论文部分内容阅读
【摘 要】随着新一轮课程改革的逐步深入，学生的数学学习呈现多元化的形式，教学的有效性问题愈加迫切地摆在我们面前，教师应怎样改变惯常的教学方式，引导学生探究、交流、互动，真正成为学生数学学习的组织者、指导者和促进者，使学生热爱学习，学会学习，这些问题已成为我们研究的焦点。本文通过延伸课后习题和提炼问题的基本模型，探讨数学多元学习方式的有效教学策略，使学习方式和教学策略都具有动态生成性、灵活性、综合性和创新性，最大限度地促进学生进行有效学习。
【关键词】延伸 提炼 建模
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006－9682（2009）02－0131－02
学生已有的知识经验是教学活动的起点，是教学成功的有效策略。利用这个优势，我们可以将新授课的自主探究、合作交流学习和练习课的有意义接受学习结合起来，练习课中教师可以采用灵活多变、总结提炼等教学方式讲题，学生可以积极参与、主动思考的状态接受学习，从而提高数学解题的有效性。
一、延伸课后习题，提高数学解题的有效性。
做习题是学生掌握知识、形成技能、发展智力的重要手段，教师要善于将习题拓展，设计各种形式的练习，使前后知识有机串连，融会贯通，使学生更加扎实地掌握所学知识。
在完成三角形的角平分线和中线的教学后，为培养学生综合应用知识解决问题的能力，练习课上笔者利用作业本的题目（七年级下三角形的角平分线和中线的作业本第六题），进行拓展延伸。深刻地展示了三角形两角内、外角平分线的交角与第三角的关系，它不仅具有形式上对称美，而且对三角形中角度的计算也是一个重要的结论。
例1，如图1，△ABC的两条内角平分线BD、CE相交于P。
（1）已知∠A=60°，则∠BPC的度数是。
（2）设∠A=α ，则用α的代数式表示∠BPC的度数是。
解：（2）∵BD平分∠ABC；
∴∠PBC＝ ∠ABC。
∵CE平分∠ACB；
∴∠PCB＝ ∠ACB。
∴∠PBC＋∠PCB＝ （∠ABC＋∠ACB）
＝ （180°－∠A）＝90°－ ∠A
∴ ∠BPC＝180°－（∠PBC＋∠PCB）
＝180°－（90°－ ∠A）＝90°＋ ∠A
〖变式题1〗 这里的∠BPC是△ABC的两条内角平分线的
交角，它和∠A的关系是∠BPC＝90°＋ ∠A，我们不妨作如下
思考：如果是△ABC的两条外角平分线的交角（图2），还有没有这种关系呢？如果是△ABC的一条内角平分线与一条外角平分线的交角（图3），那么这种关系是否成立呢？
结合图2、图3，∠BPC与∠A的关系不满足∠BPC=90°＋
，图2中∠BPC与∠A的关系为∠BPC＝90°－ ，图
3中∠BPC与∠A的关系为∠BPC＝ 。（证明过程让学生自
主完成并交流）
〖变式题2〗 如果将题目增加一个条件：即∠ABC与∠ACB内角平分线相交于P。过点P作DE∥BC交AB于D，交AC于E，则DE＝BD＋CE（见图4）。
解：如图4，∵PB平分∠ABC；
∴∠DBP＝∠PBC。
∵DE∥BC；∴∠DPB＝∠PBC。
∴∠DBP＝∠DPB，DB＝DP，同理，EC＝EP。
∴DE＝DP＋EP＝BD＋CE。
〖变式题3〗 如果将题目中的两条内角平分线变为两条外角平分线或一条内角平分线与一条外角平分线，其他条件不变，那么DE、BD、CE这三条线段之间的这种关系是否还成立呢？见图5、图6。
在图5中，这种关系还是成立的，即DE＝BD＋CE。但是在图6中这种关系不成立，图6中它们的关系变为DE＝BD－CE。（给学生足够的时间交流）
在三角形中，既有角平分线又有平行线的图形中必然存在等腰三角形，这是三角形的一个基本图形。本题巧妙地利用了这一基本图形，找到了三条线段之间的关系。这个基本图形对三角形中线段的计算，是一个重要的结论。
挖掘习题的可变性，是习题教学中激发学生创新思维能力的重要途径。围绕一定的教学目的，抓住知识与技能的某种关系，可以将课本中的习题进行一题多变，如可将问题的条件由特殊推广到一般，或由浅显引向深入，由单一的结果发展到多种可能，甚至可以改变问题的全貌，这样对拓宽学生的思维视野，培养学生学习数学的积极性和创造性、发展学生智力是大有裨益的。
二、提炼问题的基本模型，提高数学解题的有效性。
基本模型实质上是一个数学问题在剔除无关信息后的本质结构，借助基本模型思考问题，往往可将复杂问题简单化，在较短时间内抓住问题的本质，既可防止无关信息的负面干扰，又能以“块到快”的思维模式代替“点到点”的思维模式，从方法论的角度提高思维的敏捷性，达到举一反三、触类旁通的目的。
