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摘 要：本文结合二个地铁工程案例，分析了在地铁管线施工中三点共圆求算管线变形曲率的应用，对其适用性及相关问题进行探讨，并提出利用六次多项式曲线拟合求算管线变形率的方法，以防止地铁施工引起的地下管线变形。
关键词：地铁施工；地下管线；曲线拟合
中图分类号：U231+.3 文献标识码：A 文章编号：
1 三点共圆求算管线曲率的适用性分析
实例一: 某地铁区间隧道施工，里程SK3 + 355处有一管线与隧道走向呈垂直相交，管线总长为38. 6m，该管线为φ300 mm 铸铁煤气管，埋于地面下1. 4m 处，管壁厚为11mm，管节长度为3m，承插式接口。采用抱箍法监测，测点间距为4m。选取的沉降曲线为管线沉降稳定后停止监测的终值数据。
实例二: 某地铁车站暗挖施工，管线位于道路中间车站的正上方，该管线为φ1400 mm 上水钢管，埋于地面下2.24 m 处，管壁厚为12mm，焊接式接口。采用套筒法监测，测点间距为4m。选取的沉降曲线为管线沉降稳定后停止监测的终值数据。
分别对实例一、二利用三点共圆法求算管线变形曲率，结果如图1、图2 所示。
图1实例一管线沉降曲线与曲率
图2实例二管线沉降曲线与曲率
从图中可以看出，实例一和实例二的曲率计算结果，不断的上下波动，变化不均匀，存在很大的震荡。显然，这与弯曲梁合理的曲率表现有很大差异。经分析，初步认为是管线测点间距和监测误差造成的。
2 曲线拟合求算管线曲率
在材料力学中，为求得梁的挠曲线方程，利用曲率与弯矩间的物理关系，即式:
(1)
平面曲线的曲率可由微积分求得:
(2)
由于管线沉降位移曲线相对较平缓，因此 与1 相比可作为微小项略去不计。
由式(2) 可以考虑通过一定手段，借助管线沉降监测数据来拟合得到管线变形对水平间距的函数，再对该函数进行两次求导，得到整个管线任意点的曲率，即可以得出管线变形曲率。
利用多项式曲线拟合管线位移曲线的关键问题是多项式次数的选择，有必要结合物理意义进行相关的因次分析。
对前面微分方程:
(3)
进行因次分析，确定函数( 管线位移曲线) y =f(x) 的次数。
式(3) 表明管线纵向变形曲线对水平间距x 的次数比管线弯矩对间距x 的次数高两次。也就是说，如果知道弯矩为水平间距x 的几次函数，则管线变形曲线的次数就可以确定。显然，由于管线弯矩表征的是管线曲率，是要求得的内容，即方程两侧都是未知的。但说明管线所受力(以弯矩为表现形式) 与管线变形的曲线形态(函数的次数) 是有关联的。
对式(3) 两边求两次导数:
［q(x) 为梁上分布荷载］(4)
式(4) 表明管线变形曲线对x 的次数要比管线上的分布荷载对x 的次数高四次:
(1) 当变形曲线y = f(x) 为x 的三次函数时，荷载为x 的-1 次函数，即为集中力荷载;
(2) 当变形曲线y = f(x) 为x 的四次曲线时，荷载为x 的零次函数，即为均布荷载;
(3) 当变形曲线y = f(x) 为x 的五次曲线时，荷载为x 的一次函数;
(4) 当变形曲线y = f(x) 为x 的六次曲线时，荷载为x 的二次函数。
如果知道管线上的荷载分布，就可以知道用几次多项式来拟合变形曲线。
从理论上讲，管线上的荷载是分段的，对应的变形曲线也是分段的。根据工程实际需要，对荷载的分段进行简化，将分段荷载简化成统一表达式的分布荷载。根据太沙基对德国柏林地铁沙土挖方支撑压力量测结果的分析，虽然砂土十分均匀，但土压力差异很大，从10 个断面量测的结果来看，土压力分布总体上接近抛物线型。《日本建筑结构基础设计规范》推荐的弹塑性法也假定土压力采用竖向坐标的二次函数。
图3实例一拟合曲线与曲率曲线
图4实例二拟合曲线与曲率曲線
3 结束语
由以上分析可得，用多项式对管线监测数据进行拟合时，至少应该采用6 次。为检验其合理性，这里采用6 次数多项式拟合本章开始的两个实例，并对拟合曲线进行两次求导，得到管线曲率曲线。如图3 和图4 所示，可以看到，多项式拟合法求算的曲率连续而且光滑，体现了结构变形的曲线形式要求。虽然其对应的边界条件很难控制，但对于最小二乘法拟合的管线变形曲线，这里所关心的是接近管线最大变形区域的最大曲率，曲线两端的曲率存在的问题暂时忽略。
