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摘要：近些年来随着科技的进步，许多新技术不断的被应用于生产和生活之中，在这些技术中，小波技术是一个非常典型的代表。小波分析作为一个数学新领域，不仅具有深刻的理论意义，而且具有广泛应用意义。本文就小波分析在大地测量中应用进行了浅显的探讨。
关键词：小波分析；大地测量；应用
中图分类号：E992文献标识码： A
引言
小波分析(WaveletAnalysis)是指用有限长或快速衰减母小波(MotherWavelet)的震荡波形来表示信号。小波分析的应用伴随着小波分析理论研究的进行而进行，随着小波分析理论的成熟和完善，在诸多领域中都有着广泛的应用。其中，包括数学领域的诸多科学、信号分析、图像处理、计算机分类与识别、地震勘探数据处理等。小波分析作为一个数学新领域，不仅具有深刻的理论意义，而且具有广泛的应用意义。本文就小波分析在大地测量中应用进行了探讨。
一、小波分析的形成
现阶段，小波技术其理论以及方法基本已经成型，从其发展的历程来看，我们可以将其分为3个阶段，第一阶段是Fourier变换阶段。在这一阶段，信号分析常采用时域和频域两种形式完成信号的基本刻画。时域分析和频域分析都有一定的局限性，给诸多突变信号分析带来不便。第二阶段，短时Fourier变换阶段。这一阶段实现了信号时频局部化分析，但是其分辨率较为有限。第三阶段，小波分析阶段。这一阶段基于短时Fourier变换形成小波变换法，实现了时频局部化分析。小波理论思想主要源于信号分析的伸缩与平移，在20世纪90年代中期，Morlet与Grossman共同提出了小波变换的几何体系，成为了小波分析发展的里程碑。20世纪90年代末期，Daubechies建立了有限支集的正交小波基。随后，基于条样条函数的正交小波出现。至此，小波分析的系统理论建立起来。随着理论研究的进一步深入发展，小波理论也在不断进步和发展。随着小波理论的成熟和完善，在大地测量中的应用逐步形成并逐步扩展，并形成了诸多研究成果。
二、小波分析在大地测量中的应用与进展
1.小波分析在地球重力场的应用
地球重力场在大地测量领域中占有重要地位，是现代大地测量的重要领域之一。在地球重力场的建模中，往往是通过球谐函数展开式来进行。但是球谐函数在应用时常常因为球谐系数的变化而导致模型的变更，如此一来，使局部重力场逼近以及重力场时变的研究极为困难。此外，由于在地球重力场研究中应用球谐函数增加模型分辨率需要增加球諧级数的阶数，导致未知数增加，从而导致球谐函数解呈现不稳定的状态，使地球重力场模型难以有效逼近。
小波分析在地球重力场研究中应用，则使得球面函数的逼近更加有效。通过将球谐函数与小波分析相结合，在重力场的低频部分应用球谐级数，而在高频部分应用小波级数，使两者的优势都充分发挥出来，从而使重力场模型精度和分辨率都得到显著提高，具有广阔的发展前景。此外，小波分析的多分辨分析在重力场逼近中也有较为广泛的应用。通过小波分析的多分辨分析，能使重力场建模、估计和数据融合更加方便准确。如利用小波变换，形成重力场多尺度逼近方法，从而获得不同尺度上重力场信号最优估计。小波分析在大地测量边值问题中应用研究也不断发展，将边值问题的解通过有限个小波系数来进行确定，在解决卫星重力梯度的重力场逼近问题中得到很好的应用。虽然这些研究还有诸多地方需要完善，但是我们不难发现，小波分析在重力场逼近问题中应用具有广阔的前景。
2.小波分析在数值方法改进中的应用
