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摘 要：概念本体性知识的解读，不仅可以帮助我们理解该知识在学科逻辑体系中的地位和作用，把握其与前后知识之间的联系，还能帮助了解该知识发生、发展的历史过程，有助于我们更好地理解所教知识是如何以及为何会成为如今的面貌，从而为设计与实施自然流畅、清新易懂的教学过程奠定扎实基础。本文通过对“负数”这一概念的本体性知识解读，谈谈这些知识给我们的教学带来的启示和思考。
关键词：负数;本体性知识;启示
自1986年课程改革以来，我国小学数学一直在非负数的范围内展开四则运算的教与学，2001年实施的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》将负数的部分内容放到第二学段。作为小学数学教师，如果在上“负数”这节课之前，对与之有关的本体性知识有所了解甚至熟悉，那么一定有利于對概念的本质属性的把握，在设计这节课时可以做到“居高临下”、心中有数，从而避免在教学时出现科学性、知识性的错误。
一、 “负数”的本体性知识解读
（一）什么是负数
1. 表示与正数相反意义的量
这一定义是我国魏晋时期的大数学家刘徽（225年～295年）于公元263年在《九章算术注》中提出的。刘徽在注释“正负术”时，一开始就给正数和负数下了定义，他明确指出：“今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑。否则以邪正为异。”当两数在运算中引起增加和减少两种相反结果时，要用“正数”和“负数”对这两种数分别命名，以示区别。
2. 负数是比零小的数
这个定义是德国数学家米哈依尔·史提非（约1486年～1567年），在他于1544年发表的数学论文《整数算术》中提出的。负数在被减数小于减数时出现，它所表示的是减数把被减数减完之后又继续往下减的结果。
（二）负数的产生
1. 人类生产发展和社会进步的需要
在日常生活中，有些情况仅靠自然数来表示量是不够的。因为有些量可能会有两种相反的趋势、两个相反的方向。例如，仅仅说温度是23℃是不准确的，还必须说明是在冰点以上还是在冰点以下。为了表征这些相反的趋势、相反意义的量，要将有关的量加上符号，这样也就有了正数和负数两种表示意义相反的量的数，例如， 23℃和-23℃。
2. 数学自身发展的需要
数系的扩张要遵循因袭原理，即在原有数系基础上，通过引进新的符号（数），扩充成一个新的、内容更丰富的结构（数系），使得“老”数系是“新”数系的真子集，即“老”的数是所有新数系的一部分，而且在原来数系中成立的运算规则，和更大范围内的数系中的运算规则保持一致，结果相同。自然数到整数的扩展亦是如此。我们知道，在自然数内总能进行加法和乘法的运算，但是，加法的逆运算减法并不总是可进行的。对于自然数a和b，只有当a≥b时，才能使a-b成立或方程b x=a有解。于是，通过引进符号-1，-2，-3，…，并对于a≤b情况，定义a-b=-（b-a），从而消除了这个限制。这个扩充的过程，即包括自然数，又包括新引进的符号-1，-2，-3，…，二者共同构成称之为整数的新集合，必须规定它们的运算，使得自然数作为整数运算时，能和原来的自然数运算规则保持一致，结果相同。简单地说，从自然数半群出发为了使加法的逆运算减法总能够进行，添加负元素是必需的，于是就构成了整数环，这是数学内部的动因。
二、 “负数”的本体性知识对教学的启示
作为一线教师，我们弄清有关“负数”的本体性知识，主要是为了明确“负数”概念的含义，明确概念的本质属性，以便教学时能更确切地陈述数学语言。同时，对于学生在课堂上出现的各种表达，能够比较好地组织与引入，更好地引导学生学习和理解。那么，上述这些本体性知识的解读究竟给我们带来了哪些启示呢？
（一）如何正确把握负数概念的本质？