关键词：地铁施工；地下管线；曲线拟合
中图分类号：U231+.3 文献标识码：A 文章编号：
1 三点共圆求算管线曲率的适用性分析
实例一: 某地铁区间隧道施工，里程SK3 + 355处有一管线与隧道走向呈垂直相交，管线总长为38. 6m，该管线为φ300 mm 铸铁煤气管，埋于地面下1. 4m 处，管壁厚为11mm，管节长度为3m，承插式接口。采用抱箍法监测，测点间距为4m。选取的沉降曲线为管线沉降稳定后停止监测的终值数据。
实例二: 某地铁车站暗挖施工，管线位于道路中间车站的正上方，该管线为φ1400 mm 上水钢管，埋于地面下2.24 m 处，管壁厚为12mm，焊接式接口。采用套筒法监测，测点间距为4m。选取的沉降曲线为管线沉降稳定后停止监测的终值数据。
分别对实例一、二利用三点共圆法求算管线变形曲率，结果如图1、图2 所示。
图1实例一管线沉降曲线与曲率
图2实例二管线沉降曲线与曲率
从图中可以看出，实例一和实例二的曲率计算结果，不断的上下波动，变化不均匀，存在很大的震荡。显然，这与弯曲梁合理的曲率表现有很大差异。经分析，初步认为是管线测点间距和监测误差造成的。
2 曲线拟合求算管线曲率
在材料力学中，为求得梁的挠曲线方程，利用曲率与弯矩间的物理关系，即式:
(1)
平面曲线的曲率可由微积分求得:
(2)
由于管线沉降位移曲线相对较平缓，因此 与1 相比可作为微小项略去不计。
由式(2) 可以考虑通过一定手段，借助管线沉降监测数据来拟合得到管线变形对水平间距的函数，再对该函数进行两次求导，得到整个管线任意点的曲率，即可以得出管线变形曲率。
利用多项式曲线拟合管线位移曲线的关键问题是多项式次数的选择，有必要结合物理意义进行相关的因次分析。
对前面微分方程:
(3)
进行因次分析，确定函数( 管线位移曲线) y =f(x) 的次数。
式(3) 表明管线纵向变形曲线对水平间距x 的次数比管线弯矩对间距x 的次数高两次。也就是说，如果知道弯矩为水平间距x 的几次函数，则管线变形曲线的次数就可以确定。显然，由于管线弯矩表征的是管线曲率，是要求得的内容，即方程两侧都是未知的。但说明管线所受力(以弯矩为表现形式) 与管线变形的曲线形态(函数的次数) 是有关联的。
对式(3) 两边求两次导数:
［q(x) 为梁上分布荷载］(4)
式(4) 表明管线变形曲线对x 的次数要比管线上的分布荷载对x 的次数高四次:
(1) 当变形曲线y = f(x) 为x 的三次函数时，荷载为x 的-1 次函数，即为集中力荷载;
(2) 当变形曲线y = f(x) 为x 的四次曲线时，荷载为x 的零次函数，即为均布荷载;
(3) 当变形曲线y = f(x) 为x 的五次曲线时，荷载为x 的一次函数;
(4) 当变形曲线y = f(x) 为x 的六次曲线时，荷载为x 的二次函数。
如果知道管线上的荷载分布，就可以知道用几次多项式来拟合变形曲线。
从理论上讲，管线上的荷载是分段的，对应的变形曲线也是分段的。根据工程实际需要，对荷载的分段进行简化，将分段荷载简化成统一表达式的分布荷载。根据太沙基对德国柏林地铁沙土挖方支撑压力量测结果的分析，虽然砂土十分均匀，但土压力差异很大，从10 个断面量测的结果来看，土压力分布总体上接近抛物线型。《日本建筑结构基础设计规范》推荐的弹塑性法也假定土压力采用竖向坐标的二次函数。
图3实例一拟合曲线与曲率曲线
图4实例二拟合曲线与曲率曲線
3 结束语
由以上分析可得，用多项式对管线监测数据进行拟合时，至少应该采用6 次。为检验其合理性，这里采用6 次数多项式拟合本章开始的两个实例，并对拟合曲线进行两次求导，得到管线曲率曲线。如图3 和图4 所示，可以看到，多项式拟合法求算的曲率连续而且光滑，体现了结构变形的曲线形式要求。虽然其对应的边界条件很难控制，但对于最小二乘法拟合的管线变形曲线，这里所关心的是接近管线最大变形区域的最大曲率，曲线两端的曲率存在的问题暂时忽略。