论文部分内容阅读
上一期，芦果和青鸟热心地帮助牧童把他的4头牛赶到了河对岸，并获得了黄宝石。这一期，为了找齐7颗宝石，芦果和青鸟继续往前飞。飞着飞着，他们发现一棵红豆树下有些红点点在跳动……
芦果一手举着牧童送的“牛黄宝石”，一手高兴地挽着青鸟，跳起圈圈舞来。
“看来波利亚国王让我们找的7颗宝石就在数题国的各种数学题中，我们多转悠几圈，一定能很快就把它们全收集了。”
“在找宝石的过程中，我们还有可能会遇到阿芙洛王后呢。”青鸟用翅膀在眼睛上方搭了个“凉篷”，四周张望。
“不过我们怎么知道解决哪些数学题会有宝石呢？”
两人讨论起来，最终得到的结论是7颗宝石的颜色分别是赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫，那么只要遇到有这些字眼的数学题，就要特别注意了。
“比如遇到卖橙汁，说不定我们一喝完橙汁，那颗橙色宝石就从杯底显露出来了呢。”
“有可能。”
两人一边聊，一边往前飞。
“有点热，我们飞低一些吧。”芦果擦拭着额头上的汗水，提议道。
这一降果然有收获，他们看到下方有一个操场，旁边有一棵高大的红豆树，树下似乎有些红点点在跳动。
“好像是在玩跳格子游戏。”眼尖的芦果发现操场上画了几个方方正正的格子。
“不是的，三行三列九个格，这肯定是幻方。”
“我记起来了，传说大禹治水的时候，有一只灵龟从黄河中浮出来，背上画了一个数阵图，叫幻方。”芦果揉了揉眼睛，往下探望，“那个幻方和操场上画的那个还真有点像。”
说着，两人降落在操场上。这下看清楚了，在左上的格子中有12颗红豆，最下方正中的格子中有8颗红豆，正中间的格子中摆着9颗红豆，看来这是一道要求填数，并让方格中所有行、列以及对角线上的数之和都相等的幻方题。因为幻方中只填了3个数，所以破解起来很有难度。
“我倒是会背基本幻方：二四为肩，六八为足。戴九履一，右三左七。五居中央。”芦果绕着方格转了一圈，想了片刻，望望落了一地的红豆说，“红豆小精灵们，如果你们能帮我把基本幻方排出来，我想我很快就能破解出这道幻方题的。”
此话一出，地上原本纹丝不动的一颗颗红豆纷纷苏醒过来，咯咯笑着，互相打趣：“哎呀，假装睡觉被发现了。”“看来不能不帮忙了。”“谁让她叫‘芦果’，又说了‘如果’呢！”
原来的幻方右边，不知什么时候出现了一个新的九宫格，红豆们排着队跳了进去，填好了基本幻方。
青鸟鼓励芦果：“这个办法好，听说所有的九宫格幻方都是由这个基本幻方变化来的，对比一下，说不定就能知道答案。”
如果认为中间的9是由5变来的，那么边上的8又是由哪个数变来的呢？角上的12呢？看来不能简单地用对应基本幻方的方法来填这个幻方。
芦果望着两个幻方，对比了半天，摇摇头说：“不行不行，我怎么也没办法把这个8和12与基本幻方中位于相同位置的数对应起来。”
眼看芦果没有了思路，青鸟决定出手。走南闯北的他，见识应该是比芦果多多了。
“你听说过三阶幻方的‘边角规律’吗？”
见芦果摇头，青鸟不知道从哪里找来切开的杨桃，往第二行第三格一盖，印出一个“☆”记号。
“这个8和☆是相邻的两条边中间的数，而12是与它们不相邻的角上的数。这三个数之间有‘边数+边数=角数×2’的规律，也就是8+☆=12×2。”
“哇！”芦果激动地跳起来，“那不就一下子知道这个☆是16了吗？”她正要召唤那些红豆过来填数，转念一想，又停住了。
“且慢，可是为什么会有这样的规律呢？我怎么能相信这三个数之间有这样的规律？换句话说，怎么证明这三个数之间的规律？”
芦果连珠炮似的三个问题，让青鸟哈哈笑了起来：“不错，孺子可教，你明白不能光应用规律，更要去研究规律背后的道理，这已经算是‘会学数学’了。”
