Lξ（s）<∞.则（21）存在唯一全局轨道温和解u（t）∈PC（[0，a）；X）.
事实上，定理1及条件（22）的第一个不等式保证了（21）的轨道温和解u（t）在[0，t1]上存在唯一. 而（22）的第二个不等式保证了ut+1∈PC，同样地，（21）的轨道温和解u（t）在[t1，t2]存在唯一，重复上面的过程，我们能获得解u（t）∈PC（[0，a）；X）.
2温和解
令（1）中初始函数ξ∈PCE={：[-τ，0]→X是逐段连续的随机过程且E‖‖2<∞}.其温和解由下面方程定义：
u（t）=T（t，0）[ξ（0）-G（0，ξ）]+G（t，ut）+
∫t0T（t，s）f（s，us）ds+∫t0T（t，s）A（s）G（s，us）ds+∫t0T（t，s）g（s，us）dW（t），a.s.（23）
定理4若条件（S1）成立，且对任意b∈[0，a），
f（t，0）∈L1（[0，b]；X），g（t，0）∈L2（[0，b]；L02），
G∈PC（[0，a）×PC；X）.（24）
假设f∈Lip1[0，a）[LXn （t）]，g∈Lip2[0，a）[LL20n （t）]，G∈Lip1[0，a）[LL（X；Y）∞∨LX∞] （LX∞<1）.则必定存在一个停时β=β（ω）∈（0，a]使得方程（1）有唯一最大局部温和解u（t）∈PC（[0，β）；X）.进而如果（24）中最后一个条件被G∈C（[0，a）×PC，X）代替，则有u（t）∈C（[0，β）；X）.
证明证明与定理1基本相同，除了空间CξT1 与算子Γ分别被下面HT1与代替
HT1={u∈C（[0，T1]；X）：u（s）=ξ（s）∈PCE}，
‖u‖
HT1=（Esupt∈[-τ，T1]|u（t）|2）1/2<∞；
（u）（t）-G（t，ut）=T（t，0）[ξ（0）-G（0，ξ）]+
∫t0T（t，s）f（s，us）ds+G（t，ut）+
∫t0T（t，s）A（s）G（s，us）ds+
∫t0T（t，s）g（s，us）dW（s）.（25）
定理1是利用条件（S2）將（1）中对布朗运动的微分转化为对t微分，布朗运动成为微分系数.这里是对方程（25）两边取数学期望后，建立类似于文献[13]引理32的不等式，将其中最后一个积分放大，化为普通积分.再利用处理确定性微分方程的技巧来获得其解的存在性.这样空间HT1由数学期望定义的范数，在压缩映射下导出算子的不动点，只能几乎必然满足方程（23）.
注4定理4同样推广了经典的Pazy定理[文献23定理614]）及文献[79，1112]的相关工作.结合文献[1113]的方法，我们可获得方程（1）温和解全局存在唯一性相应的充分条件.
定理5令D=D（t，ut）=u（t）-G（t，ut）. 在定理4的条件下，若有函数V∈C（[-τ，a）×X；R+）具有lim|D|→∞[inf-τ≤t EV（t，u（t））≤Lξ（t），t∈[0，a），且E|Ik（u（tk））|<∞，tk∈[0，a），（26）
其中Lξ（t）的定义与定理3相同.则（21）有唯一全局温和解u（t） （t∈[-τ，a））.
证明定理4保证了（1）最大局部温和解u（t）的存在性. 令
‖φ‖[a，b]=supa≤s≤b|φ（s）|，
ξ（θ）≡ξ（-τ）（θ∈[-2τ，-τ]），
我们有
‖D‖[-τ，t]≥‖u‖[-τ，t]-κ‖u‖[-τ，t]-‖G（·，0）‖[-τ，t]，t∈[0，a）.
这就推得对任意t∈[0，a），
‖u‖[-τ，t]≤11-κ‖D‖[-τ，t]+‖G（·，0）‖[-τ，t]N（‖D‖[-τ，t]）.（27）
运用（26）及Chebyshev不等式，对任意t∈[0，a），
P{ω：|u（t，ω）|>N（n）}≤P（|D|>n）≤sups∈[0，t]L（s）infs∈[0，a），|D|≥nV（s，us）→0，当n→∞.
