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荷马史诗中有一位善跑的英雄，名叫阿基里斯。史诗中描写这位阿基里斯是世界上跑得最快的人，谁也没法跟他比。不过，古希腊的大诡辩家芝诺却觉得，阿基里斯跑是跑得快，但未必能追得上一只走起路来慢慢吞吞的小乌龟。
谁都知道，既然阿基里斯跑得快，要追上乌龟，那不是轻而易举的事吗?芝诺的学生听说阿基里斯跑不过一只乌龟，也个个感到惊奇，自己的老师知识那样渊博，怎么连这样简单的问题也会出错呢？
一天，雅典正是百花盛开映着艳阳，人们的精神格外抖擞。勤学好思的学生围着芝诺，听他滔滔不绝的论述。这时有位学生突然想到，何不趁此机会，问问老师阿基里斯与乌龟赛跑究竟是怎么一回事。于是，他贸然提问：“尊敬的老师，您给我们讲解了好多难题，可我们还想知道阿基里斯为什么追不上一只乌龟。”
“这个问题我也一直没有解决。”芝诺一下子陷入了沉思。
“您知道得那么多，还有不懂的问题吗?”学生们恭敬地问道。
“要知道，懂得愈多的人就会觉得自己愈是无知。”芝诺回答。
学生们都若有所思，不过还是期待老师讲讲阿基里斯为什么不能追上乌龟。
“好吧，我就来讲阿基里斯与乌龟赛跑的故事。”芝诺终于同意给学生们讲了。
大家都知道荷马史诗中的阿基里斯跑得非常快，为了便于计算，我们假定他的速度是乌龟速度的10倍。阿基里斯与乌龟赛跑的路程是1千米。道路很平坦，天气又好，比赛在公平的条件下进行。不过，说好是阿基里斯追赶乌龟，所以必须让乌龟先跑十分之一千米，然后阿基里斯去追。这样的话，问题就来了。当阿基里斯追到十分之一千米的地方，乌龟又向前跑了百分之一千米；阿基里斯再追百分之一千米，乌龟又向前跑了千分之一千米；阿基里斯又追千分之一千米，乌龟又向前跑了万分之一千米……这样一直追下去，阿基里斯会追上乌龟吗？
学生们听老师说到这里，个个都愣住了。他们心里认为芝诺是错的，但却无法指出他错在哪里。其实，这是古希腊著名的芝诺难题，现在也称这类难题为悖论。悖论现在已经发展到较高级的阶段，它的存在能为人们锻炼逻辑思维能力提供帮助，在数学发展的历程中起过作用。
其实，芝诺问题用如今的极限理论很容易解决。
假设乌龟和阿基里斯赛跑，乌龟提前跑了一段，那么，当阿基里斯到达乌龟的起点时，乌龟已向前爬了一段距离；当阿基里斯跑完这段距离时，乌龟又向前爬了一段。阿基里斯再跑完这一段，乌龟又向前爬了一段。如此下去直至无穷，所以阿基里斯永远也追不上乌龟。
这是一个很有趣的悖论。如果芝诺的结论是正确的，则追赶者无论跑得多么快也追不上在前面跑的人，这显然与我们在生活中经常见到的现象相违背。
当然芝诺的说法中有合理的成分：阿基里斯追赶乌龟的过程确实是一个无穷的过程——一个无穷的位置变化过程。假定，从阿基里斯开始追赶算起，阿基里斯与乌龟各自都有作匀速运动。不妨设阿基里斯的速度是乌龟速度的10倍，并设阿基里斯开始追赶时，乌龟在阿基里斯前面1千米处，再设乌龟的速度是每小时0.1千米，则确如芝诺所说：当阿基里斯跑完1千米时，乌龟已从1千米处向前爬了0.1千米；当阿基里斯跑完这0.1千米时，乌龟又向前爬了0.01千米；当阿基里斯又跑完这0.01千米时，乌龟又向前爬了0.001千米。
从阿基里斯开始追赶乌龟时阿基里斯与乌龟二者的位置算起，在阿基里斯追赶乌龟的整个过程中，阿基里斯每到达乌龟的一个位置，乌龟都到达了一个新的位置；阿基里斯到达了乌龟的新的位置时，乌龟会到达一个更新的位置。于是，在阿基里斯追赶乌龟的过程中，阿基里斯与乌龟都会到达无穷个位置。把每两个相邻位置之间的距离统统加起来，所得到的就是在阿基里斯追赶乌龟的过程中他们二者分别跑过的总路程。
阿基里斯跑过的总路程是：
1+0.1+0.001+…+18(1-0.1)＝10/9
乌龟跑过的总路程是：
0.1+0.01+0.001+…+(0.1)/(1-0.1)=1/9
芝诺说法中的错误在于：他把阿基里斯追赶乌龟的无穷的位置变化过程与无穷的时间变化过程混为一谈了。
阿基里斯追赶乌龟时所经过的1千米+0.1千米+0.01千米+0.001千米+…，这个无穷的位置变化过程需要的时间为：10/9千米÷1千米/小时=10/9小时，并不需要无限长的时间！
也就是说，阿基里斯追赶乌龟的无穷的位置变化过程只需要10/9小时就完成了。
从阿基里斯开始追赶算起，他用10/9小时就追上了乌龟。在10/9小时内，芝诺的说法成立，即：阿基里斯每达到乌龟的一个位置时，乌龟又爬到了一个新位置。但是在10/9小时之后，就再也没有这种情况发生了。如果在10/9小时以后阿基里斯继续向前跑，他很快就会把乌龟远远地甩在后面。