突然被表扬，芦果微微红了脸，不过她还不知道这条规律背后那令人信服的证明，于是不动声色地冲着红豆树下的幻方摆摆手，做了个“你请”的手势。
“既然我是师父，那么这个传道、授业、解惑，我当然是义不容辞了。关于‘边角规律’的证明嘛，这个，这个……”
青鸟搓搓翅膀，围着幻方转起圈圈来。
“如果红豆们能帮帮我的忙就好了。”青鸟说着，往红豆那看了看，奇怪的是红豆们一动也不动。
青鸟气坏了，说：“你们这些红豆，只听名字叫‘芦果’的人说的‘如果’，难道你们不知道我是她的师父吗？”
青鸟吼了半天，那些红豆还是无动于衷。他摊摊双手，看向芦果，向她求助。
芦果忍住笑，对那些红豆说：“如果你们能帮帮我的师父，那就请听他的话，行动起来吧！”
“我来，我来！”红豆们欢呼着涌到了幻方边上，好像是训练有素的战士准备上场。
“好，我就只要原来这个基本幻方中的数，用它们来说明问题。”青鸟指了一下基本幻方，红豆们按1，2，3，…，9的分组跳了进去。
“现在，听我号令：第一行、第二行、第三行，分别出列，站成三队。”
基本幻方第一行的2，9，4合成了15，第二行的7，5，3合成了15，第三行的6，1，8合成了15。
“这本来就是三个相等的‘幻和’嘛。”芦果嘀咕道。
“全合起来，就是1～9的和，一共是45颗红豆。”青鸟继续指挥，“现在我要你们再一次分成三个15，不过这次你们要分别排到最左列、最上行以及从左上到右下的对角线这三条线上去。”
“遵命！”这些红豆倒是“心中有数”，一下子就分了三支队伍，每队三堆红豆，数量对应基本幻方分别是最左边的2，7和6，最上的2，9和4，以及左上到右下對角线的2，5和8。 “表扬大家，行动迅速。现在我命令，目标——基本幻方。前进！”青鸟一指右边。
“且慢！”芦果发现了问题，“你这三个算式中，左上角的2出现了三次，1和3却没有。”
“对啊，这不正好也是三个幻和吗？”青鸟的手按下来了，三支队伍中的红豆跑进了幻方里。
果然像芦果所说的，其他位置都被红豆们填得正好，可是左上角那边，有1个2已经填进去了，这下旁边就剩下了2个2颗红豆，最下边和最右边1和3的位置倒是空着没有红豆。
“我明白啦。”芦果跑过去，伸出手掌，让那4颗红豆跳到她的手心，“这4颗红豆是左上角红豆数量的2倍，同时也是最下边中间数和最右边中间数之和。”
芦果一摊手，4颗红豆分成了1颗和3颗，分别跳到了正确的位置上。
随后，芦果站起来说：“虽然你是用基本幻方的数字1～9演示的，但是换一个位置，换成其他数，也是一样的。”
“对，研究的时候看具体数，总结规律必须抽象。”青鸟总结道。
“我明白☆为什么是16了，那接下来呢？”芦果看了又看，觉得没办法再应用这条“边角规律”了。
“接下来，就要用‘中心线等差规律’了。”青鸟一指9的上方，“既然下方的8比中间的9少1，那么上方这个数就应当比9多1，也就是10。原理嘛……”
“这个我知道，是根据‘正中心的数是幻和的平均数’这条规律得出来的。”
“你知道这个呀？那就好办了。三阶幻方有三条规律，你说的这个其实是第一条，另外两条我刚才已经教过你了。”
有了这三条规律指引方向，填好这幻方就不是什么难事了。在芦果的指挥之下，红豆们顺利地把原来操场上的幻方填好了。
就在最后一颗红豆站好位置之后，整个幻方像一块毛毯一样合了起来，越裹越紧，变成拳头般大小后，还在不停地变小……最终变成了一颗闪光的赤红色寶石，落入芦果手中。
青鸟请你漫游数题国
聪明的小读者，看完本文，你能用所学到的知识填好右边这个幻方吗？动动脑筋试一试吧！（答案见下期）
芦果和你对答案
上期答案：先把4头牛依次编号为A、B、C、D，再按如下步骤过河：①A、B过河，4分钟;②A回来，2分钟;③C、D过河，12分钟;④B回来，4分钟;⑤A、B过河，4分钟。一共用4+2+12+4+4=26（分钟）。