这说明u（t）在[-τ，t1]几乎必然存在.记ξk=ut+k，则（26）的第二个不等式保证了
E‖ξ1‖=E‖ut+1‖≤E‖ut1‖+E|I1（u（t1））|<∞，
即ξ1∈PCE.重复上面的过程，我们能证明
u（t）在[tk，tk+1]（k∈N）上几乎必然存在且唯一.
注5通常研究稳定性、吸引性、有界性与矩估计等的结果一般都能保证定理3或定理5的条件成立[114]，故其解的全局存在性是不言而喻的.对于脉冲方程当|u（t）|有界时， |Ik（u（t））|<∞（tk∈[0，a）），
則方程（21）解的全局存在性完全由其第一个方程的全局存在性决定.
注6运用文献[1112]方法，我们同样可给出方程（21）温和解渐近估计类似的充分条件.
参考文献
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关键词随机发展方程；中立型；脉冲；适定性；渐近性
中图分类号O21163；O17521；O17529；O17515
文献标志码A
四川大学数学研究所，成都，610064
0引言与系统描述
近年来对随机微分方程的研究已成为学术界的一个热门方向[114].中立型随机发展系统更集中代表了随机常微分方程[5]、随机泛函微分方程[3，7，913]、Banach空间中抽象随机微分方程表示的数学物理方程等[12，4，6，14].其中一种经典的研究是利用数学期望将It积分转换普通积分，再利用处理微分方程的技巧与方法来获得其解的各种性态[313].这样获得方程的解只能在样本空间Ω中几乎必然（a.s.，即以概率1）成立.最近，人们对具有可加噪声与一些乘积噪声[1，4]或对具有光滑扩散项的发展方程[2，14]，利用积分或微分变换将It随机（滞后）微分方程化为仅其系数含随机量的（滞后）微分方程，研究了这些方程对所有样本点ω∈Ω都成立的轨道温和解的适定性与渐近性.本文则进一步针对中立型随机发展系统，研究这两类解，给出了其温和解与轨道温和解存在唯一性与渐近估计的充分条件，推广了一个经典的Pazy定理[15]与一些近期文献的主要工作[2，714].
下面将给出主要结果與证明的思路，其准确的概念与证明的细节可类似于文献[2，614]获得.
为了便于研究，我们令R+={x∈R：x≥0}，N表示自然数集，（Ω，F，{Ft}t≥0，P）表示一个完备的概论空间，X，Y
是Banach空间，L（X；Y）是X→Y的所有有界线性算子形成的Banach空间.|·|，|·|Y与|·|L（X；Y）分别表示空间X，Y与L（X；Y）的范数.特别地记L（X）=L（X，X）. 我们说：[a，b]→X是逐段连续若（t）有至多有限个不连续点且（t+）与（t-）存在并对任意t∈（a，b]有（t-）=（t）. PC（X；Y）与C（X；Y）分别表示X→Y的逐段连续与连续集，特别地，PCPC（[-τ，0]；X）与CC（[-τ，0]；X）其范数都记为‖‖=sup-τ≤s≤0|φ（s）|<∞，τ>0是常数或τ=∞. 当τ=∞，PC{：（-∞，0]→X|∈PC（[-r，0]；X），r∈（0，∞）且‖φ‖=sup-∞
d[u（t）-G（t，ut）]=[A（t）u（t）+f（t，ut）]dt+g（t，ut）dW（t）， t∈[0，a），
u0=ξ∈PC，ξ（t）=ξ（t，ω）是一个随机过程， t∈[-τ，0]，（1）
其中a是常数或a=∞，A（t）：DX→X是一个稠定闭线性算子族，D
学报（自然科学版），2017，9（4）：400405Journal of Nanjing University of Information Science and Technology（Natural Science Edition），2017，9（4）：400405
徐道义.中立型随机发展系统的适定性与渐近性.
XU Daoyi.
Wellposedness and asymptotic behavior of neutral stochastic evolution systems.
独立于t且在X中稠密，非线性项f与g分别被称为漂移与扩散项.ut（s）=u（t+s）（s∈[-τ，0]）. W是一个取值于可分Hilbert空间U的双边Wiener过程[2].Q∈L（U）是W（t）的一个迹类协方差算子.记U0=Q12U，则L02=L2（U0；X）配以范数|Ψ|2L02=Tr（ΨQΨ*）是一个可分的Hilbert空间[6].下面用ω（t），t∈R表示过程W的规范形式及它的Wiener转换：
θtω（·）=ω（·+t）-ω（t），ω∈C（R；U），（2）
且其轨道集对于β∈（0，1/2）在任意区间[-k，k]，k∈N上有βHlder半范数（记作‖·‖β）.
