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【摘要】圆锥曲线是解析几何的重点内容。教师应以最基础的知识和最基本的技能为主，使学生切实把基础打好；同时，圆锥曲线是历年高考考查的重点，教学时要足够重视。
【关键词】教材分析；内容编排；教学建议
Grade “conic” Thoughts on Teaching
Gao Fu-bing
【Abstract】conic Analytic Geometry is the key content. Teachers should be the most basic foundation of knowledge and skills-based to enable students to lay a good foundation at the same time, conic test of the college entrance examination is the focus of the calendar year, to pay sufficient attention to teaching.
【Key words】materials analysis; content scheduling; teaching
1.教材分析
1.1 本章主要研究圆锥曲线的定义、方程、几何性质和它们的简单应用。椭圆、双曲线、抛物线都是平面内符合某种条件的点的轨迹。由于受教学时间的限制，普通高中的教学内容只能选取最基础的知识和最基本的技能：①本章所研究的圆锥曲线方程，主要是它们的标准方程，即先求圆锥曲线的标准方程，然后利用标准方程讨论圆锥曲线的几何性质。对于圆锥曲线的一般方程和参数方程，只作些介绍，学生了解它们即可。②在讨论圆锥曲线的几何性质时，教科书选择了几条最主要的性质。一方面，这些性质是基本的；另一方面，学生在掌握了坐标法后，自己可以进一步研究。这样既可以保证多数学生学好教学大纲所规定的基础知识，又给学有余力的学生留有进一步发展的余地。
1.2 教学要求：①掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和几何性质；②能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图形，并了解圆锥曲线的初步应用；③进一步掌握坐标方法；④结合本章内容的教学，使学生进一步领会运动变化、对立统一的观点。
1.3 圆锥曲线是解析几何的重点内容，其地位作用不可忽视。本章内容是在学生掌握平面直角坐标系、函数的图象、直线方程与圆的方程等知识的基础上学习的，用解析法研究圆锥曲线是从初等数学过渡到高等数学的开始和阶梯，起着承前启后的作用。本章综合性强，在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容；计算量大，要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力，体现了对于各种能力的综合要求。
同时，圆锥曲线是历年高考考查的重点，考查特点是：①在选择题、填空题中，主要考查曲线的几何性质及求简单的曲线方程。②解答题必有一题是解析几何内容，一般难度都比较大，涉及数学各方面知识较多，对思维能力、思维方法的考查要求较高。
2.内容编排及课时分配
本章知识结构框图
2.1 本章的内容可以采用不同的组织方法。
例如：可以把椭圆、双曲线、抛物线合起来作为一个整体，先讨论它们的定义，再求它们的方程，最后研究它们的几何性质及应用；也可以分别研究椭圆、双曲线、抛物线，对每种曲线按定义、方程、几何性质几项来讨论。这两种组织方法各有利弊。前一种方法可以使学生对圆锥曲线有一个统一的认识，可以节省教学时间，但这样做教学难度较大；后一种方法对于大多数学生来说容易些，但会削弱几种圆锥曲线之间的联系。教科书采用了后一种组织方法，并注意克服它的弊端。
2.2 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质，及坐标法是这一章的重点。用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题。圆锥曲线这一章可编选的题目很多，而且可以编出综合性很强的难题。教学时，要注意控制教学要求，不要急于求成；对不同的学生要区别对待，对于大多数学生不能要求过高，以保证他们达到教学大纲所规定的基本要求。
2.3 课时分配。本章教学约需18课时，具体分配如下：
