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【摘 要】导数是研究求曲线的斜率、函数性质、探求函数的极值最值、证明不等式和解决一些物理问题等等的有力工具。
【关键词】导数 切线 单调性 极值
导数是数学分析课程中最重要的基本概念之一，它反映了一个变量对另一个变量的变化率。导数是解决实际问题的重要的数学工具。在求曲线的切线方程、函数的单调性、函数的最值及证明不等式等问题时，导数均可以作为研究的工具。下面举例谈谈运用导数求解的试题类型及解法。
一、利用导数求曲线的切线方程
函数ｆ（ｘ）在ｘ０处导数的几何意义，就是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（ｘ０，ｆ（ｘ０））处切线的斜率，也就是说，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点Ｐ（ｘ０，ｆ（ｘ０））处切线的斜率是ｆ＇（ｘ０）。于是相应的切线方程是ｙ－ｙ０＝ｆ＇（ｘ０）（ｘ－ｘ０）。
例１．过点（－１，０）作抛物线ｙ＝ｘ２＋ｘ＋１的切线，则其中一条切线为（）
Ａ．２ｘ＋ｙ＋２＝０ Ｂ．３ｘ－ｙ＋３＝０
Ｃ．ｘ＋ｙ＋１＝０ Ｄ．ｘ－ｙ＋１＝０
分析：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法。
解：ｙ＇＝２ｘ＋１，设切点坐标为（ｘ０，ｙ０），则切线的斜率为２ｘ０＋１，且ｙ０＝ｘ０２＋ｘ０＋１于是切线方程为ｙ－（ｘ０２＋ ｘ０＋１）＝（２ｘ０＋１）（ｘ－ｘ０），因为点（－１，０）在切线上，可解得ｘ０＝０或－２，代入各选项可验证Ｄ正确。
点评：利用导数求出其切线方程，真正考查的是解析几何思想，是解析几何与导数综合题目的切入点，这类问题将成为高考的一大热点。
二、利用导数研究函数的单调性
若函数ｆ（ｘ）在某个区间内可导，则当ｆ＇（ｘ）＞ ０时，ｆ（ｘ）在此区间上为单调增函数；而当ｆ＇（ｘ）＜ ０时，ｆ（ｘ）在此区间上为单调减函数。利用上述性质，可以研究函数的单调性。
例２．设函数ｆ（ｘ）ｘ３－（１＋ａ）ｘ２＋４ａｘ＋２４ａ，其中常数ａ＞１，讨论ｆ（ｘ）的单调性。
分析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性。
解：（Ｉ）ｆ＇（ｘ）＝ｘ２ －２（１＋ａ）ｘ＋４ａ＝（ｘ－２）（ｘ－２ａ）
由ａ＞１知，当ｘ＜２时，ｆ＇（ｘ）＜０，故ｆ（ｘ）在区间（－∞，２）是增函数；
当２＜ｘ＜２ａ时，ｆ＇（ｘ）＜０，故ｆ（ｘ）在区间（２，２ａ）是减函数；
当ｘ＞２ａ时，ｆ＇（ｘ）＞０，故ｆ（ｘ）在区间（２ａ，＋∞）是增函数。
综上，当ａ＞１时，ｆ（ｘ）在区间（－∞，２）和（２ａ，＋∞）是增函数，在区间（２，２ａ）是减函数。
点评：利用导数作工具研究函数的单调性降低了思维难度，减少了运算量。
三、利用导数求解函数的极（最）值
设ｆ（ｘ）是在闭区间［Ａ，Ｂ］上连续，在开区间（Ａ，Ｂ）内可导的函数，则ｆ（ｘ）在闭区间［Ａ，Ｂ］上有最值的步骤为：
（１）求ｆ＇（ｘ）＝０在区间（Ａ，Ｂ）内的根，即导数为０的点（不必确定它是极大值点还是极小值点），求出这些导数为０的点的函数值；
（２）求ｆ（ｘ）在闭区间［Ａ，Ｂ］两端点处的函数值，即ｆ（Ａ）与ｆ（Ｂ）；
（３）将导数为０的函数值与两端点处的函数值进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值。
例３．已知函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２－３ｘ在ｘ＝±１处取得极值。讨论ｆ（１）和ｆ（－１）是函数ｆ（ｘ）的极大值还是极小值．
分析：本小题考查函数和函数极值的概念，运用导数研究函数极值的方法以及分析和解决问题的能力。
解：（１）：ｆ＇（ｘ）＝３ａｘ２＋２ｂｘ－３，依题意，ｆ＇（１）＝ｆ＇（－１）＝０，即
３ａ＋２ｂ－３＝０３ａ－２ｂ－３＝０解得ａ＝１，ｂ＝０．
