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同学们，高考在即.经过了三年的高中数学学习，你们能掌握数学解题的要领吗？本文提出的四种意识，或许对你们高考解题有所帮助.
第一，要有目标意识
数学解题没有固定的方法，但必须要有目标意识，因为有了解题目标，才能进行有目的的变形.这当中，“求什么，列什么，解什么”，有时显得非常管用.
例1已知点A（-3，0），圆O的方程为x2 y2=4，是否存在不同于点A的定点B，对于圆O上任意一点M，都有MAMB为常数，若存在，求所有满足条件的点B的坐标；若不存在，说明理由.
解析：解析几何中的定点或定值问题，一直是许多同学难以逾越的一条“鸿沟”，究其原因，就是缺乏解题的目标意识，从而找不到解题思路.
对于本例，首先要明确求未知点的坐标，一般是通过解方程组来实现，因此第一个解题目标就是列方程，将“MAMB为常数”转化为方程组：设B（m，n），M（x，y），MAMB=k（k>0）.则x2 y2=4
且（x 3）2 y2（x-m）2 （y-n）2=k，整理得，
6x 13=-2mk2x-2nk2y （m2 n2）k2 4k2，于是有2nk2=0-2mk2=6（m2 n2）k2 4k2=13；其次要有解方程组的目标意识：容易解得n=0m=-43或n=0m=-3（舍），
∴B（-43，0）.
评注：没有目标就会失去方向，解题也是如此.确定解题目标，本质上就是探求一条切实可能的解题思路，探求一条从题设到结论的“绿色通道”.
例2已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an 1=23an n-4，bn=（-1）n（an-3n 21），其中λ为实数，n为正整数.
（1）对任意实数λ，证明：数列{an}不是等比数列；
（2）试判断数列{bn}是否为等比数列.
解析：对于（1），如果没有目标意识，往往会无从下手.而有了目标意识，就是证明a2n 1=an·an 2不恒成立，于是将问题特殊化，先求a22=a1·a3是否成立.
对于（2），解题目标就是是否能找到公比，并且注意首项是否可以为零.
（1）证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，
则有a22=a1·a3，即（23λ-3）2=λ·（49λ-4）
49λ2-4λ 9=49λ2-4λ9=0，矛盾.
所以{an}不是等比数列.
（2）因为bn 1=（-1）n 1[an 1-3（n 1） 21]=（-1）n 1（23an-2n 14）
=-23（-1）n·（an-3n 21）=-23bn，
又b1=-（λ 18），所以当λ=-18时，bn=0（n∈N*），此时{bn}不是等比数列；当λ≠-18时，b1=-（λ 18）≠0，由bn 1=-23bn，可知bn≠0，所以bn 1bn=-23（n∈N*）.
故当λ≠-18时，数列{bn}是以-（λ 18）为首项，-23为公比的等比数列.
综上知，当λ=-18时，数列{bn}不是等比数列；
当λ≠-18时，数列{bn}是以-（λ 18）为首项，-23为公比的等比数列.
评注：目标意识与解题思路相辅相成，有了解题目标，才能在目标意识下催生解题思路.
第二，要有求简意识
求简，是数学解题的一种最高境界.求简意识，不仅能优化我们的思维，更能使我们的解题快速有效.我们知道，有些简答题的解法不唯一，如果选择方法不当，再加上考试时心情紧张，往往使计算无法进行到底.如何求简，归根到底是学会转化，如数形转化、换元转化、整体转化等.
例3已知4x-3y 12=0，
则F=（x-1）2 （y 2）2的最小值为.
解析：这是一道在对x、y进行约束的条件下求解含有根式的函数极值的问题.通过对函数解析式及约束条件的分析，我们很快就可以得到：
F=（x-1）2 （y 2）2的最小值的几何含义是：直线l：4x-3y 12=0上的任意一点A（x，y）与点B（1，-2）间的距离的最小值.
因此函数F=（x-1）2 （y 2）2的最小值也就是点B到直线l的距离，
即Fmin=d=|4×1-3×（-2） 12|5=225.
评注：作为填空题，最忌“小题大做”.解题时我们应抓住问题的本质，挖掘问题的内涵，尤其要注意数与形之间的联系.
例4在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2 y2-8x 15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是.
解析：一般解法如下：
设P（x0，kx0-2）是直线y=kx-2上一点，
以P为圆心，1为半径的圆方程为（x-x0）2 （y-kx0 2）2=1.
