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摘 要:创新的时代呼唤创新型的人才,创新型的人才必须具备创造性的思维。所谓创造性思维就是在前人或者今人取得的科技成果的基础上,有新的发明、新的创造、新的前进、或新的突破的思维能力。而培养这种能力首当其冲的就是对我们当前的教学方式进行改革,本文根据笔者的教学实践,试析初中数学教学中的开放性一题,以供同行们交流学习。
关键词:初中数学开放性教学
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)01(c)-0093-02
一位数学教育家说过一句话:“衡量课堂教学高低的唯一标准,是学生的参与程度。”对此笔者深有同感。我们不想对是否“唯一”展开讨论,但学生的参与肯定是使知识内化的必要条件,用学生的参与程度来衡量课堂教学高低与教师在课堂上的主导作用并没有矛盾,教师的主导作用恰恰是想尽一切办法让学生去参与,不能以教案构思替代学生的思维。现代的课堂教学绝不是照本宣科。肯定不是一种固定的程序化的模式,应该是动态的可变的,应该考虑到许多变量,像学生对教师进行的认同度、对教材的不同理解以及学生的情绪等等。[1]因此,笔者认为真正的课堂教学的主人是学生。由此可以得出,开放性教学方式是有其积极意义的。
1 初中数学开放式教学方案
(1)选用开放性的教学内容。新的数学课程改革强调,数学学习并不是单纯的解题训练,现实的和探索性的数学学习活动要成为数学学习内容的有机组成部分。开放性的教学内容首先表现在开放题的应用上,以开放题为载体来促进数学学习方式的转变,弥补了数学教学开放性、培养学生主体精神和创新能力的不足。如高中理综中数学与地理题的结合就是很好的例子。(2)采用多样性教学方法。新课标强调学生是数学学习的主人,教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。也即要求教学中教师要采用多样性教学方法。归纳为四类:教师引导,实践操作,自主探究,合作交流。如教师可以将几何题目放在多媒体电脑上进行讲解,这样可以很好的帮助学生理解抽象的图形概念,又活跃了课堂气氛,带动学生的探究热情。(3)建立互动型的师生关系。数学教学是数学活动的教学,是师生交往、互动与共同发展的过程。学生的目标在于通过规定的学习与发展过程尽可能地改变自己,接受社会化。只有缩小这种目标上的差异,才有利于教学目标的达成与实现。一旦课堂上师生角色得以转换和新型师生关系得以建立,我们就能清楚地感受到课堂教学正在师生互动中进行和完成。在课堂上尊重学生,尊重学生的经验与认知水平,让学生大胆提问、主动探究,发动学生积极地投入对问题的探讨与解决之中；应灵活变换角色,用“童眼”来看问题,怀“童心”来想问题,以“童趣”来解问题,共同参与学生的学习活动,成为学生的知心朋友、学习伙伴。(4)引入生活化的学习情境。《课标》指出:数学课程“不仅要考虑数学自身的特点,更应遵循学生学习数学的心理规律,强调从学生已有的生活经验出发,数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”这就是说,数学教学活动要以学生的发展为本,要把学生的个人知识、直接经验和现实世界作为数学教学的重要资源。如初中数学中的函数部分,教师可以启发学生将生活中的一些问题用函数算式进行处理,增强学生的学习积极性。
2 以“一题多解”、“一题多变”、“一法多用”等训练活动培养学生发散性思维的方案构想
思维的狭窄性表现在只知其一,不知其二,稍变化就不知所云。[2]反复进行“一题多解”、“一题多变”、“一法多用”的练习,是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法,可通过讨论启迪学生的思维,开拓解题思路,在此基础上让学生通过多次练习,既增长了知识,又培养了思维能力。教师在教学过程中,不能只重视计算结果,要针对教学的重难点,精心设计有层次,有坡度,要求明确,题型多变的练习题。
在解题中学生都了解一道题目中无论多少个问题都是围绕着一个基本问题或是一个基本图形展开的,但是学生经常只能解决比较简单的一、二两个问题,对于最后的问题往往是束手无策,缺乏思路,找不到切入点。随着每个问题的深入与发展,题目逐渐变得困难复杂,但是却忽略了各问题之间的联系,忽略了对最基本的问题或图形的深入的了解与研究。而最复杂的问题无法解决的关键就是对基本题型的理解与研究的不到位。割裂了题目中每个问题的相互关联,只看到题目的展开的难度,没有看到每个问题的联系与共性。这种情况在成绩上成为学生提升的巨大障碍,在能力上难以形成质的飞跃。这种情况的解决所需要的知识与技能不是一天形成的,它需要漫长的积累、训练与领悟。这类题目以四边形居多。因而在初二,解题能力的培养、转化思维的渗透必然成为数学教学的一大课题。[3]