∴ｆ（ｘ）＝ｘ３－３ｘ，ｆ＇（ｘ）＝３ｘ２－３＝３（ｘ＋１）（ｘ－１）．令ｆ＇（ｘ）＝０，得ｘ＝－１，ｘ＝１．
∴若ｘ∈（－∞，－１）∪（１，＋ ∞），则ｆ＇（ｘ）＞０，故ｆ（ｘ）在（－∞，－１）上是增函数，ｆ（ｘ）在（１，＋ ∞）上是增函数。若ｘ∈（－１，１），则ｆ＇（ｘ）＜０，故ｆ（ｘ）在（－１，１）上是减函数。所以，ｆ（－１）＝２是极大值；ｆ（１） ＝ －２是极小值。
点评：用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也好掌握。
四、利用导数证明不等式
利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，将不等式的部分或者全部投射到函数上，直接或等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数。通过导数运算判断出函数的单调性或利用导数运算来求出函数的最值，将不等式的证明转化为函数问题，即转化为比较函数值的大小，或者函数值在给定的区间上恒成立等。
例４．已知ｘ＞０，求证：ｘ＞ｌｎ（１＋ｘ）
分析：设ｆ（ｘ）＝ｘ－ｌｎ（１＋ｘ） ．ｘ［０，＋∞］
（上接第８２页）
考虑到ｆ（０）＝０， 要证不等式变为：ｘ＞０时，ｆ （ｘ）＞ｆ（０）， 这只要证明ｆ（ｘ）在区间［０，＋∞）是增函数。
证明：令：ｆ（ｘ）＝ｘ－ｌｎ（１＋ｘ），容易看出，ｆ（ｘ）在区间［０，＋∞）上可导．
且（ｘ）＝０＝ｆ（０）
由ｆ＇（ｘ）＝１－ ，可得：当ｘ∈（０，＋∞）时，ｆ＇（ｘ）＞ｆ（０）＝０
即ｘ－ｌｎ（１＋ｘ）＞０，所以：ｘ＞０时，ｘ＞ｌｎ（１＋ｘ）
点评：要证明一个一元函数组成的不等式成立，首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。导数与函数不等式的综合性解答题，能较好地考查学生的理性思维，因而它常常作为压轴题出现，是一种热点题型。解答这类问题关键在于灵活运用“导数”这一工具。
（河北沧县风化店中学；０６１０２３）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】导数 切线 单调性 极值
导数是数学分析课程中最重要的基本概念之一，它反映了一个变量对另一个变量的变化率。导数是解决实际问题的重要的数学工具。在求曲线的切线方程、函数的单调性、函数的最值及证明不等式等问题时，导数均可以作为研究的工具。下面举例谈谈运用导数求解的试题类型及解法。
一、利用导数求曲线的切线方程
函数ｆ（ｘ）在ｘ０处导数的几何意义，就是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（ｘ０，ｆ（ｘ０））处切线的斜率，也就是说，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点Ｐ（ｘ０，ｆ（ｘ０））处切线的斜率是ｆ＇（ｘ０）。于是相应的切线方程是ｙ－ｙ０＝ｆ＇（ｘ０）（ｘ－ｘ０）。
例１．过点（－１，０）作抛物线ｙ＝ｘ２＋ｘ＋１的切线，则其中一条切线为（）
Ａ．２ｘ＋ｙ＋２＝０ Ｂ．３ｘ－ｙ＋３＝０
Ｃ．ｘ＋ｙ＋１＝０ Ｄ．ｘ－ｙ＋１＝０
分析：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法。
解：ｙ＇＝２ｘ＋１，设切点坐标为（ｘ０，ｙ０），则切线的斜率为２ｘ０＋１，且ｙ０＝ｘ０２＋ｘ０＋１于是切线方程为ｙ－（ｘ０２＋ ｘ０＋１）＝（２ｘ０＋１）（ｘ－ｘ０），因为点（－１，０）在切线上，可解得ｘ０＝０或－２，代入各选项可验证Ｄ正确。
点评：利用导数求出其切线方程，真正考查的是解析几何思想，是解析几何与导数综合题目的切入点，这类问题将成为高考的一大热点。
二、利用导数研究函数的单调性
若函数ｆ（ｘ）在某个区间内可导，则当ｆ＇（ｘ）＞ ０时，ｆ（ｘ）在此区间上为单调增函数；而当ｆ＇（ｘ）＜ ０时，ｆ（ｘ）在此区间上为单调减函数。利用上述性质，可以研究函数的单调性。
例２．设函数ｆ（ｘ）ｘ３－（１＋ａ）ｘ２＋４ａｘ＋２４ａ，其中常数ａ＞１，讨论ｆ（ｘ）的单调性。