8.1椭圆及其标准方程 3课时
8.2椭圆的几何性质 4课时
8.3双曲线及其标准方程 2课时
8.4双曲线的几何性质 3课时
8.5抛物线及其标准方程 2课时
8.6抛物线的几何性质 2课时
小结与复习 2课时
3.教学建议
作为一名数学教师，不仅要对教材有深刻的认识与领悟，更应该把教材的精神落实到每一堂课，教材要创新，教法更要创新。
3.1 准确地把握教学要求。根据大纲的精神，圆锥曲线部分是属于控制教学要求的内容，但目前由于考试的影响，这一部分教学的要求比较高，题目的难度很大。如何控制教学要求是个难点。高中的教学时间有限，作为全体学生都必须掌握的必修课程，应以最基础的知识和最基本的技能、能力为主，要使学生切实把基础打好，不过分重视技巧性很强的难题。
3.2 突出椭圆教学。研究圆锥曲线中的三类曲线的基本方法，思路，技巧是相同的，因而在本章教学中我们要以椭圆为重心。椭圆的内容分两点：
3.2.1 椭圆方程，教材上给出了三个例题说明几个问题：①求椭圆方程的基本方法：例1是已知曲线求方程——直接法，例3不知曲线形状求方程——轨迹法，这两种方法是我们求曲线方程最基本和常用的方法，学生必须掌握。②例2说明了曲线方程的应用及在求方程过程中的注意点。③例3除轨迹法外还有参数法。
3.2.2 几何性质，曲线性质是每年高考必考的内容，而每年高考的内容又高于教材，如直线与曲线位置关系，弦长，弦的中点，焦点弦等问题在教材的例题中没有出现，但在习题和复习与小结中的参考例题中出现了。因而我们需要将这部份内容分解到各个小节中。如在椭圆的简单几何性质后的习题11题，题中虽是求直线与椭圆的交点坐标，由它可变式求弦长，弦的中点，再变式为已知弦长，弦的中点求直线方程。
3.3 注意数形结合思想的教学：①注意训练学生顺利地将“形”的问题转化为“数或式”的问题，将“数或式”的问题转化为“形”的问题。②注意在解决问题的过程中充分利用图形，可使问题变得简单，而且能开阔思路。③教材中突出了圆锥曲线标准方程中a，b，p，e的几何意义，据此来画草图就比较方便，希望教学时能充分利用这一点。
3.4 注意计算能力的培养。本章的教学离不开根式的化简和解二元二次方程组。例如，在列出椭圆的方程以后，出现了含两个根式的无理方程，教学时应适当放慢些速度，将化简过程写得详细一些。又如，在利用待定系数法求椭圆的标准方程中的a，b时，得到以a2，b2为未知数的方程组，并且未知数在分母上，初中学过用换元法解方程组，若设m=1a2，n=1b2就可以把它化为二元一次方程组，问题便能够解决。这个问题解决以后，求两条曲线的交点的问题，包括求椭圆与双曲线的交点的问题就都可以解决了。
3.5 注意与向量知识的联系。从近几年高考题型变化中可看出，解析几何知识在大题中考查的综合性加强了，特别是引入向量知识后，将向量的坐标运算与解几知识综合进行考查。这是值得我们关注的。
3.6 改进教学方法。
3.6.1 精心设计问题，增强学生主动探究的意识。
例、圆锥曲线方程的定义：实验在圆锥曲线中有很好的作用。教材为我们提供了构成曲线的实验。
一张纸，一根线，两图钉。一张纸：平面；两个钉：定点；一根线：距离。
3.6.2 理论联系实际，渗透数学建模思想。
例P106例3：一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处听到晚2s。①爆炸点应在什么样的曲线上？②已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340m/s，求曲线的方程。
分析：用物理公式S=vt把听到爆炸声的时间转化为A、B两地到爆炸点的距离差，并由此建立数学模型。
变形：某国北部沿海顺次分布着纬度相同的A、B、C三地，A距B200km，B距C300km。若A、B、C三地分别于当日10时零8分，10时零3分，10时零13分监听到海上一火山爆发时巨大的爆炸声，并且此时声速为20km/min。问这火山大约距C地多远的什么方向的海面上？（结果精确到0.1km）
（火山约在距C地346.4km的西北方向的海面上）
3.6.3 重视解题方法的研究。
例：P106例2、已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3,-42)，(94,5)，求双曲线的标准方程。
分析：本题利用了待定系数法。若是椭圆上已知两点是否也可以利用这样的方法。焦点在y轴上这一句话是多余的吗？
3.6.4 题目的变化和引深。
