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[摘 要]高等数学由于其抽象的语言形式和“沉闷”的逻辑推演而容易使学生对其敬而远之，从而影响教学效果。要改变这种状况，首要的任务是要激发学生的学习兴趣和学习热情。在多年授课经验的基础上，本文就如何激活课堂，将抽象的高等数学解构得既深刻又生动进行了一些探索和思考。
[关键词]兴趣 高等数学 教学探索
[中图分类号] G420 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2013）18-0071-03
大学数学通常给人以枯燥乏味的印象，“学生不愿学，教师教不动”的沉闷局面时常出现在教学过程中[1-2]。这种状况与数学在科技和经济发展中的重要地位形成强烈对比。显然，学生不愿学的主要原因是对学数学没有产生兴趣。因此，如何把抽象的数学解析成既生动又富有启发性，是每一位大学数学教师所面临的重要课题。著名的数学家、教育家——王梓坤院士也曾指出：“数学教师的职责之一在于培养学生对数学的兴趣，这等于给了他们长久钻研数学的动力。优秀的数学教师之所以在学生心中永志不忘，就是由于他点燃了学生心灵中热爱数学的熊熊火焰[3]。”下面是笔者近几年来在讲授高等数学课程中的探索与实践。
一、精心设计所有教学内容，对学生形成持久的吸引力
“工欲善其事，必先利其器”，然而，要想在教学中让学生对抽象的东西感兴趣，不是件容易的事。因为，数学教材通常以“定义--定理--性质--例子”的形式呈现出来。学生看到的是完美的结论、天衣无缝的证明，至于书中的证明是如何想出来的，对学生来说是神秘的。可以想象，假如一个教师备课时完全拘泥于教材，上课时只是干巴巴地重复课本上的定义和定理，其课堂气氛一定很沉闷。因此，为了吸引学生的注意力，调动学生的思维，教师必须要舍得花时间深入研究教材，吃透教材，并在教材的基础进行再度创作。比如，如何将知识的背景及其发展过程呈现出来？如何提出问题引导学生思考？对于容易产生误解的问题如何去分析？特别是，如何激发学生对已有知识和经验的回忆与升华？甚至是如何启迪学生思维，使学生走得更远一点、看得更深入一点？这些都需要教师在课前精雕细琢、提炼分析，才能在课堂上深入浅出地进行教学，并使学生感受到数学的魅力，从而对学生形成持久的吸引力。总之，多年的教学实践使我们深深体会到，备课时，教师要做有心人，要站在学生的角度进行备课，课堂上才能吸引学生的注意力。
二、问题驱动，激活思考
问题是数学的心脏。1900年，在巴黎召开的第二次国际数学家大会上，德国数学家Hilbert提出的著名的23个问题至今影响着数学的发展。既然数学是问题化的，那么，传授数学的过程也应该是问题式的[5]。然而，现行的教材往往一上来就直接下定义，很少讲“为什么”？这种强调数学的逻辑严密性，忽视其丰富的思维过程的做法，大大挫伤了学生的学习积极性。因此，为激发学生的学习热情，笔者在教学中，并没有像书本一样从一开始就从天而降地给学生讲抽象的概念，而是针对每一节课的内容，精心设计一系列具有启发性、能激发学生探意识、展现思维过程的“问题”，然后围绕要解决的“问题”展开教学，以“问题”来调动学生思维，让学生在解决问题中去探索、学习，并逐步养成自己在问题中寻找规律的习惯。例如，讲“无穷小的比较”时，笔者是透过下面的问题集展开教学的。
问题1：两个无穷小的和、差、积仍是无穷小；那么商的情况又会怎样呢？
问题2：当x→0，时，函数x，x3，sinx，tan2x都是无穷小，观察下列各极限的值：
问题3：显然 而且当x趋于零时，这三个极限的分子和分母都趋于零，那么，x3和x，tan2x和4x，sinx和x趋于零的速度是否一样？
问题4：如何刻画两个无穷小在同一过程中趋于零的“快慢”程度？
一般在提问问题3之后，笔者会让学生再观察表1和图1之后才提问问题4，从而水到渠成地引出“无穷小的阶”的概念。
表1
图1