小波变换算法高效，而且在处理异常和数据压缩方面也具有较强能力。基于此，在大地测量中的数值计算速度以及稳定性方面应用小波分析，将体现出极高的应用价值。在大地测量中，奇异积分的计算是一个重要问题。大地测量中的奇异积分主要有Stokes公式、Vening-Meinesz公式等，由于这些奇异积分往往在奇异点附近迅速衰减，导致奇异核较大，而应用小波分析。通过舍弃给定阀值的小波系数，则可以使奇异核得到有效压缩，进而使奇异积分计算速度和计算精度得到有效提高。此外，物理大地测量中的不适定问题在诸多地方都有体现，有关重力场反问题的不适定问题更是普遍存在。在解决诸如密度反演等重力场反问题中的不适定问题时，通常采用的方法就是正则化，使不适定问题的解更加稳定。而小波分析在不适定问题的应用则开辟了正则化新方法，不仅使传统正则化方法的优点得以保留，而且利用多尺度分析使已有解更加逼近。随着大地测量技术的发展，其中很多数据分析都和大型线性方程组有密切关系。由于大型线性方程组求解较为困难，使大地测量工作难度加大。而小波分析在大型线性系统求解问题中应用，将大型的矩阵转变为稀疏矩阵，从而使大型线性方程的求
解更加简便，在卫星数据处理中具有显著的优势。
3.小波分析在大地测量的滤波和估计中应用
滤波是大地测量中的重要环节。小波分析在大地测量的滤波中应用时，可将小波变换视作可变宽带的带通滤波。信号通过小波分解而散布到不同尺度空间和细节空间，各个频带之间无交叉性，信号低频成分分解在尺度空间，而信号高频成分分解在细节空间。对于高频部分的噪声，可通过小波系数修改实现滤波。由于小波分析能实现信号的时频刻画，所以通过小波分析能较容易地找到误差出现的具体时域或频域。在动态大地测量系统中，应用小波分析可以使误差分析和处理变得更为简便，具有极高的应用价值。
三、地球引力场的小波系数展开
在实际应用中，如果将引力场用小波系数展开，在数据分析后就可利用多分辨分析方法来分析引力场在不同尺度下的结构和性质，利用小波变换的奇异性检测功能来确定重力异常源的分布及异常程度如何，利用小波变换的空频局部化分析方法分析重力场的空间域及频率域的精细结构，从而提高重力场理论在地球物理及卫星大地测量学中的地位和作用。
四、小波分析在大地测量领域应用展望
小波变换是小波分析的一个方面，并作为一种新兴的数学分析和数值计算工具，在地球物理和大地测量领域的应用尚处于探索阶段，其应用价值需进一步拓展。在小波变换的数学理论已基本完善的今天，人们对小波的认识也已经过了那种盲目推宠的“炙热期”，更多的是扎实实地寻求小波理论与本学科的结合点，以期充分发挥小波分析统一性、局部性的特点，使其能在专业研究和分析中担当重要的角色。在地球物理中，地震信号是地球物理资料的主要来源，根据小波变换的多尺度分析原理，可把地震信号分成不同的通道和频率来分析，进行数字滤波、数据压缩、边缘检测等方面。并可将分解的数据来进行地震反演，提高层析成像分辨率，小波变换的应用将进一步拓展。在大地测量领域，建立合适的地球重力场模型还有很大的一部分工作可做，理论上需进一步完善，使其能更好地应用到实际生产中去。大地测量中的仪器检测、卫星信号、固体潮、地壳变形运动、电离层与大气层的变化以及构造应力场等都能够视为时间和空间变化的信号，小波分析可以从信噪比低的信号中放大信号，突出局部特性的优势将发挥越来越大的作用。
五、结语
小波分析作为一种强大数学工具，其研究和应用范围极为广阔，小波分析在大地测量的地球重力场问题的应用、数值方法改进中的应用、滤波和估计中的应用等都体现了其卓越的应用价值。但是，小波分析在大地测量中的应用尚需进一步深入研究。相信随着小波分析在大地测量中的应用研究更加深入和完善，小波分析的应用前景将会更加广阔。
参考文献
[1]于锦海,朱灼文,郭建峰.利用小波理论计算物理大地测量中的奇异积分[J].武汉测绘科技大学学报,2009(01).
[2]于锦海,朱灼文,彭富清.Molodensky边值问题中解析延拓法g1项的小波算法[J].地球物理学报,2011(01).
[3]周永宏,郑大伟,廖新浩.日长变化、大气角动量和ENSO:1997～1998厄尔尼诺和1998～1999拉尼娜信号[J].测绘学报,2012(04).
[4]FreedenW,WindheuserU.SphericalWaveletTransformandItsDiscretization[J].AdvancesinComputationalMathematics,2012(01).
