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摘 要：课堂是数学学习的主阵地，而一节课的效果如何主要通过反馈练习检测，反馈练习的设计优劣决定了能否真实检测学生学习情况，本文将针对反馈练习的出题思路展开讨论。
关键词：数学学习；反馈练习；解题能力
课堂是数学学习的主阵地，学生每节课下来，都会有好多疑惑，甚至有些知识是曲解。所以教师应该通过自身经验和手段及时发现学生存在的问题，并给予解决。这里所讲的“手段”主要是反馈练习。反馈练习能否真实检测学生学习情况，取决于反馈练习的出题思路。由于课堂时间有限，教师必须严格对题目进行精心筛选，反复斟酌。只有这样才能够真实检测学生学习情况和达到巩固知识的目的。那么如何设计课堂检测练习呢？首先我们要紧紧围绕本节课的学习目标，其次充分挖掘例题内涵并对例题进行仔细推敲和延伸，以此才能达到巩固所学知识，拓展和提升学生的思维的目的。本文向大家介绍，从例题出发设计反馈练习题的几种思路。
一、 更改试题数据
更改试题数据是指对题目中的重要数据进行更改，以至于在解题技巧、方法、思想上进行新的调整。
例：已知等差数列an，bn的前nSnTn=7n 45n 3，项和分别为Sn，Tn，求a7b7的值。
解：由公式anbn=S2n-1T2n-1知，a7b7=172。
练习题：已知等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，SnTn=7n 45n 3，求a6b7值。
解：∵数列an，bn都是等差数列，从而令Sn=kn（7n 45），Tn=kn（n 3），其中k为常数。则a6=S6-S5=122k，b7=T7-T6=16k，∴a6b7=618.
点评：检测题改变数字不仅对结果有影响，原题的解题方法也不再适应。
二、 变换试题结构
变换试题结构是指根据原题的结构，通过对比进行相似的结构变换或调整，使得题目考查范围更全面。
例：已知函数f（x）=x3-2x2 4x-9，x∈[3，8].函数g（x）=x2 alnx，x∈[4，12]，
若x1∈[3，8]，x2∈[4，12]，使得f（x1）≤g（x2），求参数a的取值范围。
本题主要考察了函数最值之间的关系，对于本题我们只要使得x1∈[3，8]，x2∈[4，12]，f（x1）min≤g（x2）max即可。从本题结构看，我们可以对条件“x1∈[3，8]，x2∈[4，12]，使得f（x1）≤g（x2）”进行适当变式如下：
练习题1：若x1∈[3，8]，x2∈[4，12]，使得f（x1）≤g（x2），求參数a的取值范围。
练习题2：若x1∈[3，8]，x2∈[4，12]，使得f（x1）≤g（x2），求参数a的取值范围。
练习题3：若x1∈[3，8]，x2∈[4，12]，使得f（x1）≤g（x2），求参数a的取值范围。
不难得知，检测题1的等价命题“x1∈[3，8]，x2∈[4，12]，f（x1）max≤g（x2）min”
检测题2的等价命题“x1∈[3，8]，x2∈[4，12]，f（x1）max≤g（x2）max” 检测题3的等价命题“x1∈[3，8]，x2∈[4，12]，f（x1）min≤g（x2）min”。
点评：通过检测题1-检测题3，学生对此问题有了更深刻更全面的认识，拓展和提升了思维。
三、 弱化试题条件
弱化试题条件是指将试题的条件减弱，使试题结论更具有广泛性。
例：已知函数f（x）=2x2 ax-3在区间2，4上单调递增，求实数a的取值范围。
解：由题意可知，只要函数对称轴x=-a4≤2，即a≥-8即可。
练习题：已知函数f（x）=2x2 ax-3在区间2，4上具有单调性，求实数a的取值范围。
解：由题意可知，只要函数对称轴x=-a4≤2或x=-a4≥4，从而a≥-8或a≤-16。
点评：函数在区间2，4上具有单调性，则函数可能单増也可能单减，通过弱化条件使问题考查更全面。
四、 强化试题结论
强化试题结论是指在原题基础上，深化问题使得所求问题更加具体。
例：求函数y=cos2x-3sin2x 1的单调减区间。
解：y=cos2x-3sin2x 1=2sinπ6-2x 1=-2sin2x-π6 1
从而原函数的减区间即是函数y=sin2x-π6的增区间，
令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ π2，k∈Z，从而kπ-π6≤x≤kπ π3，k∈Z
故原函数的单调减区间为xkπ-π6≤x≤kπ π3，k∈Z
练习题：求函数y=cos2x-3sin2x 1在区间0，π上的单调减区间。
解：从原题可知函数的单调减区间为xkπ-π6≤x≤kπ π3，k∈Z。
令k=0，此时在0，π上的单减区间为0，π3；
令k=1，此时在0，π上的单减区间为5π6，π；
所以，函数在区间0，π上的单调减区间为0，π3，5π6，π。
点评：练习题是求函数在一个具体区间上的单调区间，是原题的具体化。这里一定要注意所求区间全面，区间之间不能用并集符号。
五、 设置试题误区
设置试题误区是指通过研究题目条件，更改题目的某些条件，使得题意具有不确定性。
例：求曲线f（x）=x3-2x在点（1，-1）处的切线方程.
