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圆锥曲线是高中数学的重要内容，也是高考考查的重难点之一.一般来讲这类题解题思路比较简单，规律性较强，但运算过程往往比较复杂.所以很多情况下学生会觉得入手容易，但做对难.这里不仅要求学生能及时有效地利用已知的相关条件去建立一系列关系式，还对学生的代数运算能力有较高的要求.运算不同于计算，它要求学生能够根据法则、公式进行运算及变形;能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径.这也是《考试说明》中对运算能力的考查要求.学生如果运算不当，就有可能陷入有始无终的困境.因此如何采用合理的手段简化运算对于顺利解决这类问题至关重要.
题目 （2010年江苏卷第18题）在平面直角坐标系xOy中，如图1所示，
图1
已知椭圆x29+y25=1的左、右顶点为A，B，右焦点为F.设过点T（t，m）的直线TA，TB与此椭圆分别交于M（x1，y1），N（x2，y2），m>0，y1>0，y2<0.
（1）设动点P满足PF2-PB2=4，求点P的轨迹;
（2）设x1=2，x2=13，求点T的坐标;
（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）.
分析：本题是圆锥曲线中椭圆与直线相结合的部分，它也是这类题中一种经典的组合.本题体现了这类题目的特点之一——涉及较多字母.这可能也是这类题运算难度较大的原因之一.但这也体现了《考试说明》中在考查基础知识的同时也注重考查运算能力的要求.
一、准确、熟练运算
请看以下的解题过程：
解：（1）略.
（2）易求得直线TA，TB的方程分别为y=mt+3（x+3），y=mt-3（x-3）.联立直线TA与椭圆的方程y=mt+3（x+3），
x29+y25=1，所以
5+9m2（t+3）2x2+54m2（t+3）2x+81m2（t+3）2-45=0，
由韦达定理得x1·（-3）=81m2（t+3）2-459m2（t+3）2+5，整理得
x1=-27m2+15（t+3）29m2+5（t+3）2.
又x1=2，
所以（t+3）2=9m2.
同理，联立直线TB与椭圆方程最后可得
25（t-3）2=36m2.
所以t=7t=97舍，m=103，所以T7，103.
（3）当t=9时，同样联立直线TA方程和椭圆方程可得5+m216x2+3m28x+9m216-45=0，
由韦达定理得x1·（-3）=9m216-45m216+5，整理得
x1=240-3m2m2+80.
又M（x1，y1）在直线TA上，所以将上式带入TA的方程可得y1=40mm2+80.
同理联立TB方程与椭圆方程可得
5+m24x2-3m22x+9m24-45=0，
由韦达定理得x2·3=9m24-45m24+5，整理得
x2=3m2-60m2+20，
再将之带入直线TB的方程可得y2=-20mm2+20.
所以M240-3m2m2+80，40mm2+80，N3m2-60m2+20，-20m2m2+80，直线MN的方程可写为y-40mm2+80x-240-3m2m2+80=y--20mm2+20x-3m2-60m2+20，
整理可得（60m3+2400m）x-[（m2+20）（240-3m2）-（m2+80）（3m2-60）]y-（60m3+2400m）=0.又m≠0，令y=0得x=1，此时直线MN与x轴的交点坐标为（1，0），为定点.
以上两小题的求解过程都是在使用公式、法则准确无误并且保证相当的运算能力的基础之上完成的.如果从运算的准确和熟练程度角度来看是没有问题的.准确熟练的运算是解决问题的基本保障，但并不是每个学生都能具备这种高水平的运算能力.可以看出以上两小题的解题过程中都是含有一定的运算量，比如在两个小题中共三次联立直线方程与椭圆方程并由韦达定理得到相关关系式，问题（3）中还需要写出直线MN的方程并且求出定点的坐标，这其中都包含了大量运算量，再加上含有很多字母变量，使得运算的难度更大了，因此很多学生会在这运算问题上吃亏，以致不能按原计划解完题目.
二、合理、简捷运算
《考试说明》要求能够根据问题的条件，寻找合理简捷的运算途径.这就要求运算不仅要正确，而且每一步的变形都要有依据，合乎算理.两小题的上述解法基本都是按照常规的思路来进行的.常规思路比较容易想到，在没有更好的想法时这当然是个不错的选择，但有的时候跳出常规可能会有不同的发现.针对圆锥曲线，我们是不是可以尝试着从一些新的角度去找到合理但简捷的运算途径呢？
再次审视，高考对运算能力的考查是分层次的，准确、熟练是基本要求，运算的技能要过关.重点是要“合理”，能根据已知条件合理确定运算目标、设计运算途径，在可能的情况下，利用一些“手段”得到简捷的途径.运算求解能力的关键是“想”而不是“算”，并不是所有的题目都能用常规的方法顺利解决，学会适时避免机械运算，学会做到“三思而后行”，找到运算路径短、步骤小、时间省的合理简捷的运算，才能高效地解决问题.