例2，如图7，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C。AB＝4，DC＝1，BC＝4时，在线段BC上是否存在点P，使AP⊥PD。如果存在，求线段BP的长；如果不存在，请说明理由。
分析：由已知得∠B＝∠C＝∠APD ＝90°，利用同角的余角相等的性质，得出∠BAP＝∠CPD，从而得到△ABP∽△PCD。这是本题的解题关键，因此不难提炼出基本模型图（图9）。
解：如图8，如果存在点P，使AP⊥PD，那么∠APD＝90°，设BP的长为x。
∵∠B＝∠C＝∠APD＝90°；
∴∠BPA＋∠BAP＝90°，∠BPA＋∠CPD＝90°。
∴∠BAP＝∠CPD。
又∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCD。
∴ ，即 ；解得x＝2。
∴在线段BC上存在点P，使AP⊥PD，此时线段BP＝2。
在本例的基础上，进一步提升思维高度，给出拓展题：
〖变式题〗 如图10，矩形ABCG（AB＜BC）与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，问：使∠APE为直角的点P有几个？为什么？
在解答此题时，学生利用图形中所蕴含的基本模型图（图9）能快速获得解题思路，可以应用三角形相似和一元二次方程的计算，也可以通过直径所对的圆周角是直角的推理论证，都能够得到相同的结果。
教师在解题教学中，有意识地引导学生识别和应用基本模型图，并应用基本模型图沟通相关的问题，从而有效地促进了解题过程中学生思维的正向迁移，化生为熟，加快了解题速度。这种有意义接受学习符合“在学生已有的知识经验基础上开展数学教学活动”这一新课程理念。但这一切需要教师在教学中不断培养
学生发觉、提炼、总结基本图形的能力，同时提高学生的数学素养和和创造性解决问题的能力。
三、建立合理的数学模型，提高数学解题的有效性。
数学建模是运用数学的简单化原理，用数学的符号来表达问题中所涉及的事物及其数量之间的关系。学会将具体问题数学化是数学素养的一个重要体现，只有具备了这一本领，才能更好地学会和运用数学的观点和方法去认识、处理和解决自然科学及现实世界中各式各样的具体问题。将具体问题数学化，是数学思考的前提，是学生学习数学的重要内容。
例3，一位篮球运动员在距篮筐下（篮筐中心点在地面上的垂直投影）4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确地落入篮筐内。已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m。
1．建立适当的直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数解析式；
2．如果该运动员的身高为1.8m，在这次跳投时，球在头顶0.25m处出手，请问他跳起的高度是多少？
本题是一道数学建模题，解决问题需经过一定的数学加工，对学生运用所学知识解决实际问题有相当大的帮助。我们知道，数学建模题的关键是如何将实际问题数学化。在该问题中，首先我们应将“人”和“篮筐”进行数学化处理：把“人”看作“一条线段”，而把人所站地面的位置、篮筐的中心及其在地面上垂直投影看作“点”，然后把这个“点”和这条“线段”放到一个平面内，这样就可以选择合适的位置建立直角坐标系了。针对本题建立直角坐标系有多种方案，因此，需要通过仔细分析，反复比较来建立合适直角坐标系。
解：（1）设篮筐中心点为C，C
在地面上的垂直投影点为o，运动员
所站的地面位置为A，以直线AO为
x轴，OC所在直线为y轴，建立如图11
所示直角坐标系，则该抛物线的顶
点坐标为（－1.5，3.5），并经过点（0，
3.05），设抛物线的函数关系式为y＝
a（x+1.5）2＋3.5，将点（0，3.05）代人，解得
∴抛物线的函数关系式为
（2）∵当x＝－4时，y＝2.25m。
∴运动员跳起的高度＝2.25－1.8－0.25＝0.2m。
这里，我们把题目中所提到的一些“点”用字母进行表示，这样既将问题进行数学化，同时也使表达更方便、简洁，充分体现了数学的特点。
由此可见，在数学教学中，通过将课本中的习题进行一题多变，提供一些现实的数学模型，让学生通过数学建模以及探索研究活动，亲身经历数学知识建构的过程，从而帮助学生深入理解数学知识。这样不仅可以提高学生数学理解的层次，丰富其数学经验，使他们获得扩充、生成新知识的能力，而且也可以进一步培养和提高他们理解能力。
参考文献
1 高慎英、刘良华.有效教学论［M］.广东教育出版社，2006
2 陈开金. 提炼基本数学模型，提高解题教学效益［J］. 中国数学教育，2007.12