又如，讲“曲率”这节内容时，首先设问：火车在铁轨上行驶时， 如果拐弯太急， 乘客的感觉如何？当学生回答：“感觉会被甩出去、不舒适时”。追问，如何避免此类情况的出现？当学生提出拐弯处铁轨的弯曲程度是个关键问题时，顺势提问：曲线的弯曲程度与什么量有关系？并引导学生观察图2-1，学生很快就明白曲线弯曲程度与切线转过的角度有关。接着让学生观察图2-2，并自主探究切线转过的角度与曲线弯曲程度的关系，很快学生得出切线转过的角度越大曲线弯曲得越厉害，即曲线弯曲程度与切线的夹角Δα成正比；然后让学生观察图2-3，并得出弧长越小的曲线弧弯曲得越厉害，即曲线弯曲程度与曲线的长度Δs成反比。在此基础上，引导学生类比“速度”的概念，得出“曲率”的概念，K= | |，并让学生动手计算直线和圆的曲率，以检验用“曲率”度量曲线的弯曲程度的合理性。最后，让学生思考当曲线的弯曲情况较复杂时，如何计算曲率？并引导学生借助微商、弧微分等知识，推导出曲率的计算公式K=
图2-1 开叉的竹枝
图2-2
图2-3
三、尽量使抽象的数学变得自然，引导学生逐步从形象思维走向抽象思维
由于数学的抽象形式及其严格的证明推导与人们的直觉经验相距甚远，加上数学教材总是力求写得“完美无缺”，这就造成了数学在认知上的困难。难怪有人戏称数学课堂很容易催生特“困”生：本来还很明白的东西，听着听着就困惑了，接着就摇摇欲睡。针对这一情况，我们在教学中努力要做到的一件事就是让数学通俗易懂。为此，在教学中，笔者尽可能地以直观的图形、深入浅出的方式讲解数学。即用数形结合的方法、或通俗的比喻、或形象的类比，让抽象的数学变得自然形象起来。
例如，讲“微分中值定理”时，利用美国某些高速公路的收费办法作为问题的引入：在每一个入口处，检查人员给车上贴上标签，标明进入路段的时间和地点；在出口处，检查人员会根据此标签判断是否有超速行驶行为[6]。然后提问：你知道检查人员是如何判断的吗？这样的问题引入既有强烈的生活气息，又不乏趣味性，一下子就调动了学生听课的兴趣。接着引导学生将上述问题转化为图形，如图3。学生很快发现，在从入口到出口的这段时间里至少有某个时刻， 车的速率刚好等于平均速率。于是得出结论：检查人员是根据车的平均速率来判断汽车有否超速行为的。接着，让学生试着用数学语言将这样一个性质表示出来，从而顺理成章地引出Lagrange中值定理。之后让学生思考：如果图3中的弦AB平行于x轴，这个性质是否还存在？从而引出Rolle中值定理。讲Cauchy中值定理时，引导学生考虑以下问题：当闭区间[a，b]上的连续光滑曲线是由参数方程给出时，Lagrange中值定理的结论会发生怎样的改变？并启发学生将Lagrange中值定理中的结论用参数方程的形式表示出来，从而Cauchy中值定理水到渠成地浮出水面。 图3
最后，在分析证明了这三个中值定理之后，启发学生归纳三个中值定理的实质与联系，如图4所示。即连续光滑的曲线上至少存在一条切线平行于端点的连线；三个微分中值定理是这一几何特征在不同条件（主要是曲线方程的不同）下的表述结果[4]。
图4 三个微分中值定理的实质与联系
实践证明，以上的教学安排，能引发学生积极思考，逐步从形象思维走向抽象思维，并让学生在课堂中大胆探索、感受发现真理的过程。既提高了学生的学习兴趣，也培养了学生的创造性思维能力。
四、将数学史融入教学，增加数学的亲和力
数学中任何一个概念的建立、一个定理的诞生都有一定的历史背景和艰难曲折的探索过程。但现行教材限于篇幅，大多忽略了其产生过程的曲折和坎坷，使学生看不到数学发展的全貌，而只看到机械化的表述和完美的结论。因此，如果教师上课时只是照本宣科，很容易让学生觉得数学课堂只是干巴巴的符号定义和枯燥的推导证明，从而对数学失去学习兴趣。回顾历史，我们发现，数学的发展也曾有过动人心弦的历史：因沉迷于几何题的计算，而被愚蠢的罗马士兵杀死的阿基米德的故事，会让我们为先贤扼腕，美丽的哥尼斯堡的七桥令人心驰神往，神奇的莫比乌斯带让人对数学的美妙产生无限的遐想……因此，在教学中适当穿插介绍一些数学定理和概念的历史演变过程，让学生了解数学不是由数学家突发奇想凭空产生的，数学原来是如此神奇，通常可以产生意想不到的教学效果。特别是当学生了解这些定理和概念诞生背后的艰难历程和那些为数学拼搏一生、奉献一生的数学家的故事之后，再去细细品味定理和概念的内涵，感受肯定和以前不一样。
