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立体几何既是高中数学的重要内容之一，又是热点之一.几乎每年都会出一道大题、一道小题或两道小题．有关立体几何的高考题，主要涉及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定，空间角和距离的计算，多面体和旋转体的表面积、体积及有关截面问题的探求．立体几何能培养我们的空间想象能力、逻辑思维能力以及运用数学思想方法的能力，特别在运用转化思想解决问题方面起着独到的作用．高考复习中，我们应当深刻理解有关概念和性质，加强数学思想方法的挖掘和运用，以提高复习的针对性和实效性．下面我们将“立体几何”在2007年全国各地高考试卷中的命题点和命题思路作一分析，供大家在高考复习中参考.
1.空间线线关系、线面关系、面面关系
【评析】 本题考查空间线面平行和垂直的判断和性质.①√ ②× ③× ④√ 选C
【例2】 （2007年山东文科卷）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC.（1）求证：D1C⊥AC1；（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．
2.球与多面体、组合体
a)在多面体内考查线面平行和垂直.如浙江卷19，江西卷20.
【例3】 （2007年高考江西文科卷）右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1=B1C1=1，∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3．
(1)设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；
解法一：（1）证明：作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D．
则OD∥BB1∥CC1,因为O是AB的中点，
所以OD=12(AA1+BB1)=3=CC1．则ODC1C是平行四边形，
因此有OC∥C1D，C1D平面C1B1A1，且OC平面C1B1A1
则OC∥平面A1B1C1．
【评析】 本题是非规则体，考查线面平行既可用传统方法，也可用向量法，体现了立几解答题兼顾（A）、（B）两种版本教材的命题思路，值得重视.
b)在多面体内考查空间角和距离.如四川卷4，湖南卷18，天津卷19.
【例4】 （2007年天津理科卷）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明CD⊥AE；（Ⅱ）证明PD⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小．
【评析】 本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
c)考查球及组合体的表面积、截面积、体积.如天津卷12，全国卷2，辽宁卷15.
【例5】 （2007年江西理科卷）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）.
Ａ．h2＞h1＞h4 Ｂ．h1＞h2＞h3
Ｃ．h3＞h2＞h4Ｄ．h2＞h4＞h1
【简解】 作每个几何体的中截面，分析每个几何体上下两部分体积的关系可知S4＜S1＜S3＜S2 ∴h2＞h3＞h1＞h4，选A.
3．空间角
a)以规则体（棱锥、棱柱）考查空间角.如全国卷7，江西卷16，全国卷2，江苏卷18，山东卷19.
【例6】 （2007年高考全国文科卷Ⅰ）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）.
Ａ．15Ｂ．25
Ｃ．35Ｄ．45
【答案】 D
【例8】 （2007年浙江理科卷）在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．
（Ⅰ）求证：CM⊥EM；
（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．
【评析】 本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．
4．空间距离
a)点面距离.如湖北卷5，江苏卷14，辽宁卷18，福建卷18，陕西卷7.
【例9】 （2007年湖北文科卷）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为棱AA1,BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ(0≤λ≤1)．则点G到平面D1EF的距离为（）.
Ａ．3Ｂ．22
Ｃ．2λ2Ｄ．55
【答案】 D
b)线线距离或异面直线距离.如陕西，理10、重庆，理19.
【例10】 （2007年高考陕西理科卷）已知平面α∥平面β，直线mα,，直线β，点A∈m，点B∈n，记点A,B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（）.
A．b≤c≤aB．a≤c≤b
C．c≤a≤bD．c≤b≤a
【答案】 A
c)球面距离.（如四川，理6、福建，理10、江西，文9）
【例11】 （2007年高考江西文科卷）四面体ABCD的外接球球心在CD上，且CD=2，AD=3，在外接球面上两点A,B间的球面距离是（）.
Ａ．π6 Ｂ．π3 Ｃ．2π3 Ｄ．5π6
【答案】 C
5．空间三视图
【例12】 （2007年高考山东卷）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）.
A．①②B．①③
C．①④D．②④
【评析】 圆锥体和正四棱锥的主视图、左视图都是等腰三角形.选D
6．立体几何与空间向量
立体几何的综合试题一般用两个方法都可解答，难易程度也相差无几.并不是学了空间向量的同学就有绝对优势，纯几何的方法和空间向量的方法，这两个思维方式是不同的，所以有些学过空间向量的同学就觉得好像负担又重了.值得关注的是，学B版的同学切忌学成“两不像”，三段论会，空间向量也会一点，但是都没学通，这样就得不偿失了.所以在高考复习阶段，学B版的一定要选择好自己的方向.如果向量方法掌握得好，就把它掌握得更好，如果学不好，就好好学纯几何的思维.
7．关注社会热点，联系生活实际，考查应用能力
立体几何应用题也是近三年各地高考卷中出现频率较高的试题之一.如湖南理科卷19题.
【例13】 （2007年高考湖南理科卷）如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（0°＜θ＜90°），且sinθ=25，点P到平面α的距离PH=0.4（km）．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用．从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为a2万元/km．当山坡上公路长度为l km（1≤l≤2）时，其造价为(l2+1)a万元．已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5(km)，OA=3(km)．
（Ⅰ）在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小．
（Ⅲ）在AB上是否存在两个不同的点D′,E′，使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于（Ⅱ）中得到的最小总造价，证明你的结论．
【评析】 本题是一道难得的好题，在函数、不等式、导数等知识的交汇处命题，考查学生综合应用知识的能力.
