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因折叠型试题对考生的能力（动手能力、想象能力、综合运用知识的能力等）要求较高，故近几年全国各地的中考题中，形式新颖、结构独特、解法灵活的折叠题倍受命题者青睐.翻阅近几年的中考试卷，不难发现此类试题的新趋势.
变化一：由一次、二次折叠向多次折叠变化
例1 如图1所示，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作如下：第一步，先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1（1）；第二步，再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图1（2）；第三步，沿EB′线折叠得折痕EF，如图1（3），利用展开图1（4）探究：（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论.（2）对于任意一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由.
解 （1） △AEF是等边三角形.理由是：由平行线等分线段定理，可知PE=PA，故B′P是Rt△AB′E斜边上的中线.故PA=PB′，∠1=∠3，因PN//AD，故∠2=∠3，而2∠1+∠2=90°，故∠1=∠2=30°.在Rt△AB′E中，∠1+∠AEF=90°，故∠AEF=60°，∠EAF=∠1+∠2=60°.故△AEF为等边三角形.
（2） 不一定.由上述推证可知，当矩形的长恰好等于等边三角形AEF的边AF时，即矩形的宽与长之比为AB∶AF=sin60°=:2时，正好能折出，如果设矩形的长为a，宽为b，可知当b≤a时，按此法一定能折出等边三角形；当a 经验积累：图形折叠问题，其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，互相重合的两点（对称点）连线必被折痕垂直平分.要充分运用以上结论，作辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数定义等知识来解决折叠问题.同时，解这类题目，通常可以借助现成材料，通过动手操作，然后观察思考，得出答案.但由于考场环境和条件的限制，应根据上述知识，动手画出折后的图形.
变化二：由四边形折叠向五边形、六边形折叠变化
例2 将五边形ABCDE按如图方式折叠，折痕为AF，点E、D分别落在E′、D′，已知∠AFC=76°，则∠CFD′等于（ ）
解析 图中的四边形AEDF与四边形AE′D′F是全等形，故有∠AFD=∠AFD′因为∠AFC＋∠AFD=180°，若设∠CFD′=x°，则∠AFD=∠AFD′=76°＋x°故可列方程求x.设∠CFD′=x°，由题意得，76+（76+x）=180，解之，得x=28，所以∠CFD′=28°，应选B.
经验积累：一般情况下，一次折叠题无须动手折叠，但要抓住折叠的本质特征——折叠前后的两个图形关于折痕成轴对称（或折叠前后的两个图形全等），此外，挖掘隐含条件∠CFD是平角，是解决此例的关键.
变化三：由简单题向综合题的变化
例3 已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.
（1） （如图3）如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G，AF=，求DE的长.
（2） （如图4）如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长.
解析 （1） 观察图3，由轴对称的性质，知EF=AF=，可求DF=.在Rt△EDF中，用勾股定理求DE.在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=，∠D=90°，根据轴对称的性质，得EF=AF=，∴ DF=AD－AF=，Rt△EDF中，DE==
（2） 如图5，设AE、FG相交于点O，由轴对称的性质、矩形的性质可得许多边和角的关系，而解题的突破口在于如何利用条件“△AED的外接圆与直线BC相切”？按常规思路，过圆心O作BC的垂线，N为垂足（或过O作MN//AB）可得ON=AE，增加了这一条件后，再设DE=x，用方程沟通各已知和未知的边长，从而使问题获解.设AE与FG的交点为O，根据轴对称的性质，得AO=EO，取AD的中点M，连接MO，则MO=DE，MO//DC，设DE=x，则MO=x，在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°∴ AE为△AED的外接圆的直径，O为圆心.延长MO交BC于点N，则ON//CD，∴∠CNM=180°－∠C=90°，∴ ON⊥BC，四边形MNCD是矩形，∴ MN=CD=AB=2，∴ ON=MN－MO=2－x，∵△AED是外接圆与BC相切，∴ ON是△AED的外接圆的半径，∴ OE=ON=2－x，AE=2ON=4－x，在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，∴ 12+x2=（4－x）2，解这个方程得x=，∴ DE=，OE=2－x=，根据轴对称的性质，得AE⊥FC，∴ ∠FOE=∠D=90°，又∵ ∠FEO=∠AED，∴ △FEO∽△AED，∴ =，∴ OF=•AD，可得FO=，又AB//CD，∴ ∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO，∴ △FEO≌△GAD，∴ FO=GO，∴ FG=2FO=，∴ 折痕FG的长是
经验积累：作为压轴题，因涉及的知识点多，能力要求高而使考生颇感疑难，解题的关键是实施三次转化：转化1：折叠→图形全等；转化2：⊙O与BC相切→ON=AE；转化3：几何图形中的计算→代数方程.
变化四：由折叠后求解向折叠后规律探索
例4 将一张长方形的纸对折，如图6所示，可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到____条折痕，如果对折n次，可以得到____条折痕.
解析 本题是通过折叠次数的变化来研究折痕变化的规律题型，第一次对折有一条折痕，第一次对折后纸有两层，第二次对折已有的两层各有一条折痕，再加上原有的一条折痕共有1＋2＝3＝22－1条折痕，两次对折后纸共有4层，第三次对折后在3条折痕的基础上又增加了4条折痕，则此时共有1＋2＋4＝7＝23－1条折痕，由此可知第四次对折后共有24－1＝15条折痕，第n次对折共有（2n－1）条折痕.
经验积累：本题利用由特殊到一般的方法，寻求对折后折痕的条数的变化规律，要从对折的结果去分析对折过程中纸的层数的变化，再从纸的层数的变化去总结折痕的变化规律.