芦果一手举着牧童送的“牛黄宝石”，一手高兴地挽着青鸟，跳起圈圈舞来。
“看来波利亚国王让我们找的7颗宝石就在数题国的各种数学题中，我们多转悠几圈，一定能很快就把它们全收集了。”
“在找宝石的过程中，我们还有可能会遇到阿芙洛王后呢。”青鸟用翅膀在眼睛上方搭了个“凉篷”，四周张望。
“不过我们怎么知道解决哪些数学题会有宝石呢？”
两人讨论起来，最终得到的结论是7颗宝石的颜色分别是赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫，那么只要遇到有这些字眼的数学题，就要特别注意了。
“比如遇到卖橙汁，说不定我们一喝完橙汁，那颗橙色宝石就从杯底显露出来了呢。”
“有可能。”
两人一边聊，一边往前飞。
“有点热，我们飞低一些吧。”芦果擦拭着额头上的汗水，提议道。
这一降果然有收获，他们看到下方有一个操场，旁边有一棵高大的红豆树，树下似乎有些红点点在跳动。
“好像是在玩跳格子游戏。”眼尖的芦果发现操场上画了几个方方正正的格子。
“不是的，三行三列九个格，这肯定是幻方。”
“我记起来了，传说大禹治水的时候，有一只灵龟从黄河中浮出来，背上画了一个数阵图，叫幻方。”芦果揉了揉眼睛，往下探望，“那个幻方和操场上画的那个还真有点像。”
说着，两人降落在操场上。这下看清楚了，在左上的格子中有12颗红豆，最下方正中的格子中有8颗红豆，正中间的格子中摆着9颗红豆，看来这是一道要求填数，并让方格中所有行、列以及对角线上的数之和都相等的幻方题。因为幻方中只填了3个数，所以破解起来很有难度。
“我倒是会背基本幻方：二四为肩，六八为足。戴九履一，右三左七。五居中央。”芦果绕着方格转了一圈，想了片刻，望望落了一地的红豆说，“红豆小精灵们，如果你们能帮我把基本幻方排出来，我想我很快就能破解出这道幻方题的。”
此话一出，地上原本纹丝不动的一颗颗红豆纷纷苏醒过来，咯咯笑着，互相打趣：“哎呀，假装睡觉被发现了。”“看来不能不帮忙了。”“谁让她叫‘芦果’，又说了‘如果’呢！”
原来的幻方右边，不知什么时候出现了一个新的九宫格，红豆们排着队跳了进去，填好了基本幻方。
青鸟鼓励芦果：“这个办法好，听说所有的九宫格幻方都是由这个基本幻方变化来的，对比一下，说不定就能知道答案。”
如果认为中间的9是由5变来的，那么边上的8又是由哪个数变来的呢？角上的12呢？看来不能简单地用对应基本幻方的方法来填这个幻方。
芦果望着两个幻方，对比了半天，摇摇头说：“不行不行，我怎么也没办法把这个8和12与基本幻方中位于相同位置的数对应起来。”
眼看芦果没有了思路，青鸟决定出手。走南闯北的他，见识应该是比芦果多多了。
“你听说过三阶幻方的‘边角规律’吗？”
见芦果摇头，青鸟不知道从哪里找来切开的杨桃，往第二行第三格一盖，印出一个“☆”记号。
“这个8和☆是相邻的两条边中间的数，而12是与它们不相邻的角上的数。这三个数之间有‘边数+边数=角数×2’的规律，也就是8+☆=12×2。”
“哇！”芦果激动地跳起来，“那不就一下子知道这个☆是16了吗？”她正要召唤那些红豆过来填数，转念一想，又停住了。
“且慢，可是为什么会有这样的规律呢？我怎么能相信这三个数之间有这样的规律？换句话说，怎么证明这三个数之间的规律？”
芦果连珠炮似的三个问题，让青鸟哈哈笑了起来：“不错，孺子可教，你明白不能光应用规律，更要去研究规律背后的道理，这已经算是‘会学数学’了。”
突然被表扬，芦果微微红了脸，不过她还不知道这条规律背后那令人信服的证明，于是不动声色地冲着红豆树下的幻方摆摆手，做了个“你请”的手势。