从负数的本体性知识看，由于负数产生的双重原因使负数的含义至少包括两个方面：一是表示与正数相反意义的量，如收入1万元记为“ 1万元”那么支出1万元就记为“-1万元”等;另一方面，一种新的数，也就是实现了数系的一次扩张，可以满足数学上的需要，保证了减法运算的封闭性。在前面的论述中，我们知道负数的概念属于传承性知识，这就决定了小学负数概念不是定义型层面的概念，而是扩展型概念。而概念又是一种约定，约定的内涵学生是不容易发现的，因此在教学时教师要重视展现负数概念的形成过程，深化负数意义的理解。
（二）如何将负数概念引入的课堂？
从负数的发展历史看，负数的产生有双重原因：既有人类生产发展和社会进步的需要，又有数学自身发展的需要。鉴于此，那我们的教学该从怎样的角度将负数引入课堂？传统的教学都是先呈现负数的生活原型，让学生在观察中产生认知冲突，从而引出负数的概念。在前面的论述中我们知道，生活需要只是产生负数的原因之一，这样的教学显然使学生对负数这一概念的理解具有片面性，可能在后续的学习中会使学生引起逻辑困难。因此，在教学中我们为学生创设负数的生活原型的同时也应加入负数的数学原型，让学生对负数这一概念的理解更加丰满，使其能更好地建立数感和正确认识数系的扩张，完善数学的认知结构。
（三）如何设计教学活动开展教学？
负数的概念本身是一种约定，在教学时我们可以从学生已有的生活和知识经验中发掘“负数”的原型，为新知学习提供支点，这样将有助于知识的同化与顺应，并要重视将新的概念放在知识的整体背景中加以思考，这样才能更好地建立数学知识间的内在联系，更好地引导学生建立“负数”的概念。值得注意的是，在介绍负数概念名称时要以教师启发式讲解点拨为主，通过教师点拨去诱导学生形成负数概念。此时如果以合作探究学习形式为主让学生探究负数这个名称，学生在连个历史遵循都没有的情况下，去探究这个千年形成的负数概念的名称，是时间上的浪费。当负数概念形成后，我们可以适当安排合作交流方式，因为此时学生已有负数概念这个准则为依托。
参考文献：
[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]莫里斯·克莱因.古今数学思想（第一册）[M].上海：上海科学技术出版社，2002.
[3]张奠宙，孔凡哲，黄建弘，等.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2009.
[4]白尚恕.九章算术注释[M].北京：科学出版社，1983.
关键词：负数;本体性知识;启示
自1986年课程改革以来，我国小学数学一直在非负数的范围内展开四则运算的教与学，2001年实施的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》将负数的部分内容放到第二学段。作为小学数学教师，如果在上“负数”这节课之前，对与之有关的本体性知识有所了解甚至熟悉，那么一定有利于對概念的本质属性的把握，在设计这节课时可以做到“居高临下”、心中有数，从而避免在教学时出现科学性、知识性的错误。
一、 “负数”的本体性知识解读
（一）什么是负数
1. 表示与正数相反意义的量
这一定义是我国魏晋时期的大数学家刘徽（225年～295年）于公元263年在《九章算术注》中提出的。刘徽在注释“正负术”时，一开始就给正数和负数下了定义，他明确指出：“今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑。否则以邪正为异。”当两数在运算中引起增加和减少两种相反结果时，要用“正数”和“负数”对这两种数分别命名，以示区别。
2. 负数是比零小的数
这个定义是德国数学家米哈依尔·史提非（约1486年～1567年），在他于1544年发表的数学论文《整数算术》中提出的。负数在被减数小于减数时出现，它所表示的是减数把被减数减完之后又继续往下减的结果。
（二）负数的产生
1. 人类生产发展和社会进步的需要
在日常生活中，有些情况仅靠自然数来表示量是不够的。因为有些量可能会有两种相反的趋势、两个相反的方向。例如，仅仅说温度是23℃是不准确的，还必须说明是在冰点以上还是在冰点以下。为了表征这些相反的趋势、相反意义的量，要将有关的量加上符号，这样也就有了正数和负数两种表示意义相反的量的数，例如， 23℃和-23℃。