图形的折叠问题是图形变换的一种，主要是考查学生的自主探索能力与空间想象能力以及判断推理能力.解决折叠问题，首先要对图形折叠有一准确定位，把握折叠的实质；其次还要分清折叠前后哪些元素没变，哪些元素变化了；同时还要把握折叠的变化规律，运用所学知识合理、有序、全面的解决问题.
变化一：由一次、二次折叠向多次折叠变化
例1 如图1所示，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作如下：第一步，先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1（1）；第二步，再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图1（2）；第三步，沿EB′线折叠得折痕EF，如图1（3），利用展开图1（4）探究：（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论.（2）对于任意一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由.
解 （1） △AEF是等边三角形.理由是：由平行线等分线段定理，可知PE=PA，故B′P是Rt△AB′E斜边上的中线.故PA=PB′，∠1=∠3，因PN//AD，故∠2=∠3，而2∠1+∠2=90°，故∠1=∠2=30°.在Rt△AB′E中，∠1+∠AEF=90°，故∠AEF=60°，∠EAF=∠1+∠2=60°.故△AEF为等边三角形.
（2） 不一定.由上述推证可知，当矩形的长恰好等于等边三角形AEF的边AF时，即矩形的宽与长之比为AB∶AF=sin60°=:2时，正好能折出，如果设矩形的长为a，宽为b，可知当b≤a时，按此法一定能折出等边三角形；当a
变化二：由四边形折叠向五边形、六边形折叠变化
例2 将五边形ABCDE按如图方式折叠，折痕为AF，点E、D分别落在E′、D′，已知∠AFC=76°，则∠CFD′等于（ ）
解析 图中的四边形AEDF与四边形AE′D′F是全等形，故有∠AFD=∠AFD′因为∠AFC＋∠AFD=180°，若设∠CFD′=x°，则∠AFD=∠AFD′=76°＋x°故可列方程求x.设∠CFD′=x°，由题意得，76+（76+x）=180，解之，得x=28，所以∠CFD′=28°，应选B.
经验积累：一般情况下，一次折叠题无须动手折叠，但要抓住折叠的本质特征——折叠前后的两个图形关于折痕成轴对称（或折叠前后的两个图形全等），此外，挖掘隐含条件∠CFD是平角，是解决此例的关键.
变化三：由简单题向综合题的变化
例3 已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.
（1） （如图3）如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G，AF=，求DE的长.
（2） （如图4）如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长.
解析 （1） 观察图3，由轴对称的性质，知EF=AF=，可求DF=.在Rt△EDF中，用勾股定理求DE.在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=，∠D=90°，根据轴对称的性质，得EF=AF=，∴ DF=AD－AF=，Rt△EDF中，DE==
（2） 如图5，设AE、FG相交于点O，由轴对称的性质、矩形的性质可得许多边和角的关系，而解题的突破口在于如何利用条件“△AED的外接圆与直线BC相切”？按常规思路，过圆心O作BC的垂线，N为垂足（或过O作MN//AB）可得ON=AE，增加了这一条件后，再设DE=x，用方程沟通各已知和未知的边长，从而使问题获解.设AE与FG的交点为O，根据轴对称的性质，得AO=EO，取AD的中点M，连接MO，则MO=DE，MO//DC，设DE=x，则MO=x，在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°∴ AE为△AED的外接圆的直径，O为圆心.延长MO交BC于点N，则ON//CD，∴∠CNM=180°－∠C=90°，∴ ON⊥BC，四边形MNCD是矩形，∴ MN=CD=AB=2，∴ ON=MN－MO=2－x，∵△AED是外接圆与BC相切，∴ ON是△AED的外接圆的半径，∴ OE=ON=2－x，AE=2ON=4－x，在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，∴ 12+x2=（4－x）2，解这个方程得x=，∴ DE=，OE=2－x=，根据轴对称的性质，得AE⊥FC，∴ ∠FOE=∠D=90°，又∵ ∠FEO=∠AED，∴ △FEO∽△AED，∴ =，∴ OF=•AD，可得FO=，又AB//CD，∴ ∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO，∴ △FEO≌△GAD，∴ FO=GO，∴ FG=2FO=，∴ 折痕FG的长是
经验积累：作为压轴题，因涉及的知识点多，能力要求高而使考生颇感疑难，解题的关键是实施三次转化：转化1：折叠→图形全等；转化2：⊙O与BC相切→ON=AE；转化3：几何图形中的计算→代数方程.
变化四：由折叠后求解向折叠后规律探索
例4 将一张长方形的纸对折，如图6所示，可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到____条折痕，如果对折n次，可以得到____条折痕.
解析 本题是通过折叠次数的变化来研究折痕变化的规律题型，第一次对折有一条折痕，第一次对折后纸有两层，第二次对折已有的两层各有一条折痕，再加上原有的一条折痕共有1＋2＝3＝22－1条折痕，两次对折后纸共有4层，第三次对折后在3条折痕的基础上又增加了4条折痕，则此时共有1＋2＋4＝7＝23－1条折痕，由此可知第四次对折后共有24－1＝15条折痕，第n次对折共有（2n－1）条折痕.
经验积累：本题利用由特殊到一般的方法，寻求对折后折痕的条数的变化规律，要从对折的结果去分析对折过程中纸的层数的变化，再从纸的层数的变化去总结折痕的变化规律.
图形的折叠问题是图形变换的一种，主要是考查学生的自主探索能力与空间想象能力以及判断推理能力.解决折叠问题，首先要对图形折叠有一准确定位，把握折叠的实质；其次还要分清折叠前后哪些元素没变，哪些元素变化了；同时还要把握折叠的变化规律，运用所学知识合理、有序、全面的解决问题.