例谈与外心相关向量问题的解题策略

• 作 者: 肖世华
• 出 处: 数理化学习·高一二版
• 发表日期: 2014年8期
• 关键词: 向量 直角三角形 最小值 平行四边形 正弦定理 垂直 分解法 中点 图形 题目 解析 垂足 策略

　　题目：已知O为三角形ABC的外心， AB=c，
　　AC=b，∠BAC=120°，若
　　AO=xAB+yAC，则x+y的最小值为 .
　　策略一 分解法
　　图1
　　解析1：如图1，过O点作OF平行AC、OG平行于AB分别交AB、AC于F、G，过O作OD垂直于AC、作OE垂直于AB，垂足分别为D、E，显然D、E为AC、AB的中点；设
　　∠AOF=θ∠OAG=θ，AO=R，因为∠BAC=120°，所以
　　∠AFO=60°，∠FAO=120°-θ
　　，在直角三角形AOD中AD=
　　RcosθRcosθ=b2，同理
　　Rcos（120°-θ）=
　　c2R（-12
　　cosθ+32sinθ）=
　　c2，可得Rsinθ=
　　2c+b23，在三角形AOF中由正弦定理可得
　　Rsin60°=
　　AFsinθAF=
　　23Rsinθ=
　　2c+b3
　　；同理可求
　　AG=2b+c3；由平行四边形AFOG可得
　　AO=AF+AG，结合
　　AO=xAB+yAC可得
　　AF=xAB，
　　AG=yAC，根据图形可知
　　x=|AF||AB|=
　　2c+b3c，
　　y=|AG||AC|=2b+c3b，从而
　　x+y=43+
　　（c3b+b3c）≥
　　43+23=2，当且仅当
　　b=c时x+y取得最小值2.
　　策略二 数量积法
　　图2
　　解析2：如图2，过外心O作AB的垂线，垂足为D，显然D为AB的中点，所以
　　AB·AO=
　　AB·（AD+DO）=
　　AB·AD=
　　12c2，同理可得
　　AC·AO
　　=12b2；在
　　AO=
　　xAB+yAC两边同乘
　　AB可得
　　AB·AO=
　　x|AB|2+yAB·AC
　　12c2=xc2-12bcy，化简可得
　　2cx-by=c（1）；同理在
　　AO=xAB+y
　　AC两边同乘
　　AC可得
　　-cx+2by=b （2）
　　；由（1）（2）组成的方程组可得
　　x=2c+b3c，y=2b+c3b从而
　　x+y=
　　43+
　　（c3b+b3c）
　　≥43+23=2，当且仅当
　　b=c时
　　x+y取得最小值2.
　　策略三 坐标法
　　图3
　　解析3：如图3，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立如图3所示的直角坐标系.则A（0，0），B（2a，0），C（-12a，
　　3a）.
　　因为O为三角形ABC的外心，所以O在AB的中垂线
　　m：x=a上，又在AC的中垂线
　　n：y-32a
　　=33
　　（x+12a）上，联立方程组可得
　　O（a，3a3+
　　233a），由条件
　　AO=xAB+yAC
　　可得
　　（a，3a3
　　+233a
　　）=x（2a，0）+y（-1a
　　，3a）
　　a=2ax-ya
　　3a3
　　+233a
　　=3ya
　　x=
　　23
　　+13a2，
　　y=a23
　　+23.
　　所以 x+y=43+
　　13
　　（a2+1a2）≥2.当且仅当a=1时取等号.
　　练习：
　　1.已知O为三角形ABC的外心， AB=2，AC=1，
　　∠BAC=120°，若
　　AO=mAB+nAC，则
　　m+n= .（答案为136）.
　　2.已知O为锐角三角形ABC的外接圆的圆心，且
　　∠A=θ，若
　　cosBsinCAB
　　+cosCsinB
　　AC=2mAO，
　　m= （用θ表示）（答案为sinθ）