例、P119习题8.5第7题：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交，两个交点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)，求证：y1·y2=-p2。
3.6.5 椭圆和双曲线的对比教学。椭圆和双曲线有很多相似的结论，若能对这些问题加以归纳，将有助于我们更好的理解椭圆和双曲线的性质特点。以下试举几例：
（1）已知A、B是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的两点，且OA⊥OB，则原点O到弦AB的距离为d=aba2+b2。
（2）已知A、B是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞b，b＞0）上的两点，且OA⊥OB，则原点O到弦AB的距离为d=ab|a2-b2|。
（3）已知椭圆x2a2+y2b2=1的离心率为e=b2c，焦点到准线的距离为p=b2c。若过焦点的弦被焦点分为长为m、n的两段，则1m+1n=1ep。
（4）已知双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为e=ca，焦点到准线的距离为p=b2c。若过焦点的弦被焦点分为长为m、n的两段，则1m+1n=1ep。
3.4.6 发挥信息技术在解析几何这部分内容的教学中的作用。
例、如图，已知B是定圆A内一定点，C是圆上的动点，l是线段BC的垂直平分线．当点C在圆上运动时，直线l围成一个椭圆，l上哪个点在这个椭圆上呢？为什么？
教学实践表明，动态的演示，生动的画面，学生觉得这个问题十分有趣，都很高兴地参与到教学中来，但是要寻找出直线l上哪个点在所见到的椭圆上，又需要学生运用已经学习过的知识——椭圆的定义来回答，教学效果是明显的。
参考文献
［1］ 普通高中数学课程标准（实验）.中华人民共和国教育部制订.人民教育出版社
［2］ 中学数学教学论.罗小伟.广西民族出版社
［3］ 高二数学同步讲解与测试（上）——中学数学1+1.宋伯涛、张志朝.天津人民出版社
［4］ 学好圆锥曲线的策略思想及方法.伏建彬.《中学生数理化》（高二版）
［5］ 计算机辅助教学的实践与思考.丁益祥.《中学数学》
收稿日期：2008－01－06
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
【关键词】教材分析；内容编排；教学建议
Grade “conic” Thoughts on Teaching
Gao Fu-bing
【Abstract】conic Analytic Geometry is the key content. Teachers should be the most basic foundation of knowledge and skills-based to enable students to lay a good foundation at the same time, conic test of the college entrance examination is the focus of the calendar year, to pay sufficient attention to teaching.
【Key words】materials analysis; content scheduling; teaching
1.教材分析
1.1 本章主要研究圆锥曲线的定义、方程、几何性质和它们的简单应用。椭圆、双曲线、抛物线都是平面内符合某种条件的点的轨迹。由于受教学时间的限制，普通高中的教学内容只能选取最基础的知识和最基本的技能：①本章所研究的圆锥曲线方程，主要是它们的标准方程，即先求圆锥曲线的标准方程，然后利用标准方程讨论圆锥曲线的几何性质。对于圆锥曲线的一般方程和参数方程，只作些介绍，学生了解它们即可。②在讨论圆锥曲线的几何性质时，教科书选择了几条最主要的性质。一方面，这些性质是基本的；另一方面，学生在掌握了坐标法后，自己可以进一步研究。这样既可以保证多数学生学好教学大纲所规定的基础知识，又给学有余力的学生留有进一步发展的余地。
1.2 教学要求：①掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和几何性质；②能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图形，并了解圆锥曲线的初步应用；③进一步掌握坐标方法；④结合本章内容的教学，使学生进一步领会运动变化、对立统一的观点。