“既然我是师父，那么这个传道、授业、解惑，我当然是义不容辞了。关于‘边角规律’的证明嘛，这个，这个……”
青鸟搓搓翅膀，围着幻方转起圈圈来。
“如果红豆们能帮帮我的忙就好了。”青鸟说着，往红豆那看了看，奇怪的是红豆们一动也不动。
青鸟气坏了，说：“你们这些红豆，只听名字叫‘芦果’的人说的‘如果’，难道你们不知道我是她的师父吗？”
青鸟吼了半天，那些红豆还是无动于衷。他摊摊双手，看向芦果，向她求助。
芦果忍住笑，对那些红豆说：“如果你们能帮帮我的师父，那就请听他的话，行动起来吧！”
“我来，我来！”红豆们欢呼着涌到了幻方边上，好像是训练有素的战士准备上场。
“好，我就只要原来这个基本幻方中的数，用它们来说明问题。”青鸟指了一下基本幻方，红豆们按1，2，3，…，9的分组跳了进去。
“现在，听我号令：第一行、第二行、第三行，分别出列，站成三队。”
基本幻方第一行的2，9，4合成了15，第二行的7，5，3合成了15，第三行的6，1，8合成了15。
“这本来就是三个相等的‘幻和’嘛。”芦果嘀咕道。
“全合起来，就是1～9的和，一共是45颗红豆。”青鸟继续指挥，“现在我要你们再一次分成三个15，不过这次你们要分别排到最左列、最上行以及从左上到右下的对角线这三条线上去。”
“遵命！”这些红豆倒是“心中有数”，一下子就分了三支队伍，每队三堆红豆，数量对应基本幻方分别是最左边的2，7和6，最上的2，9和4，以及左上到右下對角线的2，5和8。 “表扬大家，行动迅速。现在我命令，目标——基本幻方。前进！”青鸟一指右边。
“且慢！”芦果发现了问题，“你这三个算式中，左上角的2出现了三次，1和3却没有。”
“对啊，这不正好也是三个幻和吗？”青鸟的手按下来了，三支队伍中的红豆跑进了幻方里。
果然像芦果所说的，其他位置都被红豆们填得正好，可是左上角那边，有1个2已经填进去了，这下旁边就剩下了2个2颗红豆，最下边和最右边1和3的位置倒是空着没有红豆。
“我明白啦。”芦果跑过去，伸出手掌，让那4颗红豆跳到她的手心，“这4颗红豆是左上角红豆数量的2倍，同时也是最下边中间数和最右边中间数之和。”
芦果一摊手，4颗红豆分成了1颗和3颗，分别跳到了正确的位置上。
随后，芦果站起来说：“虽然你是用基本幻方的数字1～9演示的，但是换一个位置，换成其他数，也是一样的。”
“对，研究的时候看具体数，总结规律必须抽象。”青鸟总结道。
“我明白☆为什么是16了，那接下来呢？”芦果看了又看，觉得没办法再应用这条“边角规律”了。
“接下来，就要用‘中心线等差规律’了。”青鸟一指9的上方，“既然下方的8比中间的9少1，那么上方这个数就应当比9多1，也就是10。原理嘛……”
“这个我知道，是根据‘正中心的数是幻和的平均数’这条规律得出来的。”
“你知道这个呀？那就好办了。三阶幻方有三条规律，你说的这个其实是第一条，另外两条我刚才已经教过你了。”
有了这三条规律指引方向，填好这幻方就不是什么难事了。在芦果的指挥之下，红豆们顺利地把原来操场上的幻方填好了。
就在最后一颗红豆站好位置之后，整个幻方像一块毛毯一样合了起来，越裹越紧，变成拳头般大小后，还在不停地变小……最终变成了一颗闪光的赤红色寶石，落入芦果手中。
青鸟请你漫游数题国
聪明的小读者，看完本文，你能用所学到的知识填好右边这个幻方吗？动动脑筋试一试吧！（答案见下期）
芦果和你对答案
上期答案：先把4头牛依次编号为A、B、C、D，再按如下步骤过河：①A、B过河，4分钟;②A回来，2分钟;③C、D过河，12分钟;④B回来，4分钟;⑤A、B过河，4分钟。一共用4+2+12+4+4=26（分钟）。