【作者单位：华中科技大学附中】
责任编辑：苏京燕
1.空间线线关系、线面关系、面面关系
【评析】 本题考查空间线面平行和垂直的判断和性质.①√ ②× ③× ④√ 选C
【例2】 （2007年山东文科卷）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC.（1）求证：D1C⊥AC1；（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．
2.球与多面体、组合体
a)在多面体内考查线面平行和垂直.如浙江卷19，江西卷20.
【例3】 （2007年高考江西文科卷）右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1=B1C1=1，∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3．
(1)设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；
解法一：（1）证明：作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D．
则OD∥BB1∥CC1,因为O是AB的中点，
所以OD=12(AA1+BB1)=3=CC1．则ODC1C是平行四边形，
因此有OC∥C1D，C1D平面C1B1A1，且OC平面C1B1A1
则OC∥平面A1B1C1．
【评析】 本题是非规则体，考查线面平行既可用传统方法，也可用向量法，体现了立几解答题兼顾（A）、（B）两种版本教材的命题思路，值得重视.
b)在多面体内考查空间角和距离.如四川卷4，湖南卷18，天津卷19.
【例4】 （2007年天津理科卷）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明CD⊥AE；（Ⅱ）证明PD⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小．
【评析】 本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
c)考查球及组合体的表面积、截面积、体积.如天津卷12，全国卷2，辽宁卷15.
【例5】 （2007年江西理科卷）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）.
Ａ．h2＞h1＞h4 Ｂ．h1＞h2＞h3
Ｃ．h3＞h2＞h4Ｄ．h2＞h4＞h1
【简解】 作每个几何体的中截面，分析每个几何体上下两部分体积的关系可知S4＜S1＜S3＜S2 ∴h2＞h3＞h1＞h4，选A.
3．空间角
a)以规则体（棱锥、棱柱）考查空间角.如全国卷7，江西卷16，全国卷2，江苏卷18，山东卷19.
【例6】 （2007年高考全国文科卷Ⅰ）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）.
Ａ．15Ｂ．25
Ｃ．35Ｄ．45
【答案】 D
【例8】 （2007年浙江理科卷）在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．
（Ⅰ）求证：CM⊥EM；
（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．
【评析】 本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．
4．空间距离
a)点面距离.如湖北卷5，江苏卷14，辽宁卷18，福建卷18，陕西卷7.
【例9】 （2007年湖北文科卷）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为棱AA1,BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ(0≤λ≤1)．则点G到平面D1EF的距离为（）.
Ａ．3Ｂ．22
Ｃ．2λ2Ｄ．55
【答案】 D
b)线线距离或异面直线距离.如陕西，理10、重庆，理19.
【例10】 （2007年高考陕西理科卷）已知平面α∥平面β，直线mα,，直线β，点A∈m，点B∈n，记点A,B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（）.
A．b≤c≤aB．a≤c≤b
C．c≤a≤bD．c≤b≤a
【答案】 A
c)球面距离.（如四川，理6、福建，理10、江西，文9）
【例11】 （2007年高考江西文科卷）四面体ABCD的外接球球心在CD上，且CD=2，AD=3，在外接球面上两点A,B间的球面距离是（）.
Ａ．π6 Ｂ．π3 Ｃ．2π3 Ｄ．5π6
【答案】 C
5．空间三视图
【例12】 （2007年高考山东卷）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）.
A．①②B．①③
C．①④D．②④
【评析】 圆锥体和正四棱锥的主视图、左视图都是等腰三角形.选D
6．立体几何与空间向量
立体几何的综合试题一般用两个方法都可解答，难易程度也相差无几.并不是学了空间向量的同学就有绝对优势，纯几何的方法和空间向量的方法，这两个思维方式是不同的，所以有些学过空间向量的同学就觉得好像负担又重了.值得关注的是，学B版的同学切忌学成“两不像”，三段论会，空间向量也会一点，但是都没学通，这样就得不偿失了.所以在高考复习阶段，学B版的一定要选择好自己的方向.如果向量方法掌握得好，就把它掌握得更好，如果学不好，就好好学纯几何的思维.
7．关注社会热点，联系生活实际，考查应用能力
立体几何应用题也是近三年各地高考卷中出现频率较高的试题之一.如湖南理科卷19题.
【例13】 （2007年高考湖南理科卷）如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（0°＜θ＜90°），且sinθ=25，点P到平面α的距离PH=0.4（km）．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用．从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为a2万元/km．当山坡上公路长度为l km（1≤l≤2）时，其造价为(l2+1)a万元．已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5(km)，OA=3(km)．
（Ⅰ）在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小．
（Ⅲ）在AB上是否存在两个不同的点D′,E′，使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于（Ⅱ）中得到的最小总造价，证明你的结论．
【评析】 本题是一道难得的好题，在函数、不等式、导数等知识的交汇处命题，考查学生综合应用知识的能力.
【作者单位：华中科技大学附中】
责任编辑：苏京燕