作者单位：江苏省沭阳高级中学
题目 （2010年江苏卷第18题）在平面直角坐标系xOy中，如图1所示，
图1
已知椭圆x29+y25=1的左、右顶点为A，B，右焦点为F.设过点T（t，m）的直线TA，TB与此椭圆分别交于M（x1，y1），N（x2，y2），m>0，y1>0，y2<0.
（1）设动点P满足PF2-PB2=4，求点P的轨迹;
（2）设x1=2，x2=13，求点T的坐标;
（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）.
分析：本题是圆锥曲线中椭圆与直线相结合的部分，它也是这类题中一种经典的组合.本题体现了这类题目的特点之一——涉及较多字母.这可能也是这类题运算难度较大的原因之一.但这也体现了《考试说明》中在考查基础知识的同时也注重考查运算能力的要求.
一、准确、熟练运算
请看以下的解题过程：
解：（1）略.
（2）易求得直线TA，TB的方程分别为y=mt+3（x+3），y=mt-3（x-3）.联立直线TA与椭圆的方程y=mt+3（x+3），
x29+y25=1，所以
5+9m2（t+3）2x2+54m2（t+3）2x+81m2（t+3）2-45=0，
由韦达定理得x1·（-3）=81m2（t+3）2-459m2（t+3）2+5，整理得
x1=-27m2+15（t+3）29m2+5（t+3）2.
又x1=2，
所以（t+3）2=9m2.
同理，联立直线TB与椭圆方程最后可得
25（t-3）2=36m2.
所以t=7t=97舍，m=103，所以T7，103.
（3）当t=9时，同样联立直线TA方程和椭圆方程可得5+m216x2+3m28x+9m216-45=0，
由韦达定理得x1·（-3）=9m216-45m216+5，整理得
x1=240-3m2m2+80.
又M（x1，y1）在直线TA上，所以将上式带入TA的方程可得y1=40mm2+80.
同理联立TB方程与椭圆方程可得
5+m24x2-3m22x+9m24-45=0，
由韦达定理得x2·3=9m24-45m24+5，整理得
x2=3m2-60m2+20，
再将之带入直线TB的方程可得y2=-20mm2+20.
所以M240-3m2m2+80，40mm2+80，N3m2-60m2+20，-20m2m2+80，直线MN的方程可写为y-40mm2+80x-240-3m2m2+80=y--20mm2+20x-3m2-60m2+20，
整理可得（60m3+2400m）x-[（m2+20）（240-3m2）-（m2+80）（3m2-60）]y-（60m3+2400m）=0.又m≠0，令y=0得x=1，此时直线MN与x轴的交点坐标为（1，0），为定点.
以上两小题的求解过程都是在使用公式、法则准确无误并且保证相当的运算能力的基础之上完成的.如果从运算的准确和熟练程度角度来看是没有问题的.准确熟练的运算是解决问题的基本保障，但并不是每个学生都能具备这种高水平的运算能力.可以看出以上两小题的解题过程中都是含有一定的运算量，比如在两个小题中共三次联立直线方程与椭圆方程并由韦达定理得到相关关系式，问题（3）中还需要写出直线MN的方程并且求出定点的坐标，这其中都包含了大量运算量，再加上含有很多字母变量，使得运算的难度更大了，因此很多学生会在这运算问题上吃亏，以致不能按原计划解完题目.
二、合理、简捷运算
《考试说明》要求能够根据问题的条件，寻找合理简捷的运算途径.这就要求运算不仅要正确，而且每一步的变形都要有依据，合乎算理.两小题的上述解法基本都是按照常规的思路来进行的.常规思路比较容易想到，在没有更好的想法时这当然是个不错的选择，但有的时候跳出常规可能会有不同的发现.针对圆锥曲线，我们是不是可以尝试着从一些新的角度去找到合理但简捷的运算途径呢？
再次审视，高考对运算能力的考查是分层次的，准确、熟练是基本要求，运算的技能要过关.重点是要“合理”，能根据已知条件合理确定运算目标、设计运算途径，在可能的情况下，利用一些“手段”得到简捷的途径.运算求解能力的关键是“想”而不是“算”，并不是所有的题目都能用常规的方法顺利解决，学会适时避免机械运算，学会做到“三思而后行”，找到运算路径短、步骤小、时间省的合理简捷的运算，才能高效地解决问题.
作者单位：江苏省沭阳高级中学