设A（·）生成发展算子T（t，s）∈L（X），0≤s≤t
（i） T（s，s）=I（X中的恒等映射），T（t，r）T（r，s）=T（t，s），0≤s≤r≤t
定义1令L是一个具有范数|·|L的Banach空间.记Lp（J；L）={f：J→L| ∫J|f（t）|pLdt<∞，p>0，JR}.若对于任意b∈（t0，a）及n∈N都有p>0及函数LLn ∈L1（[t0，b]；R+）使得对任意φ，ψ∈PC，当‖φ‖∨‖ψ‖≤n时有
|F（t，φ）-F（t，ψ）|pL≤LLn （t）‖φ-ψ‖p，t∈[t0，b]，（3）
则称F：[t0，a）×PC→L满足广义p阶局部Lipschitz条件，并记为F∈Lipp[t0，a）[LLn （t）].
特别地，若有与n无关的函数LL∞∈L1（[t0，b]；R+）代替（3）中的LLn，使得它对于所有φ，ψ∈PC都成立，称说F 满足广义p 阶全局Lipschitz条件. 于是LL∞（t）≡LL∞（常数），F∈Lip1[t0，a）[LL∞]成为了通常的全局Lipschitz条件[8]. 我们假设有Banach空间Y紧嵌入X且其范数满足|x|Y≤η|x| （η>0常数）并使得：
（S1）对给定t∈（0，a），函数T（t，s）A（s）∈C（[0，t]，L（Y；X））且有S∈L1（[0，t]；R+）使得
|T（t，s）A（s）|L（Y；X）≤S（t，s）/η，s∈[0，t].
注1由条件（S1）及u∈PC（[0，t]；X），应用Bochner对可积函数判别法及估计
|T（t，s）A（s）u（s）|≤|T（t，s）A（s）|L（Y；X）|u（s）|Y≤S（t，s）|u（s）|，s∈[0，t]，（4）
则有函数s→T（t，s）A（s）u（s）在[0，t]上可积.
（S2）对u∈PC（[-τ，a）；X），函数g（t，ut）∈C1（[0，a）×PC；L（U；X））满足：
dg（t，ut）dt=K（t，ut），算子K：[0，a）×PC|→L（U；X）.
1轨道温和解
条件（S2）使得
d[g（t，ut）ω（t）]=K（t，ut）ω（t）dt+g（t，ut）dω，
那么（1）成为
d[u（t）-G（t，ut）-g（t，ut）ω（t）]={A（t）[u（t）-
G（t，ut）-g（t，ut）ω（t）]+A（t）[g（t，ut）ω（t）+G（t，ut）]-K（t，ut）ω（t）+f（t，ut）}dt.（5）
于是在（S2）条件下，（1）的轨道温和解由下面积分方程定义：
u（t）=T（t，0）[ξ（0）-G（0，ξ）]+
∫t0T（t，s）[f（s，us）-K（s，us）ω（s）]ds+
G（t，ut）+g（t，ut）ω（t）+
∫t0T（t，s）A（s）[g（s，us）ω（s）+G（s，us）]ds，ω∈Ω.（6）
定理1若条件（S1）与（S2）成立. 设对任意b∈[0，a）有
f（t，0）∈L1（[0，b]；X），K（t，0）∈L1（[0，b]；L（U；X）），K∈Lip1[0，a）[LL（U；X）n（t）]，
f∈Lip1[0，a）[LX（t）]，g∈Lip1[0，a）[LL（U；Y）n（t）]，G∈Lip1[0，a）[LL（X；Y）∞∨LX∞] （LX∞<1）；（7）
G∈PC（[0，a）×PC，X）；
g∈PC（[0，a）×PC，L（U；Y））.（8）
则必定存在一个停时β=β（ω）∈（0，a]使得方程（1）有唯一最大局部轨道温和解u（t）∈PC（[0，β）；X）. 即对所有ω∈Ω，u（t）是（1）的温和解，若有某些ω∈Ω具有β（ω）
对于T1∈（0，]（T1将由后面压缩映射的需要给定，对最后由G，g都连续而得的结论不受限制），我们考虑C（[0，T1]；X）的完备度量子空间
CξT1={u∈C（[0，T1]；X）：u（s）=ξ（s）∈PC}，
其范数‖u‖CξT1=supt∈[-τ，T1]|u（t）|<∞.