解：∵f′（x）=3x2-2，∴k=f′（1）=1，∴切线方程为x-y-2=0。
练习题：求过曲线f（x）=x3-2x上的点（1，-1）的切线方程。
解：设p（x0，y0）为切点，则切线的斜率为f′（x0）=3x02-2
∴切线方程为y-y0=（3x0-2）（x-x0），即y-（x03-2x0）=（3x02-2）（x-x0）。
又知切线过点（1，-1），把它代入上述方程，得
-1-（x03-2x0）=（3x02-2）（1-x0），整理，得（x0-1）2（2x0 1）=0，
解得x0=1或x0=-12。故所求切线方程为x-y-2=0，或5x 4y-1=0。
点评：原题中（1，-1）是切点，而变式中（1，-1）则不一定是切点。
六、 添加未知参数
添加未知参数是指通过对原题研究，适当添加未知参数，使得问题复杂化情况多样化。
例：已知函数f（x）=log2（x2-x），求函数的单调增区间。
解：令g（x）=x2-x，只需求解g（x）>0时的增区间即可。
练习题：已知函数f（x）=loga（ax2-x）在（3，4）上单调递增，求实数a的取值范围。
解：令g（x）=ax2-x从而有以下两种情况：
（i）a>1
g（3）≥0
12a≤3
（ii）0 g（4）≥0，
12a≥4
点评：通过增加未知参数，使问题复杂化，增加题目讨论情况。
在数学教学中，设计反馈练习题若能从课堂例题出发，对例题充分挖掘和适当改变，那么更能检测出学生课堂掌握的真实情况，改变学生的机械模仿，有效避免题目误区。同时有利于学生深刻理解知识本质，找到题目突破口，使学生的分析和解决问题能力得到进一步提高和优化。
参考文献：
[1]张志淼.数学学习与数学思想方法[M].郑州大学出版社，2006-6-1.
[2]杨连兵.浅谈高中数学思维方式[J].现代阅读（教育版），2012（19），3-10.
作者简介：
王强，中学高级，江苏省徐州市，徐州经济技术开发区高级中学。
关键词：数学学习；反馈练习；解题能力
课堂是数学学习的主阵地，学生每节课下来，都会有好多疑惑，甚至有些知识是曲解。所以教师应该通过自身经验和手段及时发现学生存在的问题，并给予解决。这里所讲的“手段”主要是反馈练习。反馈练习能否真实检测学生学习情况，取决于反馈练习的出题思路。由于课堂时间有限，教师必须严格对题目进行精心筛选，反复斟酌。只有这样才能够真实检测学生学习情况和达到巩固知识的目的。那么如何设计课堂检测练习呢？首先我们要紧紧围绕本节课的学习目标，其次充分挖掘例题内涵并对例题进行仔细推敲和延伸，以此才能达到巩固所学知识，拓展和提升学生的思维的目的。本文向大家介绍，从例题出发设计反馈练习题的几种思路。
一、 更改试题数据
更改试题数据是指对题目中的重要数据进行更改，以至于在解题技巧、方法、思想上进行新的调整。
例：已知等差数列an，bn的前nSnTn=7n 45n 3，项和分别为Sn，Tn，求a7b7的值。
解：由公式anbn=S2n-1T2n-1知，a7b7=172。
练习题：已知等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，SnTn=7n 45n 3，求a6b7值。
解：∵数列an，bn都是等差数列，从而令Sn=kn（7n 45），Tn=kn（n 3），其中k为常数。则a6=S6-S5=122k，b7=T7-T6=16k，∴a6b7=618.