结合“初中学科技能训练策略的研究”课题,笔者对学生出现的问题进行了仔细认真的分析与研究。经了解、研究发现学生在平时解题时经常仅仅止步于得到答案。对于解题中如何使用条件,联系条件,转化结论,缺乏系统的总结与整理,拿到题目后怎么解、为什么这么解没有认真的思考。尤其是在几何图形变换、问题探究这类一题多问的题目中,把每一问分割开,不去注重每个问题间的区别与联系,孤立的解决每一个问题。为了解决这一难题我们尝试着设计了以下一习题。
首先给出题目:已知:如图1,∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求:AH的长。
学生经过思考发现既无法有效的把条件综合使用,又没有能把条件结合在一起的辅助线题目很难解出。
教师不急于分析题目,而是让学生带着疑问,给出下面的题目。
已知:如图2,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC于点M、N,AH⊥MN于点H。
(1)如图2(1),当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:______________。
(2)如图2(2),当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由,如果成立请证明。
(3)如图2(3),已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长。
(可利用(2)得到的结论)
第一二两个问题学生很快解出,看到第三个问题发现就是刚才没有解出的题目。教师提出疑问,同样的问题为什么要分成三个问题提出？三个问题之间有什么联系？第三个问题的解法与第一二两个问题会有什么关联？学生带着这些疑问再次审视三个问题,逐渐找出它们的共同特征:三个图形中都含有前面出现的三角形。但是第三个问题的正方形在哪里呢？把△AMH与△ANH沿直线AM与AN翻折,补成正方形,整合、综合条件,利用方程解答。
如图3所示。
通过这道题目的解答过程学生有什么收获呢？通过这些训练,学生们清楚了解了基本题以及基本图形的特征,以及对其进行变换以及探究问题与原问题的关联,除此以外还有变换之后的前后条件与图形的共性以及解法中的共性等解题方式,大大拓宽了学生的思路。[4]
问题:如图4,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A，B，E在同一条直线上,P是线段的中点。连结PG,PC。若,探究PG与PC的位置关系及的值。
(1)写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；(2)将图4中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF 恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图5)。你在(1)中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。(3)若图6中,将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出的值(用含的式子表示)。题目中首先图形进行旋转变换,然后在对角度由特殊到一般进行探究。
再比如:2009模拟试题。
已知:正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG。
(1)直接写出线段EG与CG的数量关系；
(2)将图6中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图7所示,取DF中点G,连接EG,CG。你在(1)中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。
(3)将图6中△BEF绕B点旋转任意角度,如图8所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立？此题仍可按上述的思路操作,即将图形变换由特殊到一般进行探究。数学难易近在咫尺,难易之间有多远,远在天涯,近在咫尺。但如果引导的好,就能做好铺垫,搭好台阶,水到渠成,润物无声。
3 结语
我国新一轮数学课程改革确立了崭新的理念,在课程目标上突出体现基础性,普及性和发展性；在数学学习的内容强调现实的、有意义的和富有挑战性的；在学习的方式上动手实践、自主探索与合作交流成为学生主要的学习方式,旨在建立目标多元、方法多样的教学评价体系；并充分考虑和大力推进现代信息技术在数学教学中的应用。[5]这些都将是我们下一步工作的重点,学生将成为数学学习的主人,教师成为数学学习的组织者、引导者与合作者,大力发展探究式学习理念。
参考文献
[1] 曹一鸣.当代数学教学模式的发展趋势[J].中学数学教学参考,2001(11).
[2] 柳斌.创新教育模式全书[M].北京:北京教育出版社,1999.
[3] 刘蓉.初中数学课堂教学中引导学生开展探究性学习的研究[D].济南:山东师范大学,2006.
