直线的参数方程在弦长公式中的运用

• 作 者: 官欣莫利琴
• 出 处: 中学生数理化·学习研究
• 发表日期: 2017年8期
• 关键词: 弦长公式 参数方程 平面直角坐标系 极坐标方程 直线 问题提出

　　一、问题提出
　　题目：已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ+4sinθ，P点的极坐标为3，π2，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy，在平面直角坐标系中，直线l经过点P，倾斜角为π3。
　　（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程。
　　（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求AB的长。
　　问题：求直线与圆锥曲线的交点弦的弦长时，为什么在直线方程是参数方程的情况下要用参数方程中的弦长公式AB=t1-t2=t1+t22-4t1t2①，而不是用以前的弦长公式AB=x1-x2=1+k2·x1-x22-4x1x2②呢？
　　二、解题过程及原理
　　1.解题过程。
　　思路：（Ⅰ）（略）；（Ⅱ）（1）常規思路：将直线方程和椭圆方程化为普通方程，联立消元，形成一元二次方程，求出交点A，B的坐标，用两点间的距离公式求得弦长，或是用根与系数的关系带入②得到弦长。所以，由x2+y2=2x+4y，y=3x+3，得4x2+（23-2）x-3=0，带入②得AB=16-23。（2）参数方程解法：把直线的普通方程（或是极坐标方程）化为参数方程，带入椭圆的普通方程，形成关于参数t的一元二次方程，利用根与系数的关系带入①即可求出弦长。所以将直线的参数方程为x=12t，y=3+32t （t为参数），带入C的直角坐标坐标方程，得t2+（3-1）t-3=0，有t1+t2=1-3，t1·t2=-3，带入弦长公式②，得AB=16-23。
　　比较起来，明显第二种方法更快捷，但是部分同学会感觉不习惯。究其原因，是对参数方程中t的几何意义没有吃透。
　　2.基本原理。
　　教材中关于参数方程是这样描述的：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变量t的函数x=f（t）y=g（t） 并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，连接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
　　经过点M0x0，y0，倾斜角为α的直线l的方向向量是e=（cosα，sinα）。设M（x，y）为直线l上的任意一点，那么M0M∥e，从而必有实数t，使M0M=te，即x-x0，y-y0=t（cosα，sinα），从而得到直线的参数方程：
　　x=x0+tcosα，y=y0+tsinα， （t为参数）。
　　此时，M0M=te=t；若t>0，M0M的方向向上（即M在M0上方）；若t<0，M0M的方向向下（M在M0下方）；若t=0，M与M0重合。
　　结合图形来看弦AB的长。
　　经计算可知，无论M0在何处，总有AB=t1-t2。
　　到这里，两个公式的原理都明了了。
　　作者单位：1.云南省昆明市粤秀中学
　　2.云南省昆明市第一中学