因为它与圆C：（x-4）2 y2=1有公共点，所以两圆相交，
从而有（x0-4）2 （kx0-2）2≤4，即（1 k2）x20-（4k 8）x0 16≤0有解，
所以Δ=（4k 8）2-64（1 k2）≥0，
化简得3k2-4k≤0，解得0≤k≤43.所以k的最大值为43.
倘若我们能抓住问题的本质，从数形结合角度考虑，就会得到如下优美解法：
圆C：（x-4）2 y2=1，如图，直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到y=kx-2的距离小于或等于2即可，
∴|4k-2|1 k2≤20≤k≤43.∴kmax=43. 评注：挖掘原问题的几何意义，往往能使我们豁然开朗.数形结合，是简化解题过程的最有效的途径之一.
第三，要有转化意识
数学问题的求解，离不开逻辑变换的转化.而巧妙的转化可以给解题开辟途径，达到化难为易的目的.因此，掌握各类问题的转化变换方法，是提高观察条件、分析题意和提高解题能力的重要手段.
例5已知函数f（x）=4x k2x 14x 2x 1，若对于任意实数x1，x2，x3，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，则实数k的取值范围是.
解析：本题虽然没有出现“恒成立”的字样，却是一个函数隐性恒成立问题，根据条件对任意x1，x2，x3，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，则必有fmax（x）<2fmin（x），于是转化为函数的最值问题.
f（x）=1 2x（k-1）4x 2x 1=1 k-12x 2-x 1，且2x 2-x≥2（当仅当x=0时等号成立）.
故当k>1时1 评注：恒成立问题一般采用最值法，所谓最值法就是原问题转化为函数的最值问题：f（x）≥a恒成立fmin（x）≥a；f（x）≤a恒成立fmax（x）≤a.
例6已知函数f（x）=（13）x，x∈[-1，1]，函数g（x）=f2（x）-2af（x） 3的最小值为h（a）.
（1）求h（a）；
（2）是否存在实数m、n，同时满足以下条件：
①m>n>3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2].若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由.
解析：（1）由f（x）=（13）x的单调性可求出f（x）的值域，g（x）是以f（x）为变元的二次函数，令t=（13）x，可求关于t的二次函数的最小值h（a）.
因为x∈[-1，1]，所以（13）x∈[13，3].
设（13）x=t，t∈[13，3]，则g（x）=φ（t）=t2-2at 3=（t-a）2 3-a2.
当a<13时，h（x）=φ（13）=289-23a；
当13≤a≤3时，h（a）=φ（a）=3-a2；
当a>3时，h（a）=φ（3）=12-6a.
所以h（a）=289-2a3（a<13）3-a2（13≤a≤3）12-6a（a>3）.
（2）由（1）知当m>n>3时h（a）的表达式，考察h（a）在[n，m]上的单调性，结合其值域[n2，m2]，可列出关于m，n的方程组求解m，n，如果有解则所求实数m，n存在，否则不存在.
因为m>n>3，a∈[n，m]，所以h（a）=12-6a.
因为h（a）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，且h（a）为减函数，
所以12-6m=n212-6n=m2，两式相减得6（m-n）=（m-n）（m n），
因为m>n，所以m-n≠0，
故有m n=6，但这与“m>n>3”矛盾，故满足条件的实数m，n不存在.
评注：求解本题关键在于利用换元的思想方法，将原问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，然后通过分类讨论求出函数的最值.对于存在性问题，往往是首先假设符合条件的参数存在，然后根据给出的条件进行推理求解，若不能推出矛盾，则说明符合要求的参数存在，否则说明符合要求的参数不存在.
第四，要有反思意识
俗话说：“人非圣贤，孰能无过”.在解题的过程中，谁都可能会出现这样或那样的错误，因此在解完一道题后就很有必要审查自己的解题是否混淆了概念，是否忽视了隐含条件，是否特殊代替一般，是否忽视特例，逻辑上是否有问题，运算是否正确等.这样做是为了保证解题无误，这是解题后最基本的要求.因此，在解题的同时，我们应及时反思，在反思中提高解题的准确率.
例7两个等差数列{an}，{bn}，a1 a2 … anb1 b2 … bn=7n 2n 3，则a5b5=.
