论文部分内容阅读
摘 要：求异思维是一种创造性的思维，侧重学生思路的开阔，启发他们联想，使学生全面考虑问题，有利于提高学生的变通性，培养学生创新意识.文章从加强逆向思维训练、精心设计练习、鼓励创造思维、倡导一题多解与多变和教会学生求异方法等方面进行了研究与总结.
关键词：数学；求异思维；培养路径；研究
新课程理念的不断深入，给现代教学带来了发展机遇，使其更富有活力与神采，同时也给教学工作者带来了巨大的挑战. 这要求教师须打破传统教学的束缚，不但要传授学生知识，更要重视学生能力的发展. 在初中数学教学中，思维能力尤为重要. 培养与训练学生的思维能力，提高他们的数学素养，是数学教学的主要目标. 数学课程标准指出，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上. 教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验.
由思维方向看，其分为发散性思维与集中性思维，也就是求异思维与求同思维. 然而，在当前的数学教学中，教师往往侧重学生求同思维的培养与训练，对学生的求异思维的培养则不够重视. 而求异思维是一种创造性的思维，侧重学生思路的开阔，启发他们联想，有利于促进学生全面考虑问题，提高学生解决问题的变通性，培养学生创新意识，提高学生创造能力. 因此，教师在教学中应因势利导，培养与训练学生的数学求异思维能力，让他们学会多角度、多方面的思考问题，避免单一思维，打破思维定式，学会一题多解，举一反三.
加强逆向思维训练，打破学生思维定式
在数学教学中，训练逆向思维也是培养思维能力的一个主要环节. 通过逆向思维的异常性与反向性训练，有利于学生打破思维定式，做出新发现.在教学过程中，往往运用逆向设问法来培养与训练学生的逆向思维意识，其练习方式包括“反向推想”、”倒过来想”等，从而提高学生的逆向推理能力与思维能力.
例如：“余角、补角”的概念教学时，要求学生由正、逆两方面来进行理解：若∠1+∠2=180°，∠1与∠2则互为补角；若∠1与∠2互为补角，则∠1+∠2=180°. 这样才可使学生理解与掌握“互为补角”这一概念的实质：①∠1与∠2互为补角，则表示∠1为∠2的补角，并且∠2也为∠1的补角；②在互为补角定义中，其范围规定为“两个角”，并不为一个角或两个角以上. 所以，诸如“如果∠1+∠2+∠3的和为180°，那么∠1，∠2与∠3则互为补角”、“∠1为补角”等说法均是不正确的. ③“互为补角”指两角间的数量关系，与两角位置没有关系.这样，学生经过练习，能够逐渐形成逆向思维的良好习惯，从而提高他们的思维能力，有助于他们灵活解答题目.
精心设计练习，强化求异思维的训练
在数学教学中，求异思维能力是通过有目的、有针对性的训练而得以提高的.因此，教师应精心设计数学练习，强化学生的思维训练.
第一、充分发掘与利用教材，发挥教材习题对学生求异思维培养的作用. 同时，结合学生实际，精设课后习题，引导学生运用推理来探求解决问题的不同途径.
第二、强化 “双基”教学，帮助学生牢固、清晰地把握数学基本概念以及解题思路，这是学生求异思维培养的前提所在. 而求同思维又是学生加深知识理解与巩固的不可或缺的过程. 所以，只有基于求同思维，进一步理解与把握数学基本概念与规律，巩固所学知识，奠定良好基础，再由教师的引导与启发，才能点燃学生求异思维的智慧火花.
第三、巧设问题情境，创造求异思维条件. 教师应结合教学实际与学生特点，创设出适宜的问题情境，给学生创造出质疑、独立思考以及发表看法、见解的自由学习时间与空间，从而创造出学生求异思维的条件与时机.
例如：“平行四边形”的教学，学生一般可以理解平行四边形性质的证明过程，而对为何添加辅助线，又如何想到作对角线，则感觉有难度.这主要是思维方面的问题. 学生常只停留于能听懂，却难以内化知识，这就需要教师精心设计情境，向学生充分展现出“把平行四边形转为三角形”问题的过程，说明白辅助线的目的、意义与作用. 这样的教学设计对培养学生的求异思维能力大有裨益.