2. 数学自身发展的需要
数系的扩张要遵循因袭原理，即在原有数系基础上，通过引进新的符号（数），扩充成一个新的、内容更丰富的结构（数系），使得“老”数系是“新”数系的真子集，即“老”的数是所有新数系的一部分，而且在原来数系中成立的运算规则，和更大范围内的数系中的运算规则保持一致，结果相同。自然数到整数的扩展亦是如此。我们知道，在自然数内总能进行加法和乘法的运算，但是，加法的逆运算减法并不总是可进行的。对于自然数a和b，只有当a≥b时，才能使a-b成立或方程b x=a有解。于是，通过引进符号-1，-2，-3，…，并对于a≤b情况，定义a-b=-（b-a），从而消除了这个限制。这个扩充的过程，即包括自然数，又包括新引进的符号-1，-2，-3，…，二者共同构成称之为整数的新集合，必须规定它们的运算，使得自然数作为整数运算时，能和原来的自然数运算规则保持一致，结果相同。简单地说，从自然数半群出发为了使加法的逆运算减法总能够进行，添加负元素是必需的，于是就构成了整数环，这是数学内部的动因。
二、 “负数”的本体性知识对教学的启示
作为一线教师，我们弄清有关“负数”的本体性知识，主要是为了明确“负数”概念的含义，明确概念的本质属性，以便教学时能更确切地陈述数学语言。同时，对于学生在课堂上出现的各种表达，能够比较好地组织与引入，更好地引导学生学习和理解。那么，上述这些本体性知识的解读究竟给我们带来了哪些启示呢？
（一）如何正确把握负数概念的本质？
从负数的本体性知识看，由于负数产生的双重原因使负数的含义至少包括两个方面：一是表示与正数相反意义的量，如收入1万元记为“ 1万元”那么支出1万元就记为“-1万元”等;另一方面，一种新的数，也就是实现了数系的一次扩张，可以满足数学上的需要，保证了减法运算的封闭性。在前面的论述中，我们知道负数的概念属于传承性知识，这就决定了小学负数概念不是定义型层面的概念，而是扩展型概念。而概念又是一种约定，约定的内涵学生是不容易发现的，因此在教学时教师要重视展现负数概念的形成过程，深化负数意义的理解。
（二）如何将负数概念引入的课堂？
从负数的发展历史看，负数的产生有双重原因：既有人类生产发展和社会进步的需要，又有数学自身发展的需要。鉴于此，那我们的教学该从怎样的角度将负数引入课堂？传统的教学都是先呈现负数的生活原型，让学生在观察中产生认知冲突，从而引出负数的概念。在前面的论述中我们知道，生活需要只是产生负数的原因之一，这样的教学显然使学生对负数这一概念的理解具有片面性，可能在后续的学习中会使学生引起逻辑困难。因此，在教学中我们为学生创设负数的生活原型的同时也应加入负数的数学原型，让学生对负数这一概念的理解更加丰满，使其能更好地建立数感和正确认识数系的扩张，完善数学的认知结构。
（三）如何设计教学活动开展教学？
负数的概念本身是一种约定，在教学时我们可以从学生已有的生活和知识经验中发掘“负数”的原型，为新知学习提供支点，这样将有助于知识的同化与顺应，并要重视将新的概念放在知识的整体背景中加以思考，这样才能更好地建立数学知识间的内在联系，更好地引导学生建立“负数”的概念。值得注意的是，在介绍负数概念名称时要以教师启发式讲解点拨为主，通过教师点拨去诱导学生形成负数概念。此时如果以合作探究学习形式为主让学生探究负数这个名称，学生在连个历史遵循都没有的情况下，去探究这个千年形成的负数概念的名称，是时间上的浪费。当负数概念形成后，我们可以适当安排合作交流方式，因为此时学生已有负数概念这个准则为依托。
参考文献：
[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]莫里斯·克莱因.古今数学思想（第一册）[M].上海：上海科学技术出版社，2002.
[3]张奠宙，孔凡哲，黄建弘，等.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2009.
[4]白尚恕.九章算术注释[M].北京：科学出版社，1983.