点评：检测题改变数字不仅对结果有影响，原题的解题方法也不再适应。
二、 变换试题结构
变换试题结构是指根据原题的结构，通过对比进行相似的结构变换或调整，使得题目考查范围更全面。
例：已知函数f（x）=x3-2x2 4x-9，x∈[3，8].函数g（x）=x2 alnx，x∈[4，12]，
若x1∈[3，8]，x2∈[4，12]，使得f（x1）≤g（x2），求参数a的取值范围。
本题主要考察了函数最值之间的关系，对于本题我们只要使得x1∈[3，8]，x2∈[4，12]，f（x1）min≤g（x2）max即可。从本题结构看，我们可以对条件“x1∈[3，8]，x2∈[4，12]，使得f（x1）≤g（x2）”进行适当变式如下：
练习题1：若x1∈[3，8]，x2∈[4，12]，使得f（x1）≤g（x2），求參数a的取值范围。
练习题2：若x1∈[3，8]，x2∈[4，12]，使得f（x1）≤g（x2），求参数a的取值范围。
练习题3：若x1∈[3，8]，x2∈[4，12]，使得f（x1）≤g（x2），求参数a的取值范围。
不难得知，检测题1的等价命题“x1∈[3，8]，x2∈[4，12]，f（x1）max≤g（x2）min”
检测题2的等价命题“x1∈[3，8]，x2∈[4，12]，f（x1）max≤g（x2）max” 检测题3的等价命题“x1∈[3，8]，x2∈[4，12]，f（x1）min≤g（x2）min”。
点评：通过检测题1-检测题3，学生对此问题有了更深刻更全面的认识，拓展和提升了思维。
三、 弱化试题条件
弱化试题条件是指将试题的条件减弱，使试题结论更具有广泛性。
例：已知函数f（x）=2x2 ax-3在区间2，4上单调递增，求实数a的取值范围。
解：由题意可知，只要函数对称轴x=-a4≤2，即a≥-8即可。
练习题：已知函数f（x）=2x2 ax-3在区间2，4上具有单调性，求实数a的取值范围。
解：由题意可知，只要函数对称轴x=-a4≤2或x=-a4≥4，从而a≥-8或a≤-16。
点评：函数在区间2，4上具有单调性，则函数可能单増也可能单减，通过弱化条件使问题考查更全面。
四、 强化试题结论
强化试题结论是指在原题基础上，深化问题使得所求问题更加具体。
例：求函数y=cos2x-3sin2x 1的单调减区间。
解：y=cos2x-3sin2x 1=2sinπ6-2x 1=-2sin2x-π6 1
从而原函数的减区间即是函数y=sin2x-π6的增区间，
令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ π2，k∈Z，从而kπ-π6≤x≤kπ π3，k∈Z
故原函数的单调减区间为xkπ-π6≤x≤kπ π3，k∈Z
练习题：求函数y=cos2x-3sin2x 1在区间0，π上的单调减区间。
解：从原题可知函数的单调减区间为xkπ-π6≤x≤kπ π3，k∈Z。
令k=0，此时在0，π上的单减区间为0，π3；
令k=1，此时在0，π上的单减区间为5π6，π；
所以，函数在区间0，π上的单调减区间为0，π3，5π6，π。
点评：练习题是求函数在一个具体区间上的单调区间，是原题的具体化。这里一定要注意所求区间全面，区间之间不能用并集符号。
五、 设置试题误区
设置试题误区是指通过研究题目条件，更改题目的某些条件，使得题意具有不确定性。
例：求曲线f（x）=x3-2x在点（1，-1）处的切线方程.
解：∵f′（x）=3x2-2，∴k=f′（1）=1，∴切线方程为x-y-2=0。
练习题：求过曲线f（x）=x3-2x上的点（1，-1）的切线方程。
解：设p（x0，y0）为切点，则切线的斜率为f′（x0）=3x02-2
∴切线方程为y-y0=（3x0-2）（x-x0），即y-（x03-2x0）=（3x02-2）（x-x0）。
又知切线过点（1，-1），把它代入上述方程，得
-1-（x03-2x0）=（3x02-2）（1-x0），整理，得（x0-1）2（2x0 1）=0，
解得x0=1或x0=-12。故所求切线方程为x-y-2=0，或5x 4y-1=0。
点评：原题中（1，-1）是切点，而变式中（1，-1）则不一定是切点。
六、 添加未知参数
添加未知参数是指通过对原题研究，适当添加未知参数，使得问题复杂化情况多样化。
例：已知函数f（x）=log2（x2-x），求函数的单调增区间。
解：令g（x）=x2-x，只需求解g（x）>0时的增区间即可。
练习题：已知函数f（x）=loga（ax2-x）在（3，4）上单调递增，求实数a的取值范围。
解：令g（x）=ax2-x从而有以下两种情况：
（i）a>1
g（3）≥0
12a≤3
（ii）0
12a≥4
点评：通过增加未知参数，使问题复杂化，增加题目讨论情况。
在数学教学中，设计反馈练习题若能从课堂例题出发，对例题充分挖掘和适当改变，那么更能检测出学生课堂掌握的真实情况，改变学生的机械模仿，有效避免题目误区。同时有利于学生深刻理解知识本质，找到题目突破口，使学生的分析和解决问题能力得到进一步提高和优化。
参考文献：
[1]张志淼.数学学习与数学思想方法[M].郑州大学出版社，2006-6-1.
[2]杨连兵.浅谈高中数学思维方式[J].现代阅读（教育版），2012（19），3-10.
作者简介：
王强，中学高级，江苏省徐州市，徐州经济技术开发区高级中学。