鼓励创造性思维，发展学生独特性思维能力
创造性思维即对新的事物进行主动发现，而后提出新见解，并解决新问题的思维方式. 对初中生而言，他们的思维是非常活跃的，有时对某一问题的思考也是很独特的. 因而，在教学中，教师应鼓励与肯定学生的创造性思维，培养学生思维的独特性，让学生学会创造性的学习，同时在班上将这一方法介绍给其他学生. 这样不但鼓励与肯定了学生个人，还启发了全班学生.下面就是一些学生创造性地解决问题的例子.
如图1，于△ABC的边BC上分别取D与E两点，CE=BD，连结AE，AD，求证：AE+AD 图1
对于该题，用常规的解法较为烦琐， 一些学生通过独特思维，进行了简洁证明：分别过点E，A作出AC，BC的平行线，这两线相交于点F，AB与EF交于相交于点G，然后连结BF. 那么四边形ACEF为平行四边形;所以AC=FE，CE=AF.
因为CE=BD，所以AF=BD；
又因为BC∥AF，所以四边形ADBF为平行四边形；因此AD=FB.
在△AEG中，AE﹤EG+AG；在△BGF中，BF﹤FG+BG；所以AE+BF﹤EG+AG+FG+BG.
因此AE+AD﹤AC+AB.
倡导一题多解与多变， 促进学生思维变通
求异思维要求学生多角度、多方面的思考问题，因而，在教学过程中，应倡导教师对学生进行一题多解与多变的训练，以发展学生的求异思维. 在习题练习中，应尽量选择具有典型性、代表性的一题多解或多变的习题. 同时，教师注意适时点拨，引导学生思维走向更高、更深层次的发展.
例如：如图2所示，该图形由若干个正方体摆成，每个正方体的体积1为立方厘米，求该图形的体积？
图2
对于该题，其解法是多样的.
方法1：对原图形进行补充，使其变成高为3厘米、宽为4厘米、长为5厘米的长方体，求出其体积，即3×4×5=60（立方厘米）；多补充图形的体积，即3×4×2=24（立方厘米），然后减掉多补充的图形，则为原图形体积. 其结果为：3×4×5-2×3×4×=36（立方厘米）.
方法2：将该图形切为两个长方体，一个高为1厘米、宽3为厘米、长为4厘米；另一个高3厘米、宽2厘米、长4厘米，然后求出它们的体积和.即4×1×3+4×3×2=36（立方厘米）.
方法3：将该图形分成三层，最底层：高1厘米、宽4厘米、长5厘米，得出底层体积：5×4×1=20（立方厘米）. 同样可以得出第一层与二层的体积和：4×2×2=16（立方厘米），然后把三层的体积相加则可获得原图形的体积，即5×4×1+4×2×2=36（立方厘米）.
方法4：由于第一、二层中正方体的总数为4×2×2，即16个；第三层中正方体的数量为5×4，即20个；三层总共有36个正方体，且每个正方体的体积是1立方厘米，然后求出36块正方体的体积. 即1×（4×2×2+5×4）=36（立方厘米）.
教会学生求异方法，提高学生求异思维能力
1. 类比求异法
事物之间既有区别又有联系，同样，对于数学各知识点也是如此. 因而，在数学学习中，教师应指导学生掌握类比求异，即通过类比来找出新知识与旧知识之间的内在联系，以建立起数学新模型，进而解决所求问题.
2. 正向求异法
事物包含正反两面，从不同角度看问题，其结果可能不同. 在求异思维的培养中，正向求异是其方法之一. 正向求异即由问题所给条件来挖掘信息，同时沿正向思维， 把已知的信息与问题外的有关信息相联系，然后进行联想，促进条件转化为结论.
3. 整体求异法
在数学解题过程中，有时从局部入手难以解决问题，那么，则可以从条件的整体特点入手，抓住问题之间的联系，进而解决问题.
4. 构造求异法
构造求异即根据问题中的一致条件与结论，构建一个和条件与结论有关的数学模型，进而顺利解决数学问题. 例如：若sinx+cosx=1，求证：sinnx+cosnx=1. 以常规法解题运算比较复杂，运用构造求异法，则可简化运算. 因为sinx+cosx=1，得出（sinx+cosx）2=1，因而sinx·cosx=0. 根据韦达定理构造方程：y2-y=0， 那么sinx与cosx是方程的两个实根，因而cosx=0，sinx=1或cosx=1，sinx=0，因而sinnx+cosnx=1.