[5]陈俊勇,胡建国,晁定波,李建成.国际大地测量技术的新进展——国际大地测量学术会议简介(续)[J].测绘通报,2012(02).
关键词：小波分析；大地测量；应用
中图分类号：E992文献标识码： A
引言
小波分析(WaveletAnalysis)是指用有限长或快速衰减母小波(MotherWavelet)的震荡波形来表示信号。小波分析的应用伴随着小波分析理论研究的进行而进行，随着小波分析理论的成熟和完善，在诸多领域中都有着广泛的应用。其中，包括数学领域的诸多科学、信号分析、图像处理、计算机分类与识别、地震勘探数据处理等。小波分析作为一个数学新领域，不仅具有深刻的理论意义，而且具有广泛的应用意义。本文就小波分析在大地测量中应用进行了探讨。
一、小波分析的形成
现阶段，小波技术其理论以及方法基本已经成型，从其发展的历程来看，我们可以将其分为3个阶段，第一阶段是Fourier变换阶段。在这一阶段，信号分析常采用时域和频域两种形式完成信号的基本刻画。时域分析和频域分析都有一定的局限性，给诸多突变信号分析带来不便。第二阶段，短时Fourier变换阶段。这一阶段实现了信号时频局部化分析，但是其分辨率较为有限。第三阶段，小波分析阶段。这一阶段基于短时Fourier变换形成小波变换法，实现了时频局部化分析。小波理论思想主要源于信号分析的伸缩与平移，在20世纪90年代中期，Morlet与Grossman共同提出了小波变换的几何体系，成为了小波分析发展的里程碑。20世纪90年代末期，Daubechies建立了有限支集的正交小波基。随后，基于条样条函数的正交小波出现。至此，小波分析的系统理论建立起来。随着理论研究的进一步深入发展，小波理论也在不断进步和发展。随着小波理论的成熟和完善，在大地测量中的应用逐步形成并逐步扩展，并形成了诸多研究成果。
二、小波分析在大地测量中的应用与进展
1.小波分析在地球重力场的应用
地球重力场在大地测量领域中占有重要地位，是现代大地测量的重要领域之一。在地球重力场的建模中，往往是通过球谐函数展开式来进行。但是球谐函数在应用时常常因为球谐系数的变化而导致模型的变更，如此一来，使局部重力场逼近以及重力场时变的研究极为困难。此外，由于在地球重力场研究中应用球谐函数增加模型分辨率需要增加球諧级数的阶数，导致未知数增加，从而导致球谐函数解呈现不稳定的状态，使地球重力场模型难以有效逼近。
小波分析在地球重力场研究中应用，则使得球面函数的逼近更加有效。通过将球谐函数与小波分析相结合，在重力场的低频部分应用球谐级数，而在高频部分应用小波级数，使两者的优势都充分发挥出来，从而使重力场模型精度和分辨率都得到显著提高，具有广阔的发展前景。此外，小波分析的多分辨分析在重力场逼近中也有较为广泛的应用。通过小波分析的多分辨分析，能使重力场建模、估计和数据融合更加方便准确。如利用小波变换，形成重力场多尺度逼近方法，从而获得不同尺度上重力场信号最优估计。小波分析在大地测量边值问题中应用研究也不断发展，将边值问题的解通过有限个小波系数来进行确定，在解决卫星重力梯度的重力场逼近问题中得到很好的应用。虽然这些研究还有诸多地方需要完善，但是我们不难发现，小波分析在重力场逼近问题中应用具有广阔的前景。
2.小波分析在数值方法改进中的应用
小波变换算法高效，而且在处理异常和数据压缩方面也具有较强能力。基于此，在大地测量中的数值计算速度以及稳定性方面应用小波分析，将体现出极高的应用价值。在大地测量中，奇异积分的计算是一个重要问题。大地测量中的奇异积分主要有Stokes公式、Vening-Meinesz公式等，由于这些奇异积分往往在奇异点附近迅速衰减，导致奇异核较大，而应用小波分析。通过舍弃给定阀值的小波系数，则可以使奇异核得到有效压缩，进而使奇异积分计算速度和计算精度得到有效提高。此外，物理大地测量中的不适定问题在诸多地方都有体现，有关重力场反问题的不适定问题更是普遍存在。在解决诸如密度反演等重力场反问题中的不适定问题时，通常采用的方法就是正则化，使不适定问题的解更加稳定。而小波分析在不适定问题的应用则开辟了正则化新方法，不仅使传统正则化方法的优点得以保留，而且利用多尺度分析使已有解更加逼近。随着大地测量技术的发展，其中很多数据分析都和大型线性方程组有密切关系。由于大型线性方程组求解较为困难，使大地测量工作难度加大。而小波分析在大型线性系统求解问题中应用，将大型的矩阵转变为稀疏矩阵，从而使大型线性方程的求
