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【摘 要】本文以蔡氏系统为模型，基于单向驱动耦合混沌同步方法实现两个蔡氏系统的同步，分别用数值仿真和电路仿真，结果显示两个蔡氏混沌系统在合适驱动强度条件下，能较快地实现完全同步。
【关键词】蔡氏系统；混沌同步；混沌电路
一、引言
混沌是本世纪非线性科学领域的研究热点之一，是确定性非线性动力系统所特有的一种现象。由于混沌系统的初始条件极度敏感性、宽带特性、混沌信号的非周期性等特点使得混沌系统在工程应用中有着巨大的潜力。目前，利用混沌及混沌同步实现保密通信引起了人们广泛的关注，成为混沌保密通信技术而混沌同步是混沌保密通信技术的基础和前提，是通信成功与否的关键。因此，研究混沌同步有着重要的意义。1990年，美国学者Pecora和Carroll首次实现混沌同步，这一工作为混沌在保密通信技术方面的应用奠定了基础。蔡氏电路是迄今为止在非线性电路中产生复杂动力学行为最有效和较简单的电路之一。本文以蔡氏电路作为研究对象，研究了蔡氏混沌电路的单向驱动耦合同步方法，仿真结果显示了两个蔡氏混沌系统在合适驱动强度条件下，能较快地实现混沌系统间的完全同步。
二、完全同步
定义1： 考虑如下两个混沌系统：
（1） （2）
其中x=（x1， x2，…， xn）T∈Rn，y=（y1， y2，…，yn）T∈Rn分别是驱动系统（1）和响应系统（2）的状态向量；u=（u1， u2，…， un）T∈Rn是同步控制器向量；f， g： Rn→Rn为系统向量函数，定义同步误差e=y（t）-x（t）。如果满足，则称系统（1）和（2）实现完全同步，其中y（t），x（t）为（1）和（2）的解。
三、蔡氏混沌电路的数学模型
蔡氏混沌电路描述成如下的无量纲形式：
（3）
其中；当α1=9，α2 =-100/7，=-1/7， =2/7时，系统存在混沌行为。
四、蔡氏混沌电路同步方案及仿真
（一）同步方案数值仿真
选取系统（3）作为驱动系统，受控的响应系统如下：
（4）
其中x1， x2， x3和y1，y2，y3分别为驱动系统的状态变量和响应系统的状态变量，α1和α2为系统参数，r为同步的调节参数；
，。
由（3）和（4）可得到同步误差系统
（5）
仿真过程中，选取α1=9，α2=-100/7，m0=-1/7， m1=2/7，步长h=0.01， 驱动系统和响应系统的初始值分别选取x=[0.1， 0.2， 0.1]和y=[0.11， 0.1， 0.2]，此时，依据 Routh-Hurwitz 稳定性判据系统（5）是稳定的，同步效果图如图2所示。由图2可见，驱动系统和响应系统的对应变量实现了完全同步。
图2 变量x1与y1同步图
（二）蔡氏混沌单变量驱动耦合同步电路及其仿真分析
采用蔡氏混沌电路作为驱动系统，探讨了单变量单向耦合超混沌同步的工程应用，给出了蔡氏混沌振荡器单变量驱动耦合同步电路如图3所示。由图3可见，该系统主要包括驱动系统电路和响应系统电路，其中电路左边为驱动系统，右边为响应系统，中间为实现同步的电路部分。对单变量驱动耦合同步电路进行仿真，图4为两系统的同步效果图，由图4可见，两个蔡氏混沌系统达到了完全同步.。
图3 蔡氏混沌同步电路系统
图4 驱动—响应系统同步图
五、结束语
本文研究的单变量耦合方法实现了两个蔡氏混沌系统的同步，同步方法简单，而且驱动系统与响应系统之间的同步精度高，同步速度快，且同步方法在计算机程序模拟和电路仿真中得以实现，这为混沌同步在工程中的实现提供的可能性。
参考文献：
[1]李小娟，徐振源，谢青春，王兵. 单向耦合下两个不同Lorenz系统的广义同步[J]. 物理学报，2010： 59（3）： 1532-1540.
[2]王国红. 改进蔡氏电路的混沌特性[J]. 西北大学学报， 2002，32（1）： 27-28.