错解：因为a1 a2 … anb1 b2 … bn=7n 2n 3，因此，可设
a1 a2 … an=Sn，b1 b2 … bn=Tn，于是Sn=7n 2，Tn=n 3，
∴a5=S5-S4=（7×5 2）-（7×4 2）=7，b5=T5-T4=（5 3）-（4 3）=1，
故a5b5=71=7.
反思：错解中的设法，表明了数列{an}和{bn}的前n次项都是n的一次式，而等差数列{an}的前n项和：Sn=na1 n（n-1）2d=d2n2 （a1-d2）n，其中d为公差，令d2=a，（a1-d2）=b，则等差数列前n项和的公式：Sn=an2 bn.只有当等差数列是常数列，即公差d=0时，才能将其前n项的和设为Sn=an b的形式，而本题没有这样的条件.因此只能得Sn=an2 bn的二次式，这种解法犯了偷换题设的错误，其原因在于对等差数列的前n项和公式的特征认识不到位.
正解：a5b5=2a52b5=a1 a9b1 b9=9（a1 a9）29（b1 b9）2=S9T9=6512.
评注：此法很简洁明快，给人耳目一新，其实此法巧妙利用等差数列的性质，将等差数列的通项公式与前n项和Sn联系起来，在已知和未知之间架起了桥梁.
例8已知a>0，b>0，a b=1，求（a 1a）2 （b 1b）2的最小值.
错解：由（a 1a）2 （b 1b）2=a2 b2 1a2 1b2 4≥2ab 2ab 4≥4ab·1ab 4=8，
于是，（a 1a）2 （b 1b）2的最小值是8.
反思：利用基本不等式求最值，必须注意等号能否取到.错解两次利用基本不等式，等号分别在a=1，b=1时取到，此时a b=2，与题设a b=1矛盾，故等号不能同时取到.
正解：（a 1a）2 （b 1b）2
=a2 b2 1a2 1b2 4
=（a2 b2） （1a2 1b2） 4
=[（a b）2-2ab] [（1a 1b）2-2ab] 4
=（1-2ab）（1a2b2-2ab） 4
由ab≤（a b2）2=14，得1-2ab≥1-12=12，且1a2b2≥16，1 1a2b2≥17.
∴原式≥12×17 4=252（当且仅当a=b=12时，等号成立），
∴（a 1a）2 （b 1b）2的最小值是252.
评注：利用基本不等式时，必须要注意解答过程是否满足“一正二定三相等”，尤其是在多次应用基本不等式时更要关注这个“易错点”.
（作者：邵红，太仓市教师发展中心）
第一，要有目标意识
数学解题没有固定的方法，但必须要有目标意识，因为有了解题目标，才能进行有目的的变形.这当中，“求什么，列什么，解什么”，有时显得非常管用.
例1已知点A（-3，0），圆O的方程为x2 y2=4，是否存在不同于点A的定点B，对于圆O上任意一点M，都有MAMB为常数，若存在，求所有满足条件的点B的坐标；若不存在，说明理由.
解析：解析几何中的定点或定值问题，一直是许多同学难以逾越的一条“鸿沟”，究其原因，就是缺乏解题的目标意识，从而找不到解题思路.
对于本例，首先要明确求未知点的坐标，一般是通过解方程组来实现，因此第一个解题目标就是列方程，将“MAMB为常数”转化为方程组：设B（m，n），M（x，y），MAMB=k（k>0）.则x2 y2=4
且（x 3）2 y2（x-m）2 （y-n）2=k，整理得，
6x 13=-2mk2x-2nk2y （m2 n2）k2 4k2，于是有2nk2=0-2mk2=6（m2 n2）k2 4k2=13；其次要有解方程组的目标意识：容易解得n=0m=-43或n=0m=-3（舍），
∴B（-43，0）.
评注：没有目标就会失去方向，解题也是如此.确定解题目标，本质上就是探求一条切实可能的解题思路，探求一条从题设到结论的“绿色通道”.
例2已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an 1=23an n-4，bn=（-1）n（an-3n 21），其中λ为实数，n为正整数.
（1）对任意实数λ，证明：数列{an}不是等比数列；
（2）试判断数列{bn}是否为等比数列.
解析：对于（1），如果没有目标意识，往往会无从下手.而有了目标意识，就是证明a2n 1=an·an 2不恒成立，于是将问题特殊化，先求a22=a1·a3是否成立.
对于（2），解题目标就是是否能找到公比，并且注意首项是否可以为零.
（1）证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，
则有a22=a1·a3，即（23λ-3）2=λ·（49λ-4）
49λ2-4λ 9=49λ2-4λ9=0，矛盾.