定义算子Γ：CξT1 →CξT1 如下：
Γ（u）（t）-G（t，Γut）=T（t，0）[ξ（0）-
G（0，ξ）]+∫t0T（t，s）[f（s，us）-K（s，us）ω（s）]ds+
g（t，ut）ω（t）+G（t，ut）+∫t0T（t，s）A（s）[g（s，us）ω（s）+
G（s，us）]ds.
由条件（7）及注1，按照文献[11]引理22序列Jn（t）连续性的方式可以证明（9）中的积分是连续的，再由G（t，ut）与g（t，ut）ω（t）的连续性，易知t→Γ（u）（t）在[0，]上连续.结合文献[1314]的方法，我们能证明f，g，G，K满足相应广义全局Lipschitz条件下，必定有T1∈（0，]使得算子Γ在CξT1 中是一个压缩映射，即（6）有唯一连续解u（t）（t∈[0，T1]）.因为uT+1∈PC进而按前面的方式解同样的问题，我们能证明（6）在[T1，T2]，…有连续解且必定有Ti≥ （见文献[2，14]）. 式（1）有唯一连续轨道温和解解u（t）（t∈[t+0，]）.因为u+∈PC，重复上面的过程，我们能获得解u（t）∈PC（[0，b]；X）.由b的任意性，则在f，g，G，K满足广义全局Lipschitz条件下，（1）有唯一全局轨道温和解u（t）∈PC（[0，a）；X）.
为了证明定理，对任意n∈N，我们定义函数n：R+→[0，1]如下：
n（s）=1，0≤s≤n，n/s，s>n.
對于任意t∈[0，b][0，a），我们考虑方程
un（t）=T（t，0）[ξ（0）-G（0，ξ）]+
∫t0T（t，s）[fn（s，（un）s）-Kn（s，（un）s）ω（s）]ds+
gn（t，（un）t）ω（t）+G（t，（un）t）+
∫t0T（t，s）A（s）[gn（s，（un）s）ω（s）+G（s，（un）s）]ds，
其中 fn（t，ut）=f（t，n（‖ut‖）ut），
gn（t，ut）=g（t，n（‖ut‖）ut），
Kn（t，ut）=K（t，n（‖ut‖）ut）.
显然fn，gn及Kn在[0，b]×C上满足广义全局Lipschitz条件.则由上面的结论，（1）有唯一全局轨道温和解un（t）∈C（[-τ，b]；X）.
定义停时序列βn如下：
βn=b∧inf{t∈（0，b]：|un（t）|≥n}.
则βn是n递增序列，于是可以定义β（w）=limn→+∞βn. 令un（t）=un（t∧βn），则 u（t）=limn→+∞un（t）（t∈[0，β））是（1）唯一最大局部轨道温和解.
注2定理1是经典的Pazy最大局部温和解存在唯一性定理的推广[文献23，定理614]）.实际上对能由相应广义全局Lipschitz条件获得其各种全局解唯一存在的方程（如由Lévy过程或分数阶Brownian运动驱动的随机泛函发展方程等），一般都可以用上面的方法得到其最大局部解存在唯一性定理.
