论文部分内容阅读
二次函数是初中数学的重点内容，也是各地中考考查的一个热点.需要同学们熟练地掌握它的基本性质，并能灵活应用.本文就同学们学习本单元过程中的典型问题，借助“画图”“分类”“转化”等方法，帮助同学们解决学习中的实际困难.
一、借助二次函数图像解题
无论是哪一种函数，我们都是通过图像去研究它的性质，然而在同学们的学习过程中，函数图像是最被忽视的一个内容.画二次函数图像不仅是研究二次函数性质的工具，也是解决许多数学问题的重要方法.熟练应用这一工具可以帮助同学们在学习中获得逻辑推理、数形结合等思想方法，从而为进一步学习奠定基础.
1.利用二次函数图像判断有关系数及代数式的符号.
例1 已知二次函数y=ax2 bx c（a≠0）的图像如图1所示，则下列结论：①ac>0；②方程ax2 bx c=0的两根之和大于0；③y随x的增大而增大；④a b c<0，其中正确的个数是（ ）.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【解析】由图像得a<0，c>0，所以ac>0不成立；由于对称轴在y轴的右侧，所以[-b2a]>0，又a<0，所以b>0，所以方程ax2 bx c=0的两根之和大于0成立；y随x的增大而增大不一定成立；由图像可知当x=1时，y<0，即a b c<0正确.故选C.
【点评】本题考查了同学们数形结合能力和创新应用能力.
2.不求函数解析式，利用图像对称性解方程.
例2 若二次函数y=-x2 2x k的部分图像如图2，则关于x的一元二次方程-x2 2x k=0的一个解x1=3，另一个解x2= .
【解析】本题可根据抛物线的对称性求得x2=-1，也可以用對称轴的两点公式求，即x=[-b2a]=[x1 x22].
3.利用二次函数图像的平移规律解题.
例3 抛物线y=3x2 2x-1向上平移4个单位长度后的函数解析式为（ ）.
A.y=3x2 2x-5 B.y=3x2 2x-4
C.y=3x2 2x 3 D.y=3x2 2x 4
【解析】利用平移规律“上加下减”，抛物线y=3x2 2x-1向上平移4个单位长度，解析式中常数项加4，所以是y=3x2 2x-1 4=3x2 2x 3，故选C.
【点评】本题考查了二次函数图像与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.
二、巧用“分类”工具解题
1.在不确定函救的类型时，要分类讨论.
例4 若函数y=（a-1）x2-4x 2a的图像与x轴有且只有一个交点，则a的值为 .
【解析】∵函数y=（a-1）x2-4x 2a的图像与x轴有且只有一个交点，∴当函数为二次函数时，Δ=16-4（a-1）×2a=0，解得：a1=-1，a2=2；当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1.
故答案为：-1或2或1.
【点评】实际上题设中未说明函数的类型，因此所给函数可以是二次函数，也可以是一次函数.
2.根据函数的自变量范围分类讨论解题.
例5 已知二次函数y=（x-h）2 1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）.
A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或3
【解析】∵当x>h时，y随x的增大而增大，当x ∴①若h<1≤x≤3，当x=1时，y取得最小值5，可得：（1-h）2 1=5，解得：h=-1或h=3（舍）；
②若1≤x≤3 综上，h的值为-1或5，故选：B.
【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键.
三、灵活“转化”破难点
1.根据二次函数与方程、不等式三者关系，互相转化解题.
例6 二次函数y=ax2 bx c（a≠0）的部分图像如图3所示，对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2 bx c=0（a≠0）的解为（ ）.
A.x=1 B.x=-1
C.1或-3 D.1或-4
【解析】由对称轴为直线x=-1及一个交点（1，0）可求出另一个与x轴的交点坐标为（-3，0），选C.
【点评】本题考查的是二次函数图像的性质.方程ax2 bx c=0（a≠0）的解的实质是当二次函数值为0时其图像与x轴的交点的横坐标.同学们可以利用转化思想求不等式ax2 bx c<0的解集.
2.利用二次函数三种解析式的互相变换解题.
例7 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx m-1（m>0）与x轴的交点为A，B.横、纵坐标都是整数的点叫作整点.若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，求m的取值范围.