当然，数学教学中，求异解题法远不止这些，还有如数形求异、分类求异、逆向求异等. 教师应指导学生进行灵活运用，从而培养他们的创造性思维、求异思维，提高学生的思维能力.
关键词：数学；求异思维；培养路径；研究
新课程理念的不断深入，给现代教学带来了发展机遇，使其更富有活力与神采，同时也给教学工作者带来了巨大的挑战. 这要求教师须打破传统教学的束缚，不但要传授学生知识，更要重视学生能力的发展. 在初中数学教学中，思维能力尤为重要. 培养与训练学生的思维能力，提高他们的数学素养，是数学教学的主要目标. 数学课程标准指出，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上. 教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验.
由思维方向看，其分为发散性思维与集中性思维，也就是求异思维与求同思维. 然而，在当前的数学教学中，教师往往侧重学生求同思维的培养与训练，对学生的求异思维的培养则不够重视. 而求异思维是一种创造性的思维，侧重学生思路的开阔，启发他们联想，有利于促进学生全面考虑问题，提高学生解决问题的变通性，培养学生创新意识，提高学生创造能力. 因此，教师在教学中应因势利导，培养与训练学生的数学求异思维能力，让他们学会多角度、多方面的思考问题，避免单一思维，打破思维定式，学会一题多解，举一反三.
加强逆向思维训练，打破学生思维定式
在数学教学中，训练逆向思维也是培养思维能力的一个主要环节. 通过逆向思维的异常性与反向性训练，有利于学生打破思维定式，做出新发现.在教学过程中，往往运用逆向设问法来培养与训练学生的逆向思维意识，其练习方式包括“反向推想”、”倒过来想”等，从而提高学生的逆向推理能力与思维能力.
例如：“余角、补角”的概念教学时，要求学生由正、逆两方面来进行理解：若∠1+∠2=180°，∠1与∠2则互为补角；若∠1与∠2互为补角，则∠1+∠2=180°. 这样才可使学生理解与掌握“互为补角”这一概念的实质：①∠1与∠2互为补角，则表示∠1为∠2的补角，并且∠2也为∠1的补角；②在互为补角定义中，其范围规定为“两个角”，并不为一个角或两个角以上. 所以，诸如“如果∠1+∠2+∠3的和为180°，那么∠1，∠2与∠3则互为补角”、“∠1为补角”等说法均是不正确的. ③“互为补角”指两角间的数量关系，与两角位置没有关系.这样，学生经过练习，能够逐渐形成逆向思维的良好习惯，从而提高他们的思维能力，有助于他们灵活解答题目.
精心设计练习，强化求异思维的训练
在数学教学中，求异思维能力是通过有目的、有针对性的训练而得以提高的.因此，教师应精心设计数学练习，强化学生的思维训练.
第一、充分发掘与利用教材，发挥教材习题对学生求异思维培养的作用. 同时，结合学生实际，精设课后习题，引导学生运用推理来探求解决问题的不同途径.
第二、强化 “双基”教学，帮助学生牢固、清晰地把握数学基本概念以及解题思路，这是学生求异思维培养的前提所在. 而求同思维又是学生加深知识理解与巩固的不可或缺的过程. 所以，只有基于求同思维，进一步理解与把握数学基本概念与规律，巩固所学知识，奠定良好基础，再由教师的引导与启发，才能点燃学生求异思维的智慧火花.
第三、巧设问题情境，创造求异思维条件. 教师应结合教学实际与学生特点，创设出适宜的问题情境，给学生创造出质疑、独立思考以及发表看法、见解的自由学习时间与空间，从而创造出学生求异思维的条件与时机.
例如：“平行四边形”的教学，学生一般可以理解平行四边形性质的证明过程，而对为何添加辅助线，又如何想到作对角线，则感觉有难度.这主要是思维方面的问题. 学生常只停留于能听懂，却难以内化知识，这就需要教师精心设计情境，向学生充分展现出“把平行四边形转为三角形”问题的过程，说明白辅助线的目的、意义与作用. 这样的教学设计对培养学生的求异思维能力大有裨益.
鼓励创造性思维，发展学生独特性思维能力
创造性思维即对新的事物进行主动发现，而后提出新见解，并解决新问题的思维方式. 对初中生而言，他们的思维是非常活跃的，有时对某一问题的思考也是很独特的. 因而，在教学中，教师应鼓励与肯定学生的创造性思维，培养学生思维的独特性，让学生学会创造性的学习，同时在班上将这一方法介绍给其他学生. 这样不但鼓励与肯定了学生个人，还启发了全班学生.下面就是一些学生创造性地解决问题的例子.
