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【摘要】由于学生的大胆提问和质疑，打乱了老师预先设计好的课堂教学计划. 但这堂“意外”的复习课放飞了学生的思维，培养了学生的创新意识和探索精神.
【关键词】意外；高三；复习课
由于学生的大胆提问和质疑，打乱了老师预先设计好的课堂教学计划. 但这堂“意外”的复习课放飞了学生的思维，培养了学生的创新意识和探索精神.
在银川市第六中学高三年级“宏志班”的一堂数学复习课上，笔者按照提前预设的复习方案，进行如下习题的讲解：
题目曲线C：[KF（]x[KF）] [KF（]y[KF）]=1上的点到原点的距离的最小值为[ZZ（Z][ZZ）].
笔者展示完这道题目以后，很多学生首先想到用“数形结合”的方法来求解，这恰好和笔者备课时的想法不谋而合，于是就胸有成竹地往下引导学生共同分析. 采用“数形结合”的方法解决这一问题时，急需要画出曲线C. 但在画图时遇到了困难，在课堂上笔者对学生做了如下引导.
师从已知的方程中，大家能看出x和y的取值范围吗？
生x，y∈[0，1].
师曲线C好画吗？
生难啊！（这时很多学生立刻自发地议论起来）.
过了一会儿，看到很多学生很困惑，为了节约课堂教学的时间，笔者又做了如下引导.
师能否将曲线C看成函数的图象！请大家看一下x∈[0，1]，对应的y的值唯一吗？
生唯一. 噢！（很多学生眼前一亮，很激动的样子）可以看成函数的图象！所有学生都豁然开朗.
这时很多学生就自觉地动手计算起来（老师并没有进行提醒），最后得到如下函数
生上述函数图象的草图如何画呀？
可能是由于我们刚刚复习完函数的导数，知道利用导数可以分析函数图象的缘故，通过短暂的讨论，绝大多数学生很快就达成了如下共识（为了简洁明了，将课堂上达成的共识用“思维流程图”的形式进行表述）.
这位同学讲完以后，课堂气氛变得很热烈，老师和学生都非常高兴，笔者趁机表扬并总结：“堪称基本不等式的完美应用！殊途而同归！”，一些同学不言自语道：“原来数学很美呀！”，笔者补充：“数学反映的是和谐之美、是规律之美！我们学习数学不只是为了参加高考，更重要的是为了提升自己的数学素养，提高自己的科学思维能力，为探求未知和解决问题打下良好的基础”，“这种数学之美只有通过深入思考才能体会出来，大家要向这位同学学习！为了高考能考出好的成绩、为了未来的发展，大家努力吧！”.
刚才这位同学的想法也调动了笔者和其他同学思考的积极性，所以笔者继续询问有无其它的解法，但大家思考和讨论中遇到了困难，思考没有取得进展. 为了打破僵局，在上述思路的基础上，笔者马上又想到上述过程还有不同的途径，这时笔者引导学生对过程①继续讨论，最后得到下面两个正确的方案.
课堂进行到此时，学生开阔了眼界，笔者趁势教育学生学数学要仔细琢磨，不能轻易放过任何细节，一定要勤思，一定要多思，一定要深思，思考之后还要进行讨论，讨论是出真知和不断完善的很好方式，教育学生在数学课堂上要敢于发言，大胆质疑. 这时，很多同学非常激动，课堂气氛达到了高潮. 但笔者和学生并没有就此止步，笔者虽然为完不成预设的教学内容而担心， 笔者还是引导学生继续探究， 发现过程②也可以用上述两种方案加以解决. 看到学生热情很高，笔者完全打消了往下继续新的教学内容的想法，顺势利导向学生提问：还有其它方法吗？这时有学生回答说：“出现根号，这样的题目一般可以用换元的方法加以解决， 我们为什么不用换元法求解？”.
师（接着追问）：那該怎么换元呢？
此时仅为特殊情况，对x∈（0，1）的一般情形没有进行讨论，这种换元是错误的！笔者趁机教育学生在平时的复习中要克服思维定势的习惯，在用换元法求解问题时，一定要注意换元之后新未知元的取值范围、旧未知元和新未知元之间的对应关系，这也是用换元法求解问题时容易出错的地方. 那么该怎样换元呢？（笔者接着追问）学生又开始讨论起来，笔者也参与到讨论之中，得到了如下正确的思路.
