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发散思维就是为了达到某一明确目的而设想出全部的或相当多的可能性,以供选择的思维过程,具有流畅、变通、独创等特征。
一、训练思维的流畅性,注重一个“想”字
思维的流畅性,是指学生思维活跃、反应灵敏、善于联想,在教学中由于正向思维定势的负迁移,学生往往善于从单方面去考虑问题。如果让学生调换一个角度去思考,或者改变他们的思维方向,就能达到思维能力的培养。
(一)正难则反,防止思维囿于一个方向,训练流畅思维
例如:设不等式ax2+2bx+6>0 的解是-3 分析∵ax2+2bx+6>0 的解是-3 则ax2+2bx+6>0 等价于-3 ∴(x+3)(x-1)<0,故有-x2-2x+3>0,
这是一道不等式的还原题,根据不等式等价的可逆性,求已知一个不等式的解,“还原”为原不等式,目的是为了培养学生在解题过程中学会“正”过程联想“逆”过程,利用“正”与“逆”的相互关系加以数式变换,达到训练学生发散思维的目的。
又例如,已知f(x)=(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与x轴有两个交点,其中至少有一个交点在x轴的负半轴上,求实数m的范围。
若“正”向思维与思考,须分情况讨论,显然太繁,“逆”向考虑求函数f(x)的图象与x轴两交点不在x轴负半轴上时,m的取值范围,再取其补集,问题就会变得简洁明快。
这里值得指出的是数学学科本身,提供了大量的可逆素材。例如:互逆定理,互逆公式,互逆运算,互逆变换,互逆对应,互逆证法等都可以培养学生逆向思维,从而达到思维流畅。
(二)从数学公式、法则的引申中,训练流畅思维
从公式法则的教学中,联想到它的引申,防止思维囿于一点,训练流畅思维。
象这样在公式、法则教学中,若联想到它的变形、引申,不但能扩大其应用范围,而且使学生的基础知识在深度和广度上得到了提高。
二、训练思维的变通性,注重一个“活”字
思维的变通度就是指思维的变通性,也是指思维的灵活性,它不受思维定势的束缚,在教学中对例题、习题的形式、结构、特征等方面不断变化,克服教学中的定势,使学生从多角度、多向性方面考虑问题,从而达到变通能力的培养。
(一)从条件和解法的多变中,训练灵活性
例如:已知x2+x-1=0,求 x3+2x2+3的值。
在解此题的过程中,大部分学生会从已知求出x的值,然后代入所求式中,这样不仅运算量大而且易出错,若引导学生变换条件,①条件变为:x2=1-x,则有x3+2x2+3化为x(1-x)+2(1-x)+3=x-x2+2-2x+3=x-(1-x)+2
-2x+3=4;
②条件变为:x2+x=1,则有x3+2x2+3=x(x2+x)+ x2+3=x+x2+3=4;
③把条件由变为:(x+1)(x2+x-1)=0,即x3+2x2=1,∴x3+2x2+3=4。
这样从已知条件的变换到解法的求异,培养了学生思维的变通性,提高了解题的技能技巧,使学生在解题中求多变,应用中求灵活。
(二)从题目结论变换中训练灵活性
例如:方程4x2+4mx+2m-1=0中,若m为任意实数,方程有无实数根?
二根的符号;④方程有有理根的条件?⑤ 当 m为何值时方程有两个负根?象这样,由于问题方位变化,使学生不断地变换应用知识的范围和方式,思维处于不断地变通中,有效地训练了学生思维的灵活性。
三、训练思维的独创性,注重一个“新”字
思维的独创性,指思维方式新颖、独特、富于创新。教学中教师要不失时机地鼓励学生探索,使他们富于创新能力。
例如:等差数列-5,-9,-13,……的第几项是-401?