如图1，于△ABC的边BC上分别取D与E两点，CE=BD，连结AE，AD，求证：AE+AD
对于该题，用常规的解法较为烦琐， 一些学生通过独特思维，进行了简洁证明：分别过点E，A作出AC，BC的平行线，这两线相交于点F，AB与EF交于相交于点G，然后连结BF. 那么四边形ACEF为平行四边形;所以AC=FE，CE=AF.
因为CE=BD，所以AF=BD；
又因为BC∥AF，所以四边形ADBF为平行四边形；因此AD=FB.
在△AEG中，AE﹤EG+AG；在△BGF中，BF﹤FG+BG；所以AE+BF﹤EG+AG+FG+BG.
因此AE+AD﹤AC+AB.
倡导一题多解与多变， 促进学生思维变通
求异思维要求学生多角度、多方面的思考问题，因而，在教学过程中，应倡导教师对学生进行一题多解与多变的训练，以发展学生的求异思维. 在习题练习中，应尽量选择具有典型性、代表性的一题多解或多变的习题. 同时，教师注意适时点拨，引导学生思维走向更高、更深层次的发展.
例如：如图2所示，该图形由若干个正方体摆成，每个正方体的体积1为立方厘米，求该图形的体积？
图2
对于该题，其解法是多样的.
方法1：对原图形进行补充，使其变成高为3厘米、宽为4厘米、长为5厘米的长方体，求出其体积，即3×4×5=60（立方厘米）；多补充图形的体积，即3×4×2=24（立方厘米），然后减掉多补充的图形，则为原图形体积. 其结果为：3×4×5-2×3×4×=36（立方厘米）.
方法2：将该图形切为两个长方体，一个高为1厘米、宽3为厘米、长为4厘米；另一个高3厘米、宽2厘米、长4厘米，然后求出它们的体积和.即4×1×3+4×3×2=36（立方厘米）.
方法3：将该图形分成三层，最底层：高1厘米、宽4厘米、长5厘米，得出底层体积：5×4×1=20（立方厘米）. 同样可以得出第一层与二层的体积和：4×2×2=16（立方厘米），然后把三层的体积相加则可获得原图形的体积，即5×4×1+4×2×2=36（立方厘米）.
方法4：由于第一、二层中正方体的总数为4×2×2，即16个；第三层中正方体的数量为5×4，即20个；三层总共有36个正方体，且每个正方体的体积是1立方厘米，然后求出36块正方体的体积. 即1×（4×2×2+5×4）=36（立方厘米）.
教会学生求异方法，提高学生求异思维能力
1. 类比求异法
事物之间既有区别又有联系，同样，对于数学各知识点也是如此. 因而，在数学学习中，教师应指导学生掌握类比求异，即通过类比来找出新知识与旧知识之间的内在联系，以建立起数学新模型，进而解决所求问题.
2. 正向求异法
事物包含正反两面，从不同角度看问题，其结果可能不同. 在求异思维的培养中，正向求异是其方法之一. 正向求异即由问题所给条件来挖掘信息，同时沿正向思维， 把已知的信息与问题外的有关信息相联系，然后进行联想，促进条件转化为结论.
3. 整体求异法
在数学解题过程中，有时从局部入手难以解决问题，那么，则可以从条件的整体特点入手，抓住问题之间的联系，进而解决问题.
4. 构造求异法
构造求异即根据问题中的一致条件与结论，构建一个和条件与结论有关的数学模型，进而顺利解决数学问题. 例如：若sinx+cosx=1，求证：sinnx+cosnx=1. 以常规法解题运算比较复杂，运用构造求异法，则可简化运算. 因为sinx+cosx=1，得出（sinx+cosx）2=1，因而sinx·cosx=0. 根据韦达定理构造方程：y2-y=0， 那么sinx与cosx是方程的两个实根，因而cosx=0，sinx=1或cosx=1，sinx=0，因而sinnx+cosnx=1.
当然，数学教学中，求异解题法远不止这些，还有如数形求异、分类求异、逆向求异等. 教师应指导学生进行灵活运用，从而培养他们的创造性思维、求异思维，提高学生的思维能力.