构造等比数列求数列的通项

• 作 者: 杨宇
• 出 处: 中学生数理化·学习研究
• 发表日期: 2017年4期
• 关键词: 通项 题设 解题过程 待定系数法 已知条件 递推关系 化归 首项 累加法

　　在数列的学习中，求数列的通项公式是最常见的一类题型。求数列通项公式的方法很多，在解题过程中一定要根据题设中的已知条件来确定选用什么方法，本文主要来介绍构造等比数列求通项的方法。
　　例1在数列{an}中，已知a1=2，且满足an=1+15an-1（n≥2），求数列的通项an。
　　分析：由递推关系，利用待定系数法构造等比数列求通项。
　　解：设an+λ=15（an-1+λ），则an=15an-1-45λ。所以-45λ=1，解得λ=-54。于是an-54=15an-1-54（n≥2）。
　　又因為a1-54=34≠0，所以an-54是首项为34，公比为15的等比数列，所以an-54=34×15n-1。
　　故an=54+34·15n-1。
　　点评：形如an+1=can+d（c≠1，cd≠0）的递推关系，利用待定系数法可转化为an+1-d1-c=can-d1-c，当a1-d1-c≠0时，数列an-d1-c是等比数列，从而把一个非等比数列转化为等比数列。
　　例2已知数列{an}中，a1=56，且an+1=13an+12n+1，求数列的通项an。
　　解法一：令an+1-A×12n+1=13an-A×12n，则an+1=13an+A3×12n+1。
　　又an+1=13an+12n+1，所以A3=1，即A=3。所以an+1-3×12n+1=13an-3×12n。
　　又因为a1-3×121=-23≠0，所以an-3×12n是首项为-23，公比为13的等比数列。所以an-3×12n=-23×13n-1，即an=3×12n-2×13n。
　　故an=3×12n-2×13n。
　　解法二：因为an+1=13an+12n+1，两边同时除以13n+1，得3n+1an+1=3nan+32n+1，即3n+1an+1-3nan=32n+1。
　　所以32a2-31a1=322，…，33a3-32a2=323，3nan-3n-1an-1=32n。
　　把以上n-1个等式累加得：3nan-3a1=-92+2·32n+1，所以3nan=-2+3n+12n。故an=3×12n-2×13n。
　　点评：形如an+1=can+dn（c≠d，cd≠0）的递推关系，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以先将两边同时除以cn+1，得an+1cn+1=ancn+dcn×1c，再利用累加法求出ancn，从而求出an。
　　总之，当已知数列不是等比数列时，往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数列，利用等比数列的通项公式，求出包含an的关系式，进而求出an。
　　作者单位：湖北省仙桃市第一中学