[4] 张天宝.试论主体性教育的基本理念[J].教育研究,2002(8).
[5] 孙杰远.初中数学课程理念与实施[M].桂林:广西师范大学出版社,2003.
关键词:初中数学开放性教学
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)01(c)-0093-02
一位数学教育家说过一句话:“衡量课堂教学高低的唯一标准,是学生的参与程度。”对此笔者深有同感。我们不想对是否“唯一”展开讨论,但学生的参与肯定是使知识内化的必要条件,用学生的参与程度来衡量课堂教学高低与教师在课堂上的主导作用并没有矛盾,教师的主导作用恰恰是想尽一切办法让学生去参与,不能以教案构思替代学生的思维。现代的课堂教学绝不是照本宣科。肯定不是一种固定的程序化的模式,应该是动态的可变的,应该考虑到许多变量,像学生对教师进行的认同度、对教材的不同理解以及学生的情绪等等。[1]因此,笔者认为真正的课堂教学的主人是学生。由此可以得出,开放性教学方式是有其积极意义的。
1 初中数学开放式教学方案
(1)选用开放性的教学内容。新的数学课程改革强调,数学学习并不是单纯的解题训练,现实的和探索性的数学学习活动要成为数学学习内容的有机组成部分。开放性的教学内容首先表现在开放题的应用上,以开放题为载体来促进数学学习方式的转变,弥补了数学教学开放性、培养学生主体精神和创新能力的不足。如高中理综中数学与地理题的结合就是很好的例子。(2)采用多样性教学方法。新课标强调学生是数学学习的主人,教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。也即要求教学中教师要采用多样性教学方法。归纳为四类:教师引导,实践操作,自主探究,合作交流。如教师可以将几何题目放在多媒体电脑上进行讲解,这样可以很好的帮助学生理解抽象的图形概念,又活跃了课堂气氛,带动学生的探究热情。(3)建立互动型的师生关系。数学教学是数学活动的教学,是师生交往、互动与共同发展的过程。学生的目标在于通过规定的学习与发展过程尽可能地改变自己,接受社会化。只有缩小这种目标上的差异,才有利于教学目标的达成与实现。一旦课堂上师生角色得以转换和新型师生关系得以建立,我们就能清楚地感受到课堂教学正在师生互动中进行和完成。在课堂上尊重学生,尊重学生的经验与认知水平,让学生大胆提问、主动探究,发动学生积极地投入对问题的探讨与解决之中；应灵活变换角色,用“童眼”来看问题,怀“童心”来想问题,以“童趣”来解问题,共同参与学生的学习活动,成为学生的知心朋友、学习伙伴。(4)引入生活化的学习情境。《课标》指出:数学课程“不仅要考虑数学自身的特点,更应遵循学生学习数学的心理规律,强调从学生已有的生活经验出发,数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”这就是说,数学教学活动要以学生的发展为本,要把学生的个人知识、直接经验和现实世界作为数学教学的重要资源。如初中数学中的函数部分,教师可以启发学生将生活中的一些问题用函数算式进行处理,增强学生的学习积极性。
2 以“一题多解”、“一题多变”、“一法多用”等训练活动培养学生发散性思维的方案构想
思维的狭窄性表现在只知其一,不知其二,稍变化就不知所云。[2]反复进行“一题多解”、“一题多变”、“一法多用”的练习,是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法,可通过讨论启迪学生的思维,开拓解题思路,在此基础上让学生通过多次练习,既增长了知识,又培养了思维能力。教师在教学过程中,不能只重视计算结果,要针对教学的重难点,精心设计有层次,有坡度,要求明确,题型多变的练习题。
在解题中学生都了解一道题目中无论多少个问题都是围绕着一个基本问题或是一个基本图形展开的,但是学生经常只能解决比较简单的一、二两个问题,对于最后的问题往往是束手无策,缺乏思路,找不到切入点。随着每个问题的深入与发展,题目逐渐变得困难复杂,但是却忽略了各问题之间的联系,忽略了对最基本的问题或图形的深入的了解与研究。而最复杂的问题无法解决的关键就是对基本题型的理解与研究的不到位。割裂了题目中每个问题的相互关联,只看到题目的展开的难度,没有看到每个问题的联系与共性。这种情况在成绩上成为学生提升的巨大障碍,在能力上难以形成质的飞跃。这种情况的解决所需要的知识与技能不是一天形成的,它需要漫长的积累、训练与领悟。这类题目以四边形居多。因而在初二,解题能力的培养、转化思维的渗透必然成为数学教学的一大课题。[3]
结合“初中学科技能训练策略的研究”课题,笔者对学生出现的问题进行了仔细认真的分析与研究。经了解、研究发现学生在平时解题时经常仅仅止步于得到答案。对于解题中如何使用条件,联系条件,转化结论,缺乏系统的总结与整理,拿到题目后怎么解、为什么这么解没有认真的思考。尤其是在几何图形变换、问题探究这类一题多问的题目中,把每一问分割开,不去注重每个问题间的区别与联系,孤立的解决每一个问题。为了解决这一难题我们尝试着设计了以下一习题。