利用三角换元法将问题进行了有效转化，顺利地解决了问题，但这种思路显得有点繁琐和多此一举， 因为笔者感觉可以用代数换元法解决问题，但笔者没有直接讲述. 这时笔者又故意提问学生，不用三角函数可以换元吗？
生老师，也可以用代数换元法！
笔者让学生说出思路.
这时已经快下课了（师生共同做了简单的小结），用不同的方法解决了同一问题，殊途而同归，采用的方法不同，感受自然不同，原本用数形结合解决了这一问题，在准备进行下面的教学内容时，由于学生的大胆提问和质疑，打乱了预先设计好的教学计划和内容. 但一堂课下来，放飞了思维，笔者和学生都感觉收获很大. 著名特级教师杨世明老师曾在评课时说过“事实上，学生的发难性、尖锐性、挑战性的问题（甚至怪问题），是一种非常难得的教学资源，它往往把笔者们平淡无奇的课堂讨论引向深入，运用及时得体，会产生意想不到的教学效果.”（见文[1]）. 按部就班的教学当然是教师授课的主流，但“意外”的课应当多一些较好. 这样可以增强学生思维的批判性，培养学生的创新意识和探索精神，提高学生的数学修养，调动和增进学生的审美能力和审美情趣. 在教学中我们要更加注重过程，要引导学生敢问、善问，这是教书育人赋予数学教学的一项重要任务.
参考文献
[1]洪双义，杨世明，王光明. 一种新型的数学教育方式：GH——对“MM教育方式”的实验探索[M].北京：中国教育出版社，2006.
作者简介
苏克义（1977—），男，甘肃通渭人，应用数学硕士，全国初等数学研究会常务理事，银川市“于全高特级教师工作室”成员，曾获“中国中青年初等数学研究奖”、“银川市优质课比赛一等奖”、“银川市数学专业竞赛一等奖”.参编多部书籍，发表论文三十余篇.
【关键词】意外；高三；复习课
由于学生的大胆提问和质疑，打乱了老师预先设计好的课堂教学计划. 但这堂“意外”的复习课放飞了学生的思维，培养了学生的创新意识和探索精神.
在银川市第六中学高三年级“宏志班”的一堂数学复习课上，笔者按照提前预设的复习方案，进行如下习题的讲解：
题目曲线C：[KF（]x[KF）] [KF（]y[KF）]=1上的点到原点的距离的最小值为[ZZ（Z][ZZ）].
笔者展示完这道题目以后，很多学生首先想到用“数形结合”的方法来求解，这恰好和笔者备课时的想法不谋而合，于是就胸有成竹地往下引导学生共同分析. 采用“数形结合”的方法解决这一问题时，急需要画出曲线C. 但在画图时遇到了困难，在课堂上笔者对学生做了如下引导.
师从已知的方程中，大家能看出x和y的取值范围吗？
生x，y∈[0，1].
师曲线C好画吗？
生难啊！（这时很多学生立刻自发地议论起来）.
过了一会儿，看到很多学生很困惑，为了节约课堂教学的时间，笔者又做了如下引导.
师能否将曲线C看成函数的图象！请大家看一下x∈[0，1]，对应的y的值唯一吗？
生唯一. 噢！（很多学生眼前一亮，很激动的样子）可以看成函数的图象！所有学生都豁然开朗.
这时很多学生就自觉地动手计算起来（老师并没有进行提醒），最后得到如下函数
生上述函数图象的草图如何画呀？
可能是由于我们刚刚复习完函数的导数，知道利用导数可以分析函数图象的缘故，通过短暂的讨论，绝大多数学生很快就达成了如下共识（为了简洁明了，将课堂上达成的共识用“思维流程图”的形式进行表述）.