所以{an}不是等比数列.
（2）因为bn 1=（-1）n 1[an 1-3（n 1） 21]=（-1）n 1（23an-2n 14）
=-23（-1）n·（an-3n 21）=-23bn，
又b1=-（λ 18），所以当λ=-18时，bn=0（n∈N*），此时{bn}不是等比数列；当λ≠-18时，b1=-（λ 18）≠0，由bn 1=-23bn，可知bn≠0，所以bn 1bn=-23（n∈N*）.
故当λ≠-18时，数列{bn}是以-（λ 18）为首项，-23为公比的等比数列.
综上知，当λ=-18时，数列{bn}不是等比数列；
当λ≠-18时，数列{bn}是以-（λ 18）为首项，-23为公比的等比数列.
评注：目标意识与解题思路相辅相成，有了解题目标，才能在目标意识下催生解题思路.
第二，要有求简意识
求简，是数学解题的一种最高境界.求简意识，不仅能优化我们的思维，更能使我们的解题快速有效.我们知道，有些简答题的解法不唯一，如果选择方法不当，再加上考试时心情紧张，往往使计算无法进行到底.如何求简，归根到底是学会转化，如数形转化、换元转化、整体转化等.
例3已知4x-3y 12=0，
则F=（x-1）2 （y 2）2的最小值为.
解析：这是一道在对x、y进行约束的条件下求解含有根式的函数极值的问题.通过对函数解析式及约束条件的分析，我们很快就可以得到：
F=（x-1）2 （y 2）2的最小值的几何含义是：直线l：4x-3y 12=0上的任意一点A（x，y）与点B（1，-2）间的距离的最小值.
因此函数F=（x-1）2 （y 2）2的最小值也就是点B到直线l的距离，
即Fmin=d=|4×1-3×（-2） 12|5=225.
评注：作为填空题，最忌“小题大做”.解题时我们应抓住问题的本质，挖掘问题的内涵，尤其要注意数与形之间的联系.
例4在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2 y2-8x 15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是.
解析：一般解法如下：
设P（x0，kx0-2）是直线y=kx-2上一点，
以P为圆心，1为半径的圆方程为（x-x0）2 （y-kx0 2）2=1.
因为它与圆C：（x-4）2 y2=1有公共点，所以两圆相交，
从而有（x0-4）2 （kx0-2）2≤4，即（1 k2）x20-（4k 8）x0 16≤0有解，
所以Δ=（4k 8）2-64（1 k2）≥0，
化简得3k2-4k≤0，解得0≤k≤43.所以k的最大值为43.
倘若我们能抓住问题的本质，从数形结合角度考虑，就会得到如下优美解法：
圆C：（x-4）2 y2=1，如图，直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到y=kx-2的距离小于或等于2即可，
∴|4k-2|1 k2≤20≤k≤43.∴kmax=43. 评注：挖掘原问题的几何意义，往往能使我们豁然开朗.数形结合，是简化解题过程的最有效的途径之一.
第三，要有转化意识
数学问题的求解，离不开逻辑变换的转化.而巧妙的转化可以给解题开辟途径，达到化难为易的目的.因此，掌握各类问题的转化变换方法，是提高观察条件、分析题意和提高解题能力的重要手段.
例5已知函数f（x）=4x k2x 14x 2x 1，若对于任意实数x1，x2，x3，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，则实数k的取值范围是.
解析：本题虽然没有出现“恒成立”的字样，却是一个函数隐性恒成立问题，根据条件对任意x1，x2，x3，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，则必有fmax（x）<2fmin（x），于是转化为函数的最值问题.
f（x）=1 2x（k-1）4x 2x 1=1 k-12x 2-x 1，且2x 2-x≥2（当仅当x=0时等号成立）.
故当k>1时1
例6已知函数f（x）=（13）x，x∈[-1，1]，函数g（x）=f2（x）-2af（x） 3的最小值为h（a）.
（1）求h（a）；
（2）是否存在实数m、n，同时满足以下条件：
①m>n>3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2].若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由.
解析：（1）由f（x）=（13）x的单调性可求出f（x）的值域，g（x）是以f（x）为变元的二次函数，令t=（13）x，可求关于t的二次函数的最小值h（a）.
因为x∈[-1，1]，所以（13）x∈[13，3].
设（13）x=t，t∈[13，3]，则g（x）=φ（t）=t2-2at 3=（t-a）2 3-a2.