1.3 圆锥曲线是解析几何的重点内容，其地位作用不可忽视。本章内容是在学生掌握平面直角坐标系、函数的图象、直线方程与圆的方程等知识的基础上学习的，用解析法研究圆锥曲线是从初等数学过渡到高等数学的开始和阶梯，起着承前启后的作用。本章综合性强，在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容；计算量大，要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力，体现了对于各种能力的综合要求。
同时，圆锥曲线是历年高考考查的重点，考查特点是：①在选择题、填空题中，主要考查曲线的几何性质及求简单的曲线方程。②解答题必有一题是解析几何内容，一般难度都比较大，涉及数学各方面知识较多，对思维能力、思维方法的考查要求较高。
2.内容编排及课时分配
本章知识结构框图
2.1 本章的内容可以采用不同的组织方法。
例如：可以把椭圆、双曲线、抛物线合起来作为一个整体，先讨论它们的定义，再求它们的方程，最后研究它们的几何性质及应用；也可以分别研究椭圆、双曲线、抛物线，对每种曲线按定义、方程、几何性质几项来讨论。这两种组织方法各有利弊。前一种方法可以使学生对圆锥曲线有一个统一的认识，可以节省教学时间，但这样做教学难度较大；后一种方法对于大多数学生来说容易些，但会削弱几种圆锥曲线之间的联系。教科书采用了后一种组织方法，并注意克服它的弊端。
2.2 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质，及坐标法是这一章的重点。用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题。圆锥曲线这一章可编选的题目很多，而且可以编出综合性很强的难题。教学时，要注意控制教学要求，不要急于求成；对不同的学生要区别对待，对于大多数学生不能要求过高，以保证他们达到教学大纲所规定的基本要求。
2.3 课时分配。本章教学约需18课时，具体分配如下：
8.1椭圆及其标准方程 3课时
8.2椭圆的几何性质 4课时
8.3双曲线及其标准方程 2课时
8.4双曲线的几何性质 3课时
8.5抛物线及其标准方程 2课时
8.6抛物线的几何性质 2课时
小结与复习 2课时
3.教学建议
作为一名数学教师，不仅要对教材有深刻的认识与领悟，更应该把教材的精神落实到每一堂课，教材要创新，教法更要创新。
3.1 准确地把握教学要求。根据大纲的精神，圆锥曲线部分是属于控制教学要求的内容，但目前由于考试的影响，这一部分教学的要求比较高，题目的难度很大。如何控制教学要求是个难点。高中的教学时间有限，作为全体学生都必须掌握的必修课程，应以最基础的知识和最基本的技能、能力为主，要使学生切实把基础打好，不过分重视技巧性很强的难题。
3.2 突出椭圆教学。研究圆锥曲线中的三类曲线的基本方法，思路，技巧是相同的，因而在本章教学中我们要以椭圆为重心。椭圆的内容分两点：
3.2.1 椭圆方程，教材上给出了三个例题说明几个问题：①求椭圆方程的基本方法：例1是已知曲线求方程——直接法，例3不知曲线形状求方程——轨迹法，这两种方法是我们求曲线方程最基本和常用的方法，学生必须掌握。②例2说明了曲线方程的应用及在求方程过程中的注意点。③例3除轨迹法外还有参数法。
3.2.2 几何性质，曲线性质是每年高考必考的内容，而每年高考的内容又高于教材，如直线与曲线位置关系，弦长，弦的中点，焦点弦等问题在教材的例题中没有出现，但在习题和复习与小结中的参考例题中出现了。因而我们需要将这部份内容分解到各个小节中。如在椭圆的简单几何性质后的习题11题，题中虽是求直线与椭圆的交点坐标，由它可变式求弦长，弦的中点，再变式为已知弦长，弦的中点求直线方程。
3.3 注意数形结合思想的教学：①注意训练学生顺利地将“形”的问题转化为“数或式”的问题，将“数或式”的问题转化为“形”的问题。②注意在解决问题的过程中充分利用图形，可使问题变得简单，而且能开阔思路。③教材中突出了圆锥曲线标准方程中a，b，p，e的几何意义，据此来画草图就比较方便，希望教学时能充分利用这一点。
3.4 注意计算能力的培养。本章的教学离不开根式的化简和解二元二次方程组。例如，在列出椭圆的方程以后，出现了含两个根式的无理方程，教学时应适当放慢些速度，将化简过程写得详细一些。又如，在利用待定系数法求椭圆的标准方程中的a，b时，得到以a2，b2为未知数的方程组，并且未知数在分母上，初中学过用换元法解方程组，若设m=1a2，n=1b2就可以把它化为二元一次方程组，问题便能够解决。这个问题解决以后，求两条曲线的交点的问题，包括求椭圆与双曲线的交点的问题就都可以解决了。