[3]罗晓曙.蔡氏混沌电路的同步及其在保密通信中的应用[J]. 军事通信技术， 1999（72）： 15-23.
【关键词】蔡氏系统；混沌同步；混沌电路
一、引言
混沌是本世纪非线性科学领域的研究热点之一，是确定性非线性动力系统所特有的一种现象。由于混沌系统的初始条件极度敏感性、宽带特性、混沌信号的非周期性等特点使得混沌系统在工程应用中有着巨大的潜力。目前，利用混沌及混沌同步实现保密通信引起了人们广泛的关注，成为混沌保密通信技术而混沌同步是混沌保密通信技术的基础和前提，是通信成功与否的关键。因此，研究混沌同步有着重要的意义。1990年，美国学者Pecora和Carroll首次实现混沌同步，这一工作为混沌在保密通信技术方面的应用奠定了基础。蔡氏电路是迄今为止在非线性电路中产生复杂动力学行为最有效和较简单的电路之一。本文以蔡氏电路作为研究对象，研究了蔡氏混沌电路的单向驱动耦合同步方法，仿真结果显示了两个蔡氏混沌系统在合适驱动强度条件下，能较快地实现混沌系统间的完全同步。
二、完全同步
定义1： 考虑如下两个混沌系统：
（1） （2）
其中x=（x1， x2，…， xn）T∈Rn，y=（y1， y2，…，yn）T∈Rn分别是驱动系统（1）和响应系统（2）的状态向量；u=（u1， u2，…， un）T∈Rn是同步控制器向量；f， g： Rn→Rn为系统向量函数，定义同步误差e=y（t）-x（t）。如果满足，则称系统（1）和（2）实现完全同步，其中y（t），x（t）为（1）和（2）的解。
三、蔡氏混沌电路的数学模型
蔡氏混沌电路描述成如下的无量纲形式：
（3）
其中；当α1=9，α2 =-100/7，=-1/7， =2/7时，系统存在混沌行为。
四、蔡氏混沌电路同步方案及仿真
（一）同步方案数值仿真
选取系统（3）作为驱动系统，受控的响应系统如下：
（4）
其中x1， x2， x3和y1，y2，y3分别为驱动系统的状态变量和响应系统的状态变量，α1和α2为系统参数，r为同步的调节参数；
，。
由（3）和（4）可得到同步误差系统
（5）
仿真过程中，选取α1=9，α2=-100/7，m0=-1/7， m1=2/7，步长h=0.01， 驱动系统和响应系统的初始值分别选取x=[0.1， 0.2， 0.1]和y=[0.11， 0.1， 0.2]，此时，依据 Routh-Hurwitz 稳定性判据系统（5）是稳定的，同步效果图如图2所示。由图2可见，驱动系统和响应系统的对应变量实现了完全同步。
图2 变量x1与y1同步图
（二）蔡氏混沌单变量驱动耦合同步电路及其仿真分析
采用蔡氏混沌电路作为驱动系统，探讨了单变量单向耦合超混沌同步的工程应用，给出了蔡氏混沌振荡器单变量驱动耦合同步电路如图3所示。由图3可见，该系统主要包括驱动系统电路和响应系统电路，其中电路左边为驱动系统，右边为响应系统，中间为实现同步的电路部分。对单变量驱动耦合同步电路进行仿真，图4为两系统的同步效果图，由图4可见，两个蔡氏混沌系统达到了完全同步.。
图3 蔡氏混沌同步电路系统
图4 驱动—响应系统同步图
五、结束语
本文研究的单变量耦合方法实现了两个蔡氏混沌系统的同步，同步方法简单，而且驱动系统与响应系统之间的同步精度高，同步速度快，且同步方法在计算机程序模拟和电路仿真中得以实现，这为混沌同步在工程中的实现提供的可能性。
参考文献：
[1]李小娟，徐振源，谢青春，王兵. 单向耦合下两个不同Lorenz系统的广义同步[J]. 物理学报，2010： 59（3）： 1532-1540.
[2]王国红. 改进蔡氏电路的混沌特性[J]. 西北大学学报， 2002，32（1）： 27-28.
[3]罗晓曙.蔡氏混沌电路的同步及其在保密通信中的应用[J]. 军事通信技术， 1999（72）： 15-23.