当a<13时，h（x）=φ（13）=289-23a；
当13≤a≤3时，h（a）=φ（a）=3-a2；
当a>3时，h（a）=φ（3）=12-6a.
所以h（a）=289-2a3（a<13）3-a2（13≤a≤3）12-6a（a>3）.
（2）由（1）知当m>n>3时h（a）的表达式，考察h（a）在[n，m]上的单调性，结合其值域[n2，m2]，可列出关于m，n的方程组求解m，n，如果有解则所求实数m，n存在，否则不存在.
因为m>n>3，a∈[n，m]，所以h（a）=12-6a.
因为h（a）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，且h（a）为减函数，
所以12-6m=n212-6n=m2，两式相减得6（m-n）=（m-n）（m n），
因为m>n，所以m-n≠0，
故有m n=6，但这与“m>n>3”矛盾，故满足条件的实数m，n不存在.
评注：求解本题关键在于利用换元的思想方法，将原问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，然后通过分类讨论求出函数的最值.对于存在性问题，往往是首先假设符合条件的参数存在，然后根据给出的条件进行推理求解，若不能推出矛盾，则说明符合要求的参数存在，否则说明符合要求的参数不存在.
第四，要有反思意识
俗话说：“人非圣贤，孰能无过”.在解题的过程中，谁都可能会出现这样或那样的错误，因此在解完一道题后就很有必要审查自己的解题是否混淆了概念，是否忽视了隐含条件，是否特殊代替一般，是否忽视特例，逻辑上是否有问题，运算是否正确等.这样做是为了保证解题无误，这是解题后最基本的要求.因此，在解题的同时，我们应及时反思，在反思中提高解题的准确率.
例7两个等差数列{an}，{bn}，a1 a2 … anb1 b2 … bn=7n 2n 3，则a5b5=.
错解：因为a1 a2 … anb1 b2 … bn=7n 2n 3，因此，可设
a1 a2 … an=Sn，b1 b2 … bn=Tn，于是Sn=7n 2，Tn=n 3，
∴a5=S5-S4=（7×5 2）-（7×4 2）=7，b5=T5-T4=（5 3）-（4 3）=1，
故a5b5=71=7.
反思：错解中的设法，表明了数列{an}和{bn}的前n次项都是n的一次式，而等差数列{an}的前n项和：Sn=na1 n（n-1）2d=d2n2 （a1-d2）n，其中d为公差，令d2=a，（a1-d2）=b，则等差数列前n项和的公式：Sn=an2 bn.只有当等差数列是常数列，即公差d=0时，才能将其前n项的和设为Sn=an b的形式，而本题没有这样的条件.因此只能得Sn=an2 bn的二次式，这种解法犯了偷换题设的错误，其原因在于对等差数列的前n项和公式的特征认识不到位.
正解：a5b5=2a52b5=a1 a9b1 b9=9（a1 a9）29（b1 b9）2=S9T9=6512.
评注：此法很简洁明快，给人耳目一新，其实此法巧妙利用等差数列的性质，将等差数列的通项公式与前n项和Sn联系起来，在已知和未知之间架起了桥梁.
例8已知a>0，b>0，a b=1，求（a 1a）2 （b 1b）2的最小值.
错解：由（a 1a）2 （b 1b）2=a2 b2 1a2 1b2 4≥2ab 2ab 4≥4ab·1ab 4=8，
于是，（a 1a）2 （b 1b）2的最小值是8.
反思：利用基本不等式求最值，必须注意等号能否取到.错解两次利用基本不等式，等号分别在a=1，b=1时取到，此时a b=2，与题设a b=1矛盾，故等号不能同时取到.
正解：（a 1a）2 （b 1b）2
=a2 b2 1a2 1b2 4
=（a2 b2） （1a2 1b2） 4
=[（a b）2-2ab] [（1a 1b）2-2ab] 4
=（1-2ab）（1a2b2-2ab） 4
由ab≤（a b2）2=14，得1-2ab≥1-12=12，且1a2b2≥16，1 1a2b2≥17.
∴原式≥12×17 4=252（当且仅当a=b=12时，等号成立），
∴（a 1a）2 （b 1b）2的最小值是252.
评注：利用基本不等式时，必须要注意解答过程是否满足“一正二定三相等”，尤其是在多次应用基本不等式时更要关注这个“易错点”.
（作者：邵红，太仓市教师发展中心）