【摘 要】
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(2011安徽高考理科数学)19.(本小题满分12分)(Ⅰ)设x≥1,y≥1,证明:x+y+1/(xy)≤1/(x)+1/(y)+xy;(Ⅱ)1＜a≤b≤c,证明:logab+ logbc+ logca≤logba+logb+logac.原证明:(Ⅰ)(分
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(2011安徽高考理科数学)19.(本小题满分12分)(Ⅰ)设x≥1,y≥1,证明:x+y+1/(xy)≤1/(x)+1/(y)+xy;(Ⅱ)1＜a≤b≤c,证明:logab+ logbc+ logca≤logba+logb+logac.原证明:(Ⅰ)(分析法后因式分解)由于x≥1,y≥1,所以x+y+1/(xy)≤1/(x)+1/(y)+xy(=)xy(x+y) +1≤y+x+ (xy)2将上式中的右式减左式,得[y+x+(xy)2]-[xy(x+y) +1]=[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)]=(xy+l) (xy-1)-(x+y) (xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1)既然x≥1,y≥l,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,从而所要证明的不等式成立.
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