大部分学生解答时采用常规化、模式化的方法。首先求通项公式,然后再解关于n的方程,思维呆板、陈旧,有的学生利用函数的观点和数形结合的方法,找到了新颖别致的方法,即:设A(1,-5)、B(2,-9)、C(n,-401)三点共线,就有KBC =KAB,解之得n=100,这时教师及时抓住反馈信息中学生解法上的一个“新”字,进行激励表彰,这样会使学生思维的独创性经常建立在一个“新”字上。
在教学实践中表明这样的训练无论从内容上,还是从方法上都能起到创新的作用,收到秀枝一株,嫁接成林之效果,不仅可以使学生学会处理一个问题,而且还能培养学生解决一类问题的本领,更对激发学生的学习兴趣、开拓学生的视野大有益处。
一、训练思维的流畅性,注重一个“想”字
思维的流畅性,是指学生思维活跃、反应灵敏、善于联想,在教学中由于正向思维定势的负迁移,学生往往善于从单方面去考虑问题。如果让学生调换一个角度去思考,或者改变他们的思维方向,就能达到思维能力的培养。
(一)正难则反,防止思维囿于一个方向,训练流畅思维
例如:设不等式ax2+2bx+6>0 的解是-3
这是一道不等式的还原题,根据不等式等价的可逆性,求已知一个不等式的解,“还原”为原不等式,目的是为了培养学生在解题过程中学会“正”过程联想“逆”过程,利用“正”与“逆”的相互关系加以数式变换,达到训练学生发散思维的目的。
又例如,已知f(x)=(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与x轴有两个交点,其中至少有一个交点在x轴的负半轴上,求实数m的范围。
若“正”向思维与思考,须分情况讨论,显然太繁,“逆”向考虑求函数f(x)的图象与x轴两交点不在x轴负半轴上时,m的取值范围,再取其补集,问题就会变得简洁明快。
这里值得指出的是数学学科本身,提供了大量的可逆素材。例如:互逆定理,互逆公式,互逆运算,互逆变换,互逆对应,互逆证法等都可以培养学生逆向思维,从而达到思维流畅。
(二)从数学公式、法则的引申中,训练流畅思维
从公式法则的教学中,联想到它的引申,防止思维囿于一点,训练流畅思维。
象这样在公式、法则教学中,若联想到它的变形、引申,不但能扩大其应用范围,而且使学生的基础知识在深度和广度上得到了提高。
二、训练思维的变通性,注重一个“活”字
思维的变通度就是指思维的变通性,也是指思维的灵活性,它不受思维定势的束缚,在教学中对例题、习题的形式、结构、特征等方面不断变化,克服教学中的定势,使学生从多角度、多向性方面考虑问题,从而达到变通能力的培养。
(一)从条件和解法的多变中,训练灵活性
例如:已知x2+x-1=0,求 x3+2x2+3的值。
在解此题的过程中,大部分学生会从已知求出x的值,然后代入所求式中,这样不仅运算量大而且易出错,若引导学生变换条件,①条件变为:x2=1-x,则有x3+2x2+3化为x(1-x)+2(1-x)+3=x-x2+2-2x+3=x-(1-x)+2
-2x+3=4;
②条件变为:x2+x=1,则有x3+2x2+3=x(x2+x)+ x2+3=x+x2+3=4;
③把条件由变为:(x+1)(x2+x-1)=0,即x3+2x2=1,∴x3+2x2+3=4。
这样从已知条件的变换到解法的求异,培养了学生思维的变通性,提高了解题的技能技巧,使学生在解题中求多变,应用中求灵活。
(二)从题目结论变换中训练灵活性
例如:方程4x2+4mx+2m-1=0中,若m为任意实数,方程有无实数根?
二根的符号;④方程有有理根的条件?⑤ 当 m为何值时方程有两个负根?象这样,由于问题方位变化,使学生不断地变换应用知识的范围和方式,思维处于不断地变通中,有效地训练了学生思维的灵活性。
三、训练思维的独创性,注重一个“新”字
思维的独创性,指思维方式新颖、独特、富于创新。教学中教师要不失时机地鼓励学生探索,使他们富于创新能力。
例如:等差数列-5,-9,-13,……的第几项是-401?
大部分学生解答时采用常规化、模式化的方法。首先求通项公式,然后再解关于n的方程,思维呆板、陈旧,有的学生利用函数的观点和数形结合的方法,找到了新颖别致的方法,即:设A(1,-5)、B(2,-9)、C(n,-401)三点共线,就有KBC =KAB,解之得n=100,这时教师及时抓住反馈信息中学生解法上的一个“新”字,进行激励表彰,这样会使学生思维的独创性经常建立在一个“新”字上。
在教学实践中表明这样的训练无论从内容上,还是从方法上都能起到创新的作用,收到秀枝一株,嫁接成林之效果,不仅可以使学生学会处理一个问题,而且还能培养学生解决一类问题的本领,更对激发学生的学习兴趣、开拓学生的视野大有益处。