比如，函数极限的ε-δ定义，许多学生只知道如下定义：对？坌ε>0，？埚δ>0，当0<|x-x0|<δ时，有|f（x）-A|<ε，则称 f（x）=A[4]。课堂上老师会举例说明可以用此定义证明函数极限的存在性。如果学生追问为什么，老师往往会回答：能做就行。显然，这样的教学无法消除学生刚接触极限概念时的畏难心理。相反，如果教师在课堂上能扼要地介绍微积分的发展历史，让学生了解极限概念从萌芽到完善，经过了近两千多年的时间，正是基于前人不懈的探索，数学家柯西才给出了极限动态的描述性定义，维尔斯特拉斯则又进一步给出了极限静态的ε-δ定义。相信学生了解了这段历史，弄清楚极限定义的来龙去脉后，刚接触极限概念时的畏难心理会烟消云散，并仔细聆听课堂上老师的讲解，从而为后面连续性、导数、积分等重要概念的学习打下良好的基础。
总之，只要我们善于挖掘数学史上那些闪耀着科学思想光辉的人文轶事，并合理融入课堂上，是可以消除数学在学生心中的神秘感，增加数学的亲和力，从而激发学生的学习热情和学习兴趣，使“沉闷”的高等数学变得既深刻又生动。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 高等学校非数学类专业数学基础课程教学指导分委员会.关于大学数学教学现状和提高教学质量的建议[J].中国大学教学，2005，（2）.
[2] 伍建华，江世宏，戴祖旭，等.大学数学教学的现状调查和分析[J].数学教育学报，2007，（8）.
[3] 王梓坤.让你开窍的数学丛书序[M].郑州：河南科学技术出版社，1997.
[4] 同济大学数学系编.高等数学（上、下册）（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.
[5] 乌兰哈斯.问题应贯穿于教学始终[N].汕头大学校报，2004：190.
[6] 王高峡.让微积分的学习生动有趣[J].高等数学研究，2000，（3）.
[责任编辑：左 芸]
[关键词]兴趣 高等数学 教学探索
[中图分类号] G420 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2013）18-0071-03
大学数学通常给人以枯燥乏味的印象，“学生不愿学，教师教不动”的沉闷局面时常出现在教学过程中[1-2]。这种状况与数学在科技和经济发展中的重要地位形成强烈对比。显然，学生不愿学的主要原因是对学数学没有产生兴趣。因此，如何把抽象的数学解析成既生动又富有启发性，是每一位大学数学教师所面临的重要课题。著名的数学家、教育家——王梓坤院士也曾指出：“数学教师的职责之一在于培养学生对数学的兴趣，这等于给了他们长久钻研数学的动力。优秀的数学教师之所以在学生心中永志不忘，就是由于他点燃了学生心灵中热爱数学的熊熊火焰[3]。”下面是笔者近几年来在讲授高等数学课程中的探索与实践。
一、精心设计所有教学内容，对学生形成持久的吸引力
“工欲善其事，必先利其器”，然而，要想在教学中让学生对抽象的东西感兴趣，不是件容易的事。因为，数学教材通常以“定义--定理--性质--例子”的形式呈现出来。学生看到的是完美的结论、天衣无缝的证明，至于书中的证明是如何想出来的，对学生来说是神秘的。可以想象，假如一个教师备课时完全拘泥于教材，上课时只是干巴巴地重复课本上的定义和定理，其课堂气氛一定很沉闷。因此，为了吸引学生的注意力，调动学生的思维，教师必须要舍得花时间深入研究教材，吃透教材，并在教材的基础进行再度创作。比如，如何将知识的背景及其发展过程呈现出来？如何提出问题引导学生思考？对于容易产生误解的问题如何去分析？特别是，如何激发学生对已有知识和经验的回忆与升华？甚至是如何启迪学生思维，使学生走得更远一点、看得更深入一点？这些都需要教师在课前精雕细琢、提炼分析，才能在课堂上深入浅出地进行教学，并使学生感受到数学的魅力，从而对学生形成持久的吸引力。总之，多年的教学实践使我们深深体会到，备课时，教师要做有心人，要站在学生的角度进行备课，课堂上才能吸引学生的注意力。
