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2013年山东省夏季高考数学理科第22题(见下题)的得分很低，特别是第二和第三问基本不得分，主要是因为第二问考查角平分线的性质，几何味很浓，学生对角平分线的性质不熟悉不会转化，结果联立消元韦达定理用不上；第三问通过联立消元判别式等于零，计算量巨大，学生的计算能力达不到，时间又紧张，很难得分，但是也有部分学生本题得满分，原因何在？主要是这些学生做（Ⅱ）（Ⅲ）时优化了思维，采用了更简单的解法。
已知椭圆C：的左、右焦点分别是 、 ，离心率为 ，过 且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点 是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接 ， ，设 的角平分线 交C的长轴于点 ，求 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点 作斜率为 的直线 ，使 与椭圆C有且只有一个公共点，设直线 ， 的斜率分别为 、 。若 ，试证明 为定值，并求出这个定值。
解析（Ⅰ）由题意得 解得 所以椭圆C的标准方程为
（Ⅱ）【解法一】应用三角形内角角平分线性质定理与合分比定理建立函数关系式
因为 为 的角平分线，所以 = ，所以 ，
所以 = ，因为 ，所以 .
【解法二】利用橢圆的切线斜率和内外角平分线互相垂直
设 由隐函数定理，在 两边对 求导可得 即 ，
，所以椭圆C在点 处的切线斜率
引理1： 的外角平分线即为椭圆C在点 处的切线
证明：如图，设 的外角平分线为 ，假设 不是椭圆C在
点 处的切线，则 与椭圆C相交，设 为 与椭圆C的
另一交点，作 关于 的对称点 ,则 矛盾。故 与椭圆C有且仅有一个交点 ，即 为椭圆C的切线.故 的外角平分线 为椭圆C在点 处的切线。
引理2：三角形的内外角平分线互相垂直
证明：如图，已知 中， 的角平分线为 ，
的外角平分线为BF，
则
所以 即内外角平分线互相垂直.证毕.
由引理1,2可知， .所以直线 ，令 并注意到
可得 即 因为 所以 .
（Ⅲ）设 由隐函数定理，在 两边对 求导可得 即 ， ，所以椭圆C在点 处的切线斜率
所以为定值，定值为 .
教学建议：在平时的数学课堂教学中，一方面我们不仅要让学生知道解决一类题目的通法，更要在此基础上从同角度不同方法上一题多解，找出最佳解法，优化思维，发展学生的发散思维，培养思维的灵活性和深刻性；另一方面，对于课本中的例题包括课后题的重要结论，教师一定要给予充分的重视并引导学生重视，如三角形的内角平分线性质定理在人教B版必修5《正弦定理》一节中是以例题的形式出现的，而三角形的外角平分线性质定理则是在课后题中以习题形式出现的，如果学生对此性质定理没有掌握的话，本题的第二问基本上不得分；再比如引理1即椭圆的光学性质是在人教B版选修2-1第75页上以数学文化《阅读与欣赏》的形式出现的。
已知椭圆C：的左、右焦点分别是 、 ，离心率为 ，过 且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点 是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接 ， ，设 的角平分线 交C的长轴于点 ，求 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点 作斜率为 的直线 ，使 与椭圆C有且只有一个公共点，设直线 ， 的斜率分别为 、 。若 ，试证明 为定值，并求出这个定值。
解析（Ⅰ）由题意得 解得 所以椭圆C的标准方程为
（Ⅱ）【解法一】应用三角形内角角平分线性质定理与合分比定理建立函数关系式
因为 为 的角平分线，所以 = ，所以 ，
所以 = ，因为 ，所以 .
【解法二】利用橢圆的切线斜率和内外角平分线互相垂直
设 由隐函数定理，在 两边对 求导可得 即 ，
，所以椭圆C在点 处的切线斜率
引理1： 的外角平分线即为椭圆C在点 处的切线
证明：如图，设 的外角平分线为 ，假设 不是椭圆C在
点 处的切线，则 与椭圆C相交，设 为 与椭圆C的
另一交点，作 关于 的对称点 ,则 矛盾。故 与椭圆C有且仅有一个交点 ，即 为椭圆C的切线.故 的外角平分线 为椭圆C在点 处的切线。
引理2：三角形的内外角平分线互相垂直
证明：如图，已知 中， 的角平分线为 ，
的外角平分线为BF，
则
所以 即内外角平分线互相垂直.证毕.
由引理1,2可知， .所以直线 ，令 并注意到
可得 即 因为 所以 .
（Ⅲ）设 由隐函数定理，在 两边对 求导可得 即 ， ，所以椭圆C在点 处的切线斜率
所以为定值，定值为 .
教学建议：在平时的数学课堂教学中，一方面我们不仅要让学生知道解决一类题目的通法，更要在此基础上从同角度不同方法上一题多解，找出最佳解法，优化思维，发展学生的发散思维，培养思维的灵活性和深刻性；另一方面，对于课本中的例题包括课后题的重要结论，教师一定要给予充分的重视并引导学生重视，如三角形的内角平分线性质定理在人教B版必修5《正弦定理》一节中是以例题的形式出现的，而三角形的外角平分线性质定理则是在课后题中以习题形式出现的，如果学生对此性质定理没有掌握的话，本题的第二问基本上不得分；再比如引理1即椭圆的光学性质是在人教B版选修2-1第75页上以数学文化《阅读与欣赏》的形式出现的。