3.5 注意与向量知识的联系。从近几年高考题型变化中可看出，解析几何知识在大题中考查的综合性加强了，特别是引入向量知识后，将向量的坐标运算与解几知识综合进行考查。这是值得我们关注的。
3.6 改进教学方法。
3.6.1 精心设计问题，增强学生主动探究的意识。
例、圆锥曲线方程的定义：实验在圆锥曲线中有很好的作用。教材为我们提供了构成曲线的实验。
一张纸，一根线，两图钉。一张纸：平面；两个钉：定点；一根线：距离。
3.6.2 理论联系实际，渗透数学建模思想。
例P106例3：一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处听到晚2s。①爆炸点应在什么样的曲线上？②已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340m/s，求曲线的方程。
分析：用物理公式S=vt把听到爆炸声的时间转化为A、B两地到爆炸点的距离差，并由此建立数学模型。
变形：某国北部沿海顺次分布着纬度相同的A、B、C三地，A距B200km，B距C300km。若A、B、C三地分别于当日10时零8分，10时零3分，10时零13分监听到海上一火山爆发时巨大的爆炸声，并且此时声速为20km/min。问这火山大约距C地多远的什么方向的海面上？（结果精确到0.1km）
（火山约在距C地346.4km的西北方向的海面上）
3.6.3 重视解题方法的研究。
例：P106例2、已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3,-42)，(94,5)，求双曲线的标准方程。
分析：本题利用了待定系数法。若是椭圆上已知两点是否也可以利用这样的方法。焦点在y轴上这一句话是多余的吗？
3.6.4 题目的变化和引深。
例、P119习题8.5第7题：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交，两个交点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)，求证：y1·y2=-p2。
3.6.5 椭圆和双曲线的对比教学。椭圆和双曲线有很多相似的结论，若能对这些问题加以归纳，将有助于我们更好的理解椭圆和双曲线的性质特点。以下试举几例：
（1）已知A、B是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的两点，且OA⊥OB，则原点O到弦AB的距离为d=aba2+b2。
（2）已知A、B是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞b，b＞0）上的两点，且OA⊥OB，则原点O到弦AB的距离为d=ab|a2-b2|。
（3）已知椭圆x2a2+y2b2=1的离心率为e=b2c，焦点到准线的距离为p=b2c。若过焦点的弦被焦点分为长为m、n的两段，则1m+1n=1ep。
（4）已知双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为e=ca，焦点到准线的距离为p=b2c。若过焦点的弦被焦点分为长为m、n的两段，则1m+1n=1ep。
3.4.6 发挥信息技术在解析几何这部分内容的教学中的作用。
例、如图，已知B是定圆A内一定点，C是圆上的动点，l是线段BC的垂直平分线．当点C在圆上运动时，直线l围成一个椭圆，l上哪个点在这个椭圆上呢？为什么？
教学实践表明，动态的演示，生动的画面，学生觉得这个问题十分有趣，都很高兴地参与到教学中来，但是要寻找出直线l上哪个点在所见到的椭圆上，又需要学生运用已经学习过的知识——椭圆的定义来回答，教学效果是明显的。
参考文献
［1］ 普通高中数学课程标准（实验）.中华人民共和国教育部制订.人民教育出版社
［2］ 中学数学教学论.罗小伟.广西民族出版社
［3］ 高二数学同步讲解与测试（上）——中学数学1+1.宋伯涛、张志朝.天津人民出版社
［4］ 学好圆锥曲线的策略思想及方法.伏建彬.《中学生数理化》（高二版）
［5］ 计算机辅助教学的实践与思考.丁益祥.《中学数学》
收稿日期：2008－01－06
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”