芝诺的结论“阿基里斯永远也追不上乌龟”中的“永远”一词，指的当然是“时间”。条件中谈的是“位置”的变化，结论却谈“时间”，这是芝诺悖论偷梁换柱之所在。
编辑/李 章
谁都知道，既然阿基里斯跑得快，要追上乌龟，那不是轻而易举的事吗?芝诺的学生听说阿基里斯跑不过一只乌龟，也个个感到惊奇，自己的老师知识那样渊博，怎么连这样简单的问题也会出错呢？
一天，雅典正是百花盛开映着艳阳，人们的精神格外抖擞。勤学好思的学生围着芝诺，听他滔滔不绝的论述。这时有位学生突然想到，何不趁此机会，问问老师阿基里斯与乌龟赛跑究竟是怎么一回事。于是，他贸然提问：“尊敬的老师，您给我们讲解了好多难题，可我们还想知道阿基里斯为什么追不上一只乌龟。”
“这个问题我也一直没有解决。”芝诺一下子陷入了沉思。
“您知道得那么多，还有不懂的问题吗?”学生们恭敬地问道。
“要知道，懂得愈多的人就会觉得自己愈是无知。”芝诺回答。
学生们都若有所思，不过还是期待老师讲讲阿基里斯为什么不能追上乌龟。
“好吧，我就来讲阿基里斯与乌龟赛跑的故事。”芝诺终于同意给学生们讲了。
大家都知道荷马史诗中的阿基里斯跑得非常快，为了便于计算，我们假定他的速度是乌龟速度的10倍。阿基里斯与乌龟赛跑的路程是1千米。道路很平坦，天气又好，比赛在公平的条件下进行。不过，说好是阿基里斯追赶乌龟，所以必须让乌龟先跑十分之一千米，然后阿基里斯去追。这样的话，问题就来了。当阿基里斯追到十分之一千米的地方，乌龟又向前跑了百分之一千米；阿基里斯再追百分之一千米，乌龟又向前跑了千分之一千米；阿基里斯又追千分之一千米，乌龟又向前跑了万分之一千米……这样一直追下去，阿基里斯会追上乌龟吗？
学生们听老师说到这里，个个都愣住了。他们心里认为芝诺是错的，但却无法指出他错在哪里。其实，这是古希腊著名的芝诺难题，现在也称这类难题为悖论。悖论现在已经发展到较高级的阶段，它的存在能为人们锻炼逻辑思维能力提供帮助，在数学发展的历程中起过作用。
其实，芝诺问题用如今的极限理论很容易解决。
假设乌龟和阿基里斯赛跑，乌龟提前跑了一段，那么，当阿基里斯到达乌龟的起点时，乌龟已向前爬了一段距离；当阿基里斯跑完这段距离时，乌龟又向前爬了一段。阿基里斯再跑完这一段，乌龟又向前爬了一段。如此下去直至无穷，所以阿基里斯永远也追不上乌龟。
这是一个很有趣的悖论。如果芝诺的结论是正确的，则追赶者无论跑得多么快也追不上在前面跑的人，这显然与我们在生活中经常见到的现象相违背。
当然芝诺的说法中有合理的成分：阿基里斯追赶乌龟的过程确实是一个无穷的过程——一个无穷的位置变化过程。假定，从阿基里斯开始追赶算起，阿基里斯与乌龟各自都有作匀速运动。不妨设阿基里斯的速度是乌龟速度的10倍，并设阿基里斯开始追赶时，乌龟在阿基里斯前面1千米处，再设乌龟的速度是每小时0.1千米，则确如芝诺所说：当阿基里斯跑完1千米时，乌龟已从1千米处向前爬了0.1千米；当阿基里斯跑完这0.1千米时，乌龟又向前爬了0.01千米；当阿基里斯又跑完这0.01千米时，乌龟又向前爬了0.001千米。
从阿基里斯开始追赶乌龟时阿基里斯与乌龟二者的位置算起，在阿基里斯追赶乌龟的整个过程中，阿基里斯每到达乌龟的一个位置，乌龟都到达了一个新的位置；阿基里斯到达了乌龟的新的位置时，乌龟会到达一个更新的位置。于是，在阿基里斯追赶乌龟的过程中，阿基里斯与乌龟都会到达无穷个位置。把每两个相邻位置之间的距离统统加起来，所得到的就是在阿基里斯追赶乌龟的过程中他们二者分别跑过的总路程。
阿基里斯跑过的总路程是：
1+0.1+0.001+…+18(1-0.1)＝10/9
乌龟跑过的总路程是：
0.1+0.01+0.001+…+(0.1)/(1-0.1)=1/9
芝诺说法中的错误在于：他把阿基里斯追赶乌龟的无穷的位置变化过程与无穷的时间变化过程混为一谈了。
阿基里斯追赶乌龟时所经过的1千米+0.1千米+0.01千米+0.001千米+…，这个无穷的位置变化过程需要的时间为：10/9千米÷1千米/小时=10/9小时，并不需要无限长的时间！
也就是说，阿基里斯追赶乌龟的无穷的位置变化过程只需要10/9小时就完成了。
从阿基里斯开始追赶算起，他用10/9小时就追上了乌龟。在10/9小时内，芝诺的说法成立，即：阿基里斯每达到乌龟的一个位置时，乌龟又爬到了一个新位置。但是在10/9小时之后，就再也没有这种情况发生了。如果在10/9小时以后阿基里斯继续向前跑，他很快就会把乌龟远远地甩在后面。
芝诺的结论“阿基里斯永远也追不上乌龟”中的“永远”一词，指的当然是“时间”。条件中谈的是“位置”的变化，结论却谈“时间”，这是芝诺悖论偷梁换柱之所在。
编辑/李 章