解更加简便，在卫星数据处理中具有显著的优势。
3.小波分析在大地测量的滤波和估计中应用
滤波是大地测量中的重要环节。小波分析在大地测量的滤波中应用时，可将小波变换视作可变宽带的带通滤波。信号通过小波分解而散布到不同尺度空间和细节空间，各个频带之间无交叉性，信号低频成分分解在尺度空间，而信号高频成分分解在细节空间。对于高频部分的噪声，可通过小波系数修改实现滤波。由于小波分析能实现信号的时频刻画，所以通过小波分析能较容易地找到误差出现的具体时域或频域。在动态大地测量系统中，应用小波分析可以使误差分析和处理变得更为简便，具有极高的应用价值。
三、地球引力场的小波系数展开
在实际应用中，如果将引力场用小波系数展开，在数据分析后就可利用多分辨分析方法来分析引力场在不同尺度下的结构和性质，利用小波变换的奇异性检测功能来确定重力异常源的分布及异常程度如何，利用小波变换的空频局部化分析方法分析重力场的空间域及频率域的精细结构，从而提高重力场理论在地球物理及卫星大地测量学中的地位和作用。
四、小波分析在大地测量领域应用展望
小波变换是小波分析的一个方面，并作为一种新兴的数学分析和数值计算工具，在地球物理和大地测量领域的应用尚处于探索阶段，其应用价值需进一步拓展。在小波变换的数学理论已基本完善的今天，人们对小波的认识也已经过了那种盲目推宠的“炙热期”，更多的是扎实实地寻求小波理论与本学科的结合点，以期充分发挥小波分析统一性、局部性的特点，使其能在专业研究和分析中担当重要的角色。在地球物理中，地震信号是地球物理资料的主要来源，根据小波变换的多尺度分析原理，可把地震信号分成不同的通道和频率来分析，进行数字滤波、数据压缩、边缘检测等方面。并可将分解的数据来进行地震反演，提高层析成像分辨率，小波变换的应用将进一步拓展。在大地测量领域，建立合适的地球重力场模型还有很大的一部分工作可做，理论上需进一步完善，使其能更好地应用到实际生产中去。大地测量中的仪器检测、卫星信号、固体潮、地壳变形运动、电离层与大气层的变化以及构造应力场等都能够视为时间和空间变化的信号，小波分析可以从信噪比低的信号中放大信号，突出局部特性的优势将发挥越来越大的作用。
五、结语
小波分析作为一种强大数学工具，其研究和应用范围极为广阔，小波分析在大地测量的地球重力场问题的应用、数值方法改进中的应用、滤波和估计中的应用等都体现了其卓越的应用价值。但是，小波分析在大地测量中的应用尚需进一步深入研究。相信随着小波分析在大地测量中的应用研究更加深入和完善，小波分析的应用前景将会更加广阔。
参考文献
[1]于锦海,朱灼文,郭建峰.利用小波理论计算物理大地测量中的奇异积分[J].武汉测绘科技大学学报,2009(01).
[2]于锦海,朱灼文,彭富清.Molodensky边值问题中解析延拓法g1项的小波算法[J].地球物理学报,2011(01).
[3]周永宏,郑大伟,廖新浩.日长变化、大气角动量和ENSO:1997～1998厄尔尼诺和1998～1999拉尼娜信号[J].测绘学报,2012(04).
[4]FreedenW,WindheuserU.SphericalWaveletTransformandItsDiscretization[J].AdvancesinComputationalMathematics,2012(01).
[5]陈俊勇,胡建国,晁定波,李建成.国际大地测量技术的新进展——国际大地测量学术会议简介(续)[J].测绘通报,2012(02).