首先给出题目:已知:如图1,∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求:AH的长。
学生经过思考发现既无法有效的把条件综合使用,又没有能把条件结合在一起的辅助线题目很难解出。
教师不急于分析题目,而是让学生带着疑问,给出下面的题目。
已知:如图2,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC于点M、N,AH⊥MN于点H。
(1)如图2(1),当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:______________。
(2)如图2(2),当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由,如果成立请证明。
(3)如图2(3),已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长。
(可利用(2)得到的结论)
第一二两个问题学生很快解出,看到第三个问题发现就是刚才没有解出的题目。教师提出疑问,同样的问题为什么要分成三个问题提出？三个问题之间有什么联系？第三个问题的解法与第一二两个问题会有什么关联？学生带着这些疑问再次审视三个问题,逐渐找出它们的共同特征:三个图形中都含有前面出现的三角形。但是第三个问题的正方形在哪里呢？把△AMH与△ANH沿直线AM与AN翻折,补成正方形,整合、综合条件,利用方程解答。
如图3所示。
通过这道题目的解答过程学生有什么收获呢？通过这些训练,学生们清楚了解了基本题以及基本图形的特征,以及对其进行变换以及探究问题与原问题的关联,除此以外还有变换之后的前后条件与图形的共性以及解法中的共性等解题方式,大大拓宽了学生的思路。[4]
问题:如图4,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A，B，E在同一条直线上,P是线段的中点。连结PG,PC。若,探究PG与PC的位置关系及的值。
(1)写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；(2)将图4中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF 恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图5)。你在(1)中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。(3)若图6中,将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出的值(用含的式子表示)。题目中首先图形进行旋转变换,然后在对角度由特殊到一般进行探究。
再比如:2009模拟试题。
已知:正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG。
(1)直接写出线段EG与CG的数量关系；
(2)将图6中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图7所示,取DF中点G,连接EG,CG。你在(1)中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。
(3)将图6中△BEF绕B点旋转任意角度,如图8所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立？此题仍可按上述的思路操作,即将图形变换由特殊到一般进行探究。数学难易近在咫尺,难易之间有多远,远在天涯,近在咫尺。但如果引导的好,就能做好铺垫,搭好台阶,水到渠成,润物无声。
3 结语
我国新一轮数学课程改革确立了崭新的理念,在课程目标上突出体现基础性,普及性和发展性；在数学学习的内容强调现实的、有意义的和富有挑战性的；在学习的方式上动手实践、自主探索与合作交流成为学生主要的学习方式,旨在建立目标多元、方法多样的教学评价体系；并充分考虑和大力推进现代信息技术在数学教学中的应用。[5]这些都将是我们下一步工作的重点,学生将成为数学学习的主人,教师成为数学学习的组织者、引导者与合作者,大力发展探究式学习理念。
参考文献
[1] 曹一鸣.当代数学教学模式的发展趋势[J].中学数学教学参考,2001(11).
[2] 柳斌.创新教育模式全书[M].北京:北京教育出版社,1999.
[3] 刘蓉.初中数学课堂教学中引导学生开展探究性学习的研究[D].济南:山东师范大学,2006.
[4] 张天宝.试论主体性教育的基本理念[J].教育研究,2002(8).
[5] 孙杰远.初中数学课程理念与实施[M].桂林:广西师范大学出版社,2003.