分析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性。
解：（Ｉ）ｆ＇（ｘ）＝ｘ２ －２（１＋ａ）ｘ＋４ａ＝（ｘ－２）（ｘ－２ａ）
由ａ＞１知，当ｘ＜２时，ｆ＇（ｘ）＜０，故ｆ（ｘ）在区间（－∞，２）是增函数；
当２＜ｘ＜２ａ时，ｆ＇（ｘ）＜０，故ｆ（ｘ）在区间（２，２ａ）是减函数；
当ｘ＞２ａ时，ｆ＇（ｘ）＞０，故ｆ（ｘ）在区间（２ａ，＋∞）是增函数。
综上，当ａ＞１时，ｆ（ｘ）在区间（－∞，２）和（２ａ，＋∞）是增函数，在区间（２，２ａ）是减函数。
点评：利用导数作工具研究函数的单调性降低了思维难度，减少了运算量。
三、利用导数求解函数的极（最）值
设ｆ（ｘ）是在闭区间［Ａ，Ｂ］上连续，在开区间（Ａ，Ｂ）内可导的函数，则ｆ（ｘ）在闭区间［Ａ，Ｂ］上有最值的步骤为：
（１）求ｆ＇（ｘ）＝０在区间（Ａ，Ｂ）内的根，即导数为０的点（不必确定它是极大值点还是极小值点），求出这些导数为０的点的函数值；
（２）求ｆ（ｘ）在闭区间［Ａ，Ｂ］两端点处的函数值，即ｆ（Ａ）与ｆ（Ｂ）；
（３）将导数为０的函数值与两端点处的函数值进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值。
例３．已知函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２－３ｘ在ｘ＝±１处取得极值。讨论ｆ（１）和ｆ（－１）是函数ｆ（ｘ）的极大值还是极小值．
分析：本小题考查函数和函数极值的概念，运用导数研究函数极值的方法以及分析和解决问题的能力。
解：（１）：ｆ＇（ｘ）＝３ａｘ２＋２ｂｘ－３，依题意，ｆ＇（１）＝ｆ＇（－１）＝０，即
３ａ＋２ｂ－３＝０３ａ－２ｂ－３＝０解得ａ＝１，ｂ＝０．
∴ｆ（ｘ）＝ｘ３－３ｘ，ｆ＇（ｘ）＝３ｘ２－３＝３（ｘ＋１）（ｘ－１）．令ｆ＇（ｘ）＝０，得ｘ＝－１，ｘ＝１．
∴若ｘ∈（－∞，－１）∪（１，＋ ∞），则ｆ＇（ｘ）＞０，故ｆ（ｘ）在（－∞，－１）上是增函数，ｆ（ｘ）在（１，＋ ∞）上是增函数。若ｘ∈（－１，１），则ｆ＇（ｘ）＜０，故ｆ（ｘ）在（－１，１）上是减函数。所以，ｆ（－１）＝２是极大值；ｆ（１） ＝ －２是极小值。
点评：用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也好掌握。
四、利用导数证明不等式
利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，将不等式的部分或者全部投射到函数上，直接或等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数。通过导数运算判断出函数的单调性或利用导数运算来求出函数的最值，将不等式的证明转化为函数问题，即转化为比较函数值的大小，或者函数值在给定的区间上恒成立等。
例４．已知ｘ＞０，求证：ｘ＞ｌｎ（１＋ｘ）
分析：设ｆ（ｘ）＝ｘ－ｌｎ（１＋ｘ） ．ｘ［０，＋∞］
（上接第８２页）
考虑到ｆ（０）＝０， 要证不等式变为：ｘ＞０时，ｆ （ｘ）＞ｆ（０）， 这只要证明ｆ（ｘ）在区间［０，＋∞）是增函数。
证明：令：ｆ（ｘ）＝ｘ－ｌｎ（１＋ｘ），容易看出，ｆ（ｘ）在区间［０，＋∞）上可导．
且（ｘ）＝０＝ｆ（０）
由ｆ＇（ｘ）＝１－ ，可得：当ｘ∈（０，＋∞）时，ｆ＇（ｘ）＞ｆ（０）＝０
即ｘ－ｌｎ（１＋ｘ）＞０，所以：ｘ＞０时，ｘ＞ｌｎ（１＋ｘ）
点评：要证明一个一元函数组成的不等式成立，首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。导数与函数不等式的综合性解答题，能较好地考查学生的理性思维，因而它常常作为压轴题出现，是一种热点题型。解答这类问题关键在于灵活运用“导数”这一工具。
（河北沧县风化店中学；０６１０２３）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文