这位同学讲完以后，课堂气氛变得很热烈，老师和学生都非常高兴，笔者趁机表扬并总结：“堪称基本不等式的完美应用！殊途而同归！”，一些同学不言自语道：“原来数学很美呀！”，笔者补充：“数学反映的是和谐之美、是规律之美！我们学习数学不只是为了参加高考，更重要的是为了提升自己的数学素养，提高自己的科学思维能力，为探求未知和解决问题打下良好的基础”，“这种数学之美只有通过深入思考才能体会出来，大家要向这位同学学习！为了高考能考出好的成绩、为了未来的发展，大家努力吧！”.
刚才这位同学的想法也调动了笔者和其他同学思考的积极性，所以笔者继续询问有无其它的解法，但大家思考和讨论中遇到了困难，思考没有取得进展. 为了打破僵局，在上述思路的基础上，笔者马上又想到上述过程还有不同的途径，这时笔者引导学生对过程①继续讨论，最后得到下面两个正确的方案.
课堂进行到此时，学生开阔了眼界，笔者趁势教育学生学数学要仔细琢磨，不能轻易放过任何细节，一定要勤思，一定要多思，一定要深思，思考之后还要进行讨论，讨论是出真知和不断完善的很好方式，教育学生在数学课堂上要敢于发言，大胆质疑. 这时，很多同学非常激动，课堂气氛达到了高潮. 但笔者和学生并没有就此止步，笔者虽然为完不成预设的教学内容而担心， 笔者还是引导学生继续探究， 发现过程②也可以用上述两种方案加以解决. 看到学生热情很高，笔者完全打消了往下继续新的教学内容的想法，顺势利导向学生提问：还有其它方法吗？这时有学生回答说：“出现根号，这样的题目一般可以用换元的方法加以解决， 我们为什么不用换元法求解？”.
师（接着追问）：那該怎么换元呢？
此时仅为特殊情况，对x∈（0，1）的一般情形没有进行讨论，这种换元是错误的！笔者趁机教育学生在平时的复习中要克服思维定势的习惯，在用换元法求解问题时，一定要注意换元之后新未知元的取值范围、旧未知元和新未知元之间的对应关系，这也是用换元法求解问题时容易出错的地方. 那么该怎样换元呢？（笔者接着追问）学生又开始讨论起来，笔者也参与到讨论之中，得到了如下正确的思路.
利用三角换元法将问题进行了有效转化，顺利地解决了问题，但这种思路显得有点繁琐和多此一举， 因为笔者感觉可以用代数换元法解决问题，但笔者没有直接讲述. 这时笔者又故意提问学生，不用三角函数可以换元吗？
生老师，也可以用代数换元法！
笔者让学生说出思路.
这时已经快下课了（师生共同做了简单的小结），用不同的方法解决了同一问题，殊途而同归，采用的方法不同，感受自然不同，原本用数形结合解决了这一问题，在准备进行下面的教学内容时，由于学生的大胆提问和质疑，打乱了预先设计好的教学计划和内容. 但一堂课下来，放飞了思维，笔者和学生都感觉收获很大. 著名特级教师杨世明老师曾在评课时说过“事实上，学生的发难性、尖锐性、挑战性的问题（甚至怪问题），是一种非常难得的教学资源，它往往把笔者们平淡无奇的课堂讨论引向深入，运用及时得体，会产生意想不到的教学效果.”（见文[1]）. 按部就班的教学当然是教师授课的主流，但“意外”的课应当多一些较好. 这样可以增强学生思维的批判性，培养学生的创新意识和探索精神，提高学生的数学修养，调动和增进学生的审美能力和审美情趣. 在教学中我们要更加注重过程，要引导学生敢问、善问，这是教书育人赋予数学教学的一项重要任务.
参考文献
[1]洪双义，杨世明，王光明. 一种新型的数学教育方式：GH——对“MM教育方式”的实验探索[M].北京：中国教育出版社，2006.
作者简介
苏克义（1977—），男，甘肃通渭人，应用数学硕士，全国初等数学研究会常务理事，银川市“于全高特级教师工作室”成员，曾获“中国中青年初等数学研究奖”、“银川市优质课比赛一等奖”、“银川市数学专业竞赛一等奖”.参编多部书籍，发表论文三十余篇.