图4
【解析】抛物线y=mx2-2mx m-1（m>0）=m（x-1）2-1，抛物线顶点为（1，-1），则题干中所需的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点.令y=mx2-2mx m-1=0，得到A、B两点坐标分别为（[1-1m]，0），（[1 1m]，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到2≤[1m]<3，∴[19] 【点评】在遇到二次函数解析式问题时，要注意选取适当形式，或根据需要变形是快速解题的重要办法.
（作者单位：江苏省宿迁市湖滨新区实验中学）
一、借助二次函数图像解题
无论是哪一种函数，我们都是通过图像去研究它的性质，然而在同学们的学习过程中，函数图像是最被忽视的一个内容.画二次函数图像不仅是研究二次函数性质的工具，也是解决许多数学问题的重要方法.熟练应用这一工具可以帮助同学们在学习中获得逻辑推理、数形结合等思想方法，从而为进一步学习奠定基础.
1.利用二次函数图像判断有关系数及代数式的符号.
例1 已知二次函数y=ax2 bx c（a≠0）的图像如图1所示，则下列结论：①ac>0；②方程ax2 bx c=0的两根之和大于0；③y随x的增大而增大；④a b c<0，其中正确的个数是（ ）.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【解析】由图像得a<0，c>0，所以ac>0不成立；由于对称轴在y轴的右侧，所以[-b2a]>0，又a<0，所以b>0，所以方程ax2 bx c=0的两根之和大于0成立；y随x的增大而增大不一定成立；由图像可知当x=1时，y<0，即a b c<0正确.故选C.
【点评】本题考查了同学们数形结合能力和创新应用能力.
2.不求函数解析式，利用图像对称性解方程.
例2 若二次函数y=-x2 2x k的部分图像如图2，则关于x的一元二次方程-x2 2x k=0的一个解x1=3，另一个解x2= .
【解析】本题可根据抛物线的对称性求得x2=-1，也可以用對称轴的两点公式求，即x=[-b2a]=[x1 x22].
3.利用二次函数图像的平移规律解题.
例3 抛物线y=3x2 2x-1向上平移4个单位长度后的函数解析式为（ ）.
A.y=3x2 2x-5 B.y=3x2 2x-4
C.y=3x2 2x 3 D.y=3x2 2x 4
【解析】利用平移规律“上加下减”，抛物线y=3x2 2x-1向上平移4个单位长度，解析式中常数项加4，所以是y=3x2 2x-1 4=3x2 2x 3，故选C.
【点评】本题考查了二次函数图像与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.
二、巧用“分类”工具解题
1.在不确定函救的类型时，要分类讨论.
例4 若函数y=（a-1）x2-4x 2a的图像与x轴有且只有一个交点，则a的值为 .
【解析】∵函数y=（a-1）x2-4x 2a的图像与x轴有且只有一个交点，∴当函数为二次函数时，Δ=16-4（a-1）×2a=0，解得：a1=-1，a2=2；当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1.
故答案为：-1或2或1.
【点评】实际上题设中未说明函数的类型，因此所给函数可以是二次函数，也可以是一次函数.
2.根据函数的自变量范围分类讨论解题.
例5 已知二次函数y=（x-h）2 1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）.
A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或3
【解析】∵当x>h时，y随x的增大而增大，当x
②若1≤x≤3
【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键.
三、灵活“转化”破难点
1.根据二次函数与方程、不等式三者关系，互相转化解题.
例6 二次函数y=ax2 bx c（a≠0）的部分图像如图3所示，对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2 bx c=0（a≠0）的解为（ ）.
A.x=1 B.x=-1
C.1或-3 D.1或-4
【解析】由对称轴为直线x=-1及一个交点（1，0）可求出另一个与x轴的交点坐标为（-3，0），选C.
【点评】本题考查的是二次函数图像的性质.方程ax2 bx c=0（a≠0）的解的实质是当二次函数值为0时其图像与x轴的交点的横坐标.同学们可以利用转化思想求不等式ax2 bx c<0的解集.
2.利用二次函数三种解析式的互相变换解题.
例7 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx m-1（m>0）与x轴的交点为A，B.横、纵坐标都是整数的点叫作整点.若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，求m的取值范围.
图4
【解析】抛物线y=mx2-2mx m-1（m>0）=m（x-1）2-1，抛物线顶点为（1，-1），则题干中所需的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点.令y=mx2-2mx m-1=0，得到A、B两点坐标分别为（[1-1m]，0），（[1 1m]，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到2≤[1m]<3，∴[19]
（作者单位：江苏省宿迁市湖滨新区实验中学）