二、问题驱动，激活思考
问题是数学的心脏。1900年，在巴黎召开的第二次国际数学家大会上，德国数学家Hilbert提出的著名的23个问题至今影响着数学的发展。既然数学是问题化的，那么，传授数学的过程也应该是问题式的[5]。然而，现行的教材往往一上来就直接下定义，很少讲“为什么”？这种强调数学的逻辑严密性，忽视其丰富的思维过程的做法，大大挫伤了学生的学习积极性。因此，为激发学生的学习热情，笔者在教学中，并没有像书本一样从一开始就从天而降地给学生讲抽象的概念，而是针对每一节课的内容，精心设计一系列具有启发性、能激发学生探意识、展现思维过程的“问题”，然后围绕要解决的“问题”展开教学，以“问题”来调动学生思维，让学生在解决问题中去探索、学习，并逐步养成自己在问题中寻找规律的习惯。例如，讲“无穷小的比较”时，笔者是透过下面的问题集展开教学的。
问题1：两个无穷小的和、差、积仍是无穷小；那么商的情况又会怎样呢？
问题2：当x→0，时，函数x，x3，sinx，tan2x都是无穷小，观察下列各极限的值：
问题3：显然 而且当x趋于零时，这三个极限的分子和分母都趋于零，那么，x3和x，tan2x和4x，sinx和x趋于零的速度是否一样？
问题4：如何刻画两个无穷小在同一过程中趋于零的“快慢”程度？
一般在提问问题3之后，笔者会让学生再观察表1和图1之后才提问问题4，从而水到渠成地引出“无穷小的阶”的概念。
表1
图1
又如，讲“曲率”这节内容时，首先设问：火车在铁轨上行驶时， 如果拐弯太急， 乘客的感觉如何？当学生回答：“感觉会被甩出去、不舒适时”。追问，如何避免此类情况的出现？当学生提出拐弯处铁轨的弯曲程度是个关键问题时，顺势提问：曲线的弯曲程度与什么量有关系？并引导学生观察图2-1，学生很快就明白曲线弯曲程度与切线转过的角度有关。接着让学生观察图2-2，并自主探究切线转过的角度与曲线弯曲程度的关系，很快学生得出切线转过的角度越大曲线弯曲得越厉害，即曲线弯曲程度与切线的夹角Δα成正比；然后让学生观察图2-3，并得出弧长越小的曲线弧弯曲得越厉害，即曲线弯曲程度与曲线的长度Δs成反比。在此基础上，引导学生类比“速度”的概念，得出“曲率”的概念，K= | |，并让学生动手计算直线和圆的曲率，以检验用“曲率”度量曲线的弯曲程度的合理性。最后，让学生思考当曲线的弯曲情况较复杂时，如何计算曲率？并引导学生借助微商、弧微分等知识，推导出曲率的计算公式K=
图2-1 开叉的竹枝
图2-2
图2-3
三、尽量使抽象的数学变得自然，引导学生逐步从形象思维走向抽象思维
由于数学的抽象形式及其严格的证明推导与人们的直觉经验相距甚远，加上数学教材总是力求写得“完美无缺”，这就造成了数学在认知上的困难。难怪有人戏称数学课堂很容易催生特“困”生：本来还很明白的东西，听着听着就困惑了，接着就摇摇欲睡。针对这一情况，我们在教学中努力要做到的一件事就是让数学通俗易懂。为此，在教学中，笔者尽可能地以直观的图形、深入浅出的方式讲解数学。即用数形结合的方法、或通俗的比喻、或形象的类比，让抽象的数学变得自然形象起来。
例如，讲“微分中值定理”时，利用美国某些高速公路的收费办法作为问题的引入：在每一个入口处，检查人员给车上贴上标签，标明进入路段的时间和地点；在出口处，检查人员会根据此标签判断是否有超速行驶行为[6]。然后提问：你知道检查人员是如何判断的吗？这样的问题引入既有强烈的生活气息，又不乏趣味性，一下子就调动了学生听课的兴趣。接着引导学生将上述问题转化为图形，如图3。学生很快发现，在从入口到出口的这段时间里至少有某个时刻， 车的速率刚好等于平均速率。于是得出结论：检查人员是根据车的平均速率来判断汽车有否超速行为的。接着，让学生试着用数学语言将这样一个性质表示出来，从而顺理成章地引出Lagrange中值定理。之后让学生思考：如果图3中的弦AB平行于x轴，这个性质是否还存在？从而引出Rolle中值定理。讲Cauchy中值定理时，引导学生考虑以下问题：当闭区间[a，b]上的连续光滑曲线是由参数方程给出时，Lagrange中值定理的结论会发生怎样的改变？并启发学生将Lagrange中值定理中的结论用参数方程的形式表示出来，从而Cauchy中值定理水到渠成地浮出水面。 图3