定理2若定理1的所有条件成立，且
|T（t，s）|L（X）≤Ne-∫tsr（u）du，N为正常数，（10）
其中r（·）：J→R+是有限可测函数且sup0≤t
假定有函数m1（·）∈L1（R+；R+）及常数α1，α2，α3≥0使得
|f（t，ut）|≤m1（t）‖ut‖+α1，supt∈[0，a）|G（t，0）|<∞，（11）
|g（t，ut）|L（U；Y）≤α2，|K（t，ut）|L（U；X）≤α3，（12）
且有常数σ∈（0，1-ζ）和π∈（0，1）使得
κ+∫t0[|T（t，s）|L（X）m1（s）+κS（t，s）]eσ∫tsr（u）duds≤π<1，（13）
则式（1）有唯一全局轨道温和解u（t）并有如下估计
|u（t）|≤Ne-λ∫t0r（s）ds+I1-π，t∈[-τ，a），（14）
其中I，λ∈（0，1-ζ），N>N‖ξ‖是正常数且
I=sup0≤t
证明定理1已保证了（1）最大局部轨道温和解u（t）的存在性.只要证明了估计（14），自然就获得其轨道温和解u（t）的全局存在性.按文献[2，14]的方式，对于μ≥0我们考虑Wiener转换θ-tω，则有
u（μ）=T（μ，0）[ξ（0）-G（0，ξ）]+g（μ，uμ）θ-tω（μ）+G（μ，uμ）+
∫μ0T（μ，s）[f（s，us）-K（s，us）θ-tω（s）]ds+
∫μ0T（μ，s）A（s）[g（s，us）θ-tω（s）+G（s，us）]ds.（16）
進而，
-∫μ0T（μ，s）A（s）g（s，us）ω（-t）ds=
∫μ0ddsT（μ，s）g（s，us）ω（-t）ds=
g（μ，uμ）ω（-t）-T（μ，0）g（0，u0）ω（-t）-
∫μ0T（μ，s）K（s，us）ω（-t）ds，（17）
那么，由（2），（11），（12）及（17），有
|u（μ）|≤Ne-∫μ0r（s）ds|ξ（0）-G（0，ξ）|+
α2|ω（μ-t）|U+α2Ne-∫μ0r（s）ds|ω（-t）|U+
∫μ0{[|
T（μ，s）|L（
X）m1（s）+κS（μ，s）]‖us‖+
α1|T（μ，s）|L（X）}ds+κ‖uμ‖+|G（μ，0）|+
α3∫μ0Ne-∫μsr（u）du|ω（s-t）|Uds+
∫μ0S（μ，s）[α2|ω（s-t）|U+|G（s，0）|]ds.（18）
在上式中取μ=t并利用ω（0）=0，有
|u（t）|≤Ne-∫t0r（s）ds|ξ（0）-G（0，ξ）|+
α2Ne-∫t0r（s）ds|ω（-t）|U+∫t0[|
T（t，s）|L（X）m1（s）+κS（t，s）]‖us‖+α1Ne-∫tsr（u）duds+
α3∫t0Ne-∫tsr（u）du|ω（s-t）|Uds+κ‖ut‖+|G（t，0）|+
∫t0S（t，s）[α2|ω（s-t）|U+|G（s，0）|]ds.
因为对任意r<0，supr≤s≤0|ω（s）|U是亚线性的[2]，那么必存在常数d>0与I≥0使得（15）成立且
Ne-∫t0r（s）ds|ξ（0）-G（0，ξ）|+α2Ne-∫t0r（s）ds|ω（-t）|U≤
de-（1-ζ）∫t0r（s）ds.（19）
结合（19）与（15），我们获得
|u（t）|≤κ‖ut‖+de-（1-ζ）∫t0r（s）ds+∫t0[|T（t，s）|L（X）m1（s）+κS（t，s）]‖us‖ds+I.（20）
由条件（13），应用文献[14]的引理41（取其中c（t）≡κ，=a），我们获得式（14）.
注3定理2是文献[14]定理42与文献[23]引理13的推广.对中立型系统，自然能获得文献[23]引理13类似的吸引集. 显然定理1能应用如下脉冲中立型随机发展系统轨道温和解的存在性：
d[u（t）-G（t，ut）]=[A（t）u（t）+f（t，ut）]dt+g（t，ut）dW（t），t∈[0，a），t≠tk，
u（t+k）-u（tk）=Ik（u（tk）），Ik：X→X，k∈N，
u（t）=ξ（t）∈PC，t∈[-τ，0]，点集{tk|tk∈[0，t]，t∈[0，a）}是有限集.（21）
定理3在定理1的条件下，对任意t∈[0，a），（1）的最大局部轨道温和解u（t）=u（t，ξ）有先验估计：
|u（t）|≤Lξ（t），且|Ik（u（tk））|<∞，tk∈[0，a），（22）
其中Lξ：[0，a）→R+且sups∈[0，t]Lξ（s）<∞.则（21）存在唯一全局轨道温和解u（t）∈PC（[0，a）；X）.
事实上，定理1及条件（22）的第一个不等式保证了（21）的轨道温和解u（t）在[0，t1]上存在唯一. 而（22）的第二个不等式保证了ut+1∈PC，同样地，（21）的轨道温和解u（t）在[t1，t2]存在唯一，重复上面的过程，我们能获得解u（t）∈PC（[0，a）；X）.