3 郭澄东. 一道课本习题的引申［J］. 中学数学教学参考，2008.8
4 吴 越、周元锋. 新课程数学复习课的设计［J］. 中学数学教与学，2007.6
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】延伸 提炼 建模
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006－9682（2009）02－0131－02
学生已有的知识经验是教学活动的起点，是教学成功的有效策略。利用这个优势，我们可以将新授课的自主探究、合作交流学习和练习课的有意义接受学习结合起来，练习课中教师可以采用灵活多变、总结提炼等教学方式讲题，学生可以积极参与、主动思考的状态接受学习，从而提高数学解题的有效性。
一、延伸课后习题，提高数学解题的有效性。
做习题是学生掌握知识、形成技能、发展智力的重要手段，教师要善于将习题拓展，设计各种形式的练习，使前后知识有机串连，融会贯通，使学生更加扎实地掌握所学知识。
在完成三角形的角平分线和中线的教学后，为培养学生综合应用知识解决问题的能力，练习课上笔者利用作业本的题目（七年级下三角形的角平分线和中线的作业本第六题），进行拓展延伸。深刻地展示了三角形两角内、外角平分线的交角与第三角的关系，它不仅具有形式上对称美，而且对三角形中角度的计算也是一个重要的结论。
例1，如图1，△ABC的两条内角平分线BD、CE相交于P。
（1）已知∠A=60°，则∠BPC的度数是。
（2）设∠A=α ，则用α的代数式表示∠BPC的度数是。
解：（2）∵BD平分∠ABC；
∴∠PBC＝ ∠ABC。
∵CE平分∠ACB；
∴∠PCB＝ ∠ACB。
∴∠PBC＋∠PCB＝ （∠ABC＋∠ACB）
＝ （180°－∠A）＝90°－ ∠A
∴ ∠BPC＝180°－（∠PBC＋∠PCB）
＝180°－（90°－ ∠A）＝90°＋ ∠A
〖变式题1〗 这里的∠BPC是△ABC的两条内角平分线的
交角，它和∠A的关系是∠BPC＝90°＋ ∠A，我们不妨作如下
思考：如果是△ABC的两条外角平分线的交角（图2），还有没有这种关系呢？如果是△ABC的一条内角平分线与一条外角平分线的交角（图3），那么这种关系是否成立呢？
结合图2、图3，∠BPC与∠A的关系不满足∠BPC=90°＋
，图2中∠BPC与∠A的关系为∠BPC＝90°－ ，图
3中∠BPC与∠A的关系为∠BPC＝ 。（证明过程让学生自
主完成并交流）
〖变式题2〗 如果将题目增加一个条件：即∠ABC与∠ACB内角平分线相交于P。过点P作DE∥BC交AB于D，交AC于E，则DE＝BD＋CE（见图4）。
解：如图4，∵PB平分∠ABC；
∴∠DBP＝∠PBC。
∵DE∥BC；∴∠DPB＝∠PBC。
∴∠DBP＝∠DPB，DB＝DP，同理，EC＝EP。
∴DE＝DP＋EP＝BD＋CE。
〖变式题3〗 如果将题目中的两条内角平分线变为两条外角平分线或一条内角平分线与一条外角平分线，其他条件不变，那么DE、BD、CE这三条线段之间的这种关系是否还成立呢？见图5、图6。
在图5中，这种关系还是成立的，即DE＝BD＋CE。但是在图6中这种关系不成立，图6中它们的关系变为DE＝BD－CE。（给学生足够的时间交流）
在三角形中，既有角平分线又有平行线的图形中必然存在等腰三角形，这是三角形的一个基本图形。本题巧妙地利用了这一基本图形，找到了三条线段之间的关系。这个基本图形对三角形中线段的计算，是一个重要的结论。
挖掘习题的可变性，是习题教学中激发学生创新思维能力的重要途径。围绕一定的教学目的，抓住知识与技能的某种关系，可以将课本中的习题进行一题多变，如可将问题的条件由特殊推广到一般，或由浅显引向深入，由单一的结果发展到多种可能，甚至可以改变问题的全貌，这样对拓宽学生的思维视野，培养学生学习数学的积极性和创造性、发展学生智力是大有裨益的。
二、提炼问题的基本模型，提高数学解题的有效性。
基本模型实质上是一个数学问题在剔除无关信息后的本质结构，借助基本模型思考问题，往往可将复杂问题简单化，在较短时间内抓住问题的本质，既可防止无关信息的负面干扰，又能以“块到快”的思维模式代替“点到点”的思维模式，从方法论的角度提高思维的敏捷性，达到举一反三、触类旁通的目的。
例2，如图7，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C。AB＝4，DC＝1，BC＝4时，在线段BC上是否存在点P，使AP⊥PD。如果存在，求线段BP的长；如果不存在，请说明理由。