最后，在分析证明了这三个中值定理之后，启发学生归纳三个中值定理的实质与联系，如图4所示。即连续光滑的曲线上至少存在一条切线平行于端点的连线；三个微分中值定理是这一几何特征在不同条件（主要是曲线方程的不同）下的表述结果[4]。
图4 三个微分中值定理的实质与联系
实践证明，以上的教学安排，能引发学生积极思考，逐步从形象思维走向抽象思维，并让学生在课堂中大胆探索、感受发现真理的过程。既提高了学生的学习兴趣，也培养了学生的创造性思维能力。
四、将数学史融入教学，增加数学的亲和力
数学中任何一个概念的建立、一个定理的诞生都有一定的历史背景和艰难曲折的探索过程。但现行教材限于篇幅，大多忽略了其产生过程的曲折和坎坷，使学生看不到数学发展的全貌，而只看到机械化的表述和完美的结论。因此，如果教师上课时只是照本宣科，很容易让学生觉得数学课堂只是干巴巴的符号定义和枯燥的推导证明，从而对数学失去学习兴趣。回顾历史，我们发现，数学的发展也曾有过动人心弦的历史：因沉迷于几何题的计算，而被愚蠢的罗马士兵杀死的阿基米德的故事，会让我们为先贤扼腕，美丽的哥尼斯堡的七桥令人心驰神往，神奇的莫比乌斯带让人对数学的美妙产生无限的遐想……因此，在教学中适当穿插介绍一些数学定理和概念的历史演变过程，让学生了解数学不是由数学家突发奇想凭空产生的，数学原来是如此神奇，通常可以产生意想不到的教学效果。特别是当学生了解这些定理和概念诞生背后的艰难历程和那些为数学拼搏一生、奉献一生的数学家的故事之后，再去细细品味定理和概念的内涵，感受肯定和以前不一样。
比如，函数极限的ε-δ定义，许多学生只知道如下定义：对？坌ε>0，？埚δ>0，当0<|x-x0|<δ时，有|f（x）-A|<ε，则称 f（x）=A[4]。课堂上老师会举例说明可以用此定义证明函数极限的存在性。如果学生追问为什么，老师往往会回答：能做就行。显然，这样的教学无法消除学生刚接触极限概念时的畏难心理。相反，如果教师在课堂上能扼要地介绍微积分的发展历史，让学生了解极限概念从萌芽到完善，经过了近两千多年的时间，正是基于前人不懈的探索，数学家柯西才给出了极限动态的描述性定义，维尔斯特拉斯则又进一步给出了极限静态的ε-δ定义。相信学生了解了这段历史，弄清楚极限定义的来龙去脉后，刚接触极限概念时的畏难心理会烟消云散，并仔细聆听课堂上老师的讲解，从而为后面连续性、导数、积分等重要概念的学习打下良好的基础。
总之，只要我们善于挖掘数学史上那些闪耀着科学思想光辉的人文轶事，并合理融入课堂上，是可以消除数学在学生心中的神秘感，增加数学的亲和力，从而激发学生的学习热情和学习兴趣，使“沉闷”的高等数学变得既深刻又生动。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 高等学校非数学类专业数学基础课程教学指导分委员会.关于大学数学教学现状和提高教学质量的建议[J].中国大学教学，2005，（2）.
[2] 伍建华，江世宏，戴祖旭，等.大学数学教学的现状调查和分析[J].数学教育学报，2007，（8）.
[3] 王梓坤.让你开窍的数学丛书序[M].郑州：河南科学技术出版社，1997.
[4] 同济大学数学系编.高等数学（上、下册）（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.
[5] 乌兰哈斯.问题应贯穿于教学始终[N].汕头大学校报，2004：190.
[6] 王高峡.让微积分的学习生动有趣[J].高等数学研究，2000，（3）.
[责任编辑：左 芸]