2温和解
令（1）中初始函数ξ∈PCE={：[-τ，0]→X是逐段连续的随机过程且E‖‖2<∞}.其温和解由下面方程定义：
u（t）=T（t，0）[ξ（0）-G（0，ξ）]+G（t，ut）+
∫t0T（t，s）f（s，us）ds+∫t0T（t，s）A（s）G（s，us）ds+∫t0T（t，s）g（s，us）dW（t），a.s.（23）
定理4若条件（S1）成立，且对任意b∈[0，a），
f（t，0）∈L1（[0，b]；X），g（t，0）∈L2（[0，b]；L02），
G∈PC（[0，a）×PC；X）.（24）
假设f∈Lip1[0，a）[LXn （t）]，g∈Lip2[0，a）[LL20n （t）]，G∈Lip1[0，a）[LL（X；Y）∞∨LX∞] （LX∞<1）.则必定存在一个停时β=β（ω）∈（0，a]使得方程（1）有唯一最大局部温和解u（t）∈PC（[0，β）；X）.进而如果（24）中最后一个条件被G∈C（[0，a）×PC，X）代替，则有u（t）∈C（[0，β）；X）.
证明证明与定理1基本相同，除了空间CξT1 与算子Γ分别被下面HT1与代替
HT1={u∈C（[0，T1]；X）：u（s）=ξ（s）∈PCE}，
‖u‖
HT1=（Esupt∈[-τ，T1]|u（t）|2）1/2<∞；
（u）（t）-G（t，ut）=T（t，0）[ξ（0）-G（0，ξ）]+
∫t0T（t，s）f（s，us）ds+G（t，ut）+
∫t0T（t，s）A（s）G（s，us）ds+
∫t0T（t，s）g（s，us）dW（s）.（25）
定理1是利用条件（S2）將（1）中对布朗运动的微分转化为对t微分，布朗运动成为微分系数.这里是对方程（25）两边取数学期望后，建立类似于文献[13]引理32的不等式，将其中最后一个积分放大，化为普通积分.再利用处理确定性微分方程的技巧来获得其解的存在性.这样空间HT1由数学期望定义的范数，在压缩映射下导出算子的不动点，只能几乎必然满足方程（23）.
注4定理4同样推广了经典的Pazy定理[文献23定理614]）及文献[79，1112]的相关工作.结合文献[1113]的方法，我们可获得方程（1）温和解全局存在唯一性相应的充分条件.
定理5令D=D（t，ut）=u（t）-G（t，ut）. 在定理4的条件下，若有函数V∈C（[-τ，a）×X；R+）具有lim|D|→∞[inf-τ≤t
其中Lξ（t）的定义与定理3相同.则（21）有唯一全局温和解u（t） （t∈[-τ，a））.
证明定理4保证了（1）最大局部温和解u（t）的存在性. 令
‖φ‖[a，b]=supa≤s≤b|φ（s）|，
ξ（θ）≡ξ（-τ）（θ∈[-2τ，-τ]），
我们有
‖D‖[-τ，t]≥‖u‖[-τ，t]-κ‖u‖[-τ，t]-‖G（·，0）‖[-τ，t]，t∈[0，a）.
这就推得对任意t∈[0，a），
‖u‖[-τ，t]≤11-κ‖D‖[-τ，t]+‖G（·，0）‖[-τ，t]N（‖D‖[-τ，t]）.（27）
运用（26）及Chebyshev不等式，对任意t∈[0，a），
P{ω：|u（t，ω）|>N（n）}≤P（|D|>n）≤sups∈[0，t]L（s）infs∈[0，a），|D|≥nV（s，us）→0，当n→∞.
这说明u（t）在[-τ，t1]几乎必然存在.记ξk=ut+k，则（26）的第二个不等式保证了
E‖ξ1‖=E‖ut+1‖≤E‖ut1‖+E|I1（u（t1））|<∞，
即ξ1∈PCE.重复上面的过程，我们能证明
u（t）在[tk，tk+1]（k∈N）上几乎必然存在且唯一.
注5通常研究稳定性、吸引性、有界性与矩估计等的结果一般都能保证定理3或定理5的条件成立[114]，故其解的全局存在性是不言而喻的.对于脉冲方程当|u（t）|有界时， |Ik（u（t））|<∞（tk∈[0，a）），
則方程（21）解的全局存在性完全由其第一个方程的全局存在性决定.
注6运用文献[1112]方法，我们同样可给出方程（21）温和解渐近估计类似的充分条件.
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