分析：由已知得∠B＝∠C＝∠APD ＝90°，利用同角的余角相等的性质，得出∠BAP＝∠CPD，从而得到△ABP∽△PCD。这是本题的解题关键，因此不难提炼出基本模型图（图9）。
解：如图8，如果存在点P，使AP⊥PD，那么∠APD＝90°，设BP的长为x。
∵∠B＝∠C＝∠APD＝90°；
∴∠BPA＋∠BAP＝90°，∠BPA＋∠CPD＝90°。
∴∠BAP＝∠CPD。
又∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCD。
∴ ，即 ；解得x＝2。
∴在线段BC上存在点P，使AP⊥PD，此时线段BP＝2。
在本例的基础上，进一步提升思维高度，给出拓展题：
〖变式题〗 如图10，矩形ABCG（AB＜BC）与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，问：使∠APE为直角的点P有几个？为什么？
在解答此题时，学生利用图形中所蕴含的基本模型图（图9）能快速获得解题思路，可以应用三角形相似和一元二次方程的计算，也可以通过直径所对的圆周角是直角的推理论证，都能够得到相同的结果。
教师在解题教学中，有意识地引导学生识别和应用基本模型图，并应用基本模型图沟通相关的问题，从而有效地促进了解题过程中学生思维的正向迁移，化生为熟，加快了解题速度。这种有意义接受学习符合“在学生已有的知识经验基础上开展数学教学活动”这一新课程理念。但这一切需要教师在教学中不断培养
学生发觉、提炼、总结基本图形的能力，同时提高学生的数学素养和和创造性解决问题的能力。
三、建立合理的数学模型，提高数学解题的有效性。
数学建模是运用数学的简单化原理，用数学的符号来表达问题中所涉及的事物及其数量之间的关系。学会将具体问题数学化是数学素养的一个重要体现，只有具备了这一本领，才能更好地学会和运用数学的观点和方法去认识、处理和解决自然科学及现实世界中各式各样的具体问题。将具体问题数学化，是数学思考的前提，是学生学习数学的重要内容。
例3，一位篮球运动员在距篮筐下（篮筐中心点在地面上的垂直投影）4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确地落入篮筐内。已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m。
1．建立适当的直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数解析式；
2．如果该运动员的身高为1.8m，在这次跳投时，球在头顶0.25m处出手，请问他跳起的高度是多少？
本题是一道数学建模题，解决问题需经过一定的数学加工，对学生运用所学知识解决实际问题有相当大的帮助。我们知道，数学建模题的关键是如何将实际问题数学化。在该问题中，首先我们应将“人”和“篮筐”进行数学化处理：把“人”看作“一条线段”，而把人所站地面的位置、篮筐的中心及其在地面上垂直投影看作“点”，然后把这个“点”和这条“线段”放到一个平面内，这样就可以选择合适的位置建立直角坐标系了。针对本题建立直角坐标系有多种方案，因此，需要通过仔细分析，反复比较来建立合适直角坐标系。
解：（1）设篮筐中心点为C，C
在地面上的垂直投影点为o，运动员
所站的地面位置为A，以直线AO为
x轴，OC所在直线为y轴，建立如图11
所示直角坐标系，则该抛物线的顶
点坐标为（－1.5，3.5），并经过点（0，
3.05），设抛物线的函数关系式为y＝
a（x+1.5）2＋3.5，将点（0，3.05）代人，解得
∴抛物线的函数关系式为
（2）∵当x＝－4时，y＝2.25m。
∴运动员跳起的高度＝2.25－1.8－0.25＝0.2m。
这里，我们把题目中所提到的一些“点”用字母进行表示，这样既将问题进行数学化，同时也使表达更方便、简洁，充分体现了数学的特点。
由此可见，在数学教学中，通过将课本中的习题进行一题多变，提供一些现实的数学模型，让学生通过数学建模以及探索研究活动，亲身经历数学知识建构的过程，从而帮助学生深入理解数学知识。这样不仅可以提高学生数学理解的层次，丰富其数学经验，使他们获得扩充、生成新知识的能力，而且也可以进一步培养和提高他们理解能力。
参考文献
1 高慎英、刘良华.有效教学论［M］.广东教育出版社，2006
2 陈开金. 提炼基本数学模型，提高解题教学效益［J］. 中国数学教育，2007.12
3 郭澄东. 一道课本习题的引申［J］. 中学数学教学参考，2008.8
4 吴 越、周元锋. 新课程数学复习课的设计［J］. 中学数学教与学，2007.6
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文