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摘 要：对于函数图像，我们所认知的基本初等函数的图像特性已成为规律被人们所掌握，而复杂型函数的图像由基本初等函数以复合、组合的形式构成，是有规律可寻的。该文通过对双轴法的构思、深入讨论、对原函数斜率的分析处理、多组子函数构成组合函数的图像、双轴法的延伸——隐函数与显函数曲线间的叠加5个步骤，对组合型函数图像的描绘进行了阐述和推导。
关键词：双轴法 组合型函数 组合函数图像 图像描绘
中图分类号：F83 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）08（c）-0178-05
对于函数图像，我们所认知的基本初等函数的图像特性已成为规律被所人们掌握，而今天的讨论便架设在此基础之上。
对于复杂型函数，其图像特征便不再如初等函数信手拈来，但究其本质，是由初等函数以复合、组合的形式构成，便有规律可寻。复合函数可由“增增为增，减减为增，增减成减”的单调性复合规律再加之极值点进行讨论。而“双轴法”的引出便是对组合函数（如，等）图像的讨论。
1 双轴法的构思
让我们先用一个实例为切入点引入该法的概念，以为例。
可以将其看作是两个函数的叠加，即与，则函数值也为两子函数叠加。如何让其在平面直角坐标系中叠加？不妨先做出两函数图像（由基本初等函数知识，我们很容易做出）（见图1）。
若直接让该两个子函数在坐标系中叠加，看起来会杂乱无章，可若将其中一个函数“倒过来”呢？如图2将两图像相互反置在一张图中。
不难看出，两函数叠加形成的阴影部分在轴方向上的长度即为所对应的函数值；如果把该阴影纵向分割成无数线段，让这些线段的下端点都平齐于轴上，即为原函数图像，如图3所示，线段的长度即为所对应函数值的大小的绝对值，正负性会在接下来进行讨论，这便是“双轴法”概念的引入。
2 对双轴法进行深入讨论
对双轴法有了初步了解，让我们继续深入探讨此法。
2.1 组合型函数值正负性
在上文中举出的函数其子函数与其值域都为的子集，故用双轴法叠加后“互不侵犯”，不会到对方的半个坐标系，这样举例是为了方便理解，可若两子函数值域不为的子集呢？如。
如图4所示，我们发现叠加图像中实线阴影部分出现了“相交”的情况。
在双轴坐标系中，上部为的正值区域，同时也是的负值区域，不妨把其形象看作对于正值的“掠夺”，原本的正值，被负值叠加后成为负值，则实线阴影区域即为原函数负值区域，进行整合时，将组成它的无数小线段的上端平齐于轴。
如图5所示，即为原函数函数图像，得出规律：“相离为正，相交为负”。
2.2 极值与最值
在对函数图像的刻画中，极值点与最值点的定位是一个很重要的环节，具有导向性。先拿两个函数进行分析（见图6）。
通过观察不难发现几点规律。
（1）零点：由“相离”到“相交”之间的转换所对应函数图像便是由正值到负值之间的转换，即双轴叠加图像中两个子函数的交点，即为函数零点。
（2）单调性——“喇叭”。观察图6中的①②③④，我们会发现在双轴叠加图像中会出现不少这样的“喇叭”型片段；不讨论正负，单讨论“值”，很容易发现，“喇叭”所对的喇叭口方向，即为值的递增。在正值即“相离”区域，值的递增便是函数值的递增，沿轴正方向即为单调递增，延轴负方向即为单调递减；相反地，在负值“相交”区域中，负值的递增表达在函数值中即为递减，延轴正方向即为单调递减，延轴负方向即为单调递增。
（3）极值。对（2）的延伸讨论即为“梭”形（图6中②③），梭形对于“值”的变化即为由小到大再由大到小，那么不难理解其梭形“最宽处”在原函数图像中即对应一个极值点。
在“相交”负值区域中，“最宽处”对应负值最大值，表现在原函数中即为极小值；在“相离”正值区域，相反地，“最宽处”为一个极大值。
观察上图7中的⑤，函数双轴叠加图像中，亦会有这样的“葫芦形”片段出现在正值共域或负值共域中（共域：区域内函数值都为正或都为负，即都为“相交”或都为“相离”）。经过前面的讨论，可以直接得出其规律：“最窄处”对应一个值的最小点，在“相交”负值共域中，对应一个极大值，在“相离”正值共域中，表现为一个极小值（也有可能为该定义域内的最值，具体要和相邻定义域的图像情况结合起来分析）。
（4）最值。对于一个区域性极值，对区域两端函数图像单调性进行分析即可得出其是否为最值，如图6中②③“喇叭”片段中为一个区域极小值，对①与④进行分析，发现位于轴负方向上的①片段是一个单调递减区间，位于轴正方向上的④片段是一个单调递增区间，综合分析得出结论：在原函数中是一个最小值点。
（5）值域。对比分析原函数最值便可轻易推算出函数在定义域内的值域；对函数双轴叠加图像进行分段处理单独分析也可推算出单个区间的值域。
如图6中①②片段，作为一个极小值点出现，而①②片段为单调递减，故①②片段最小值，则在区间上值域为。
3 对原函数斜率的分析处理（以下子函数的斜率为双轴图中直观斜率）
（1）斜率的大小。
从导数的定义我们可以知道，原函数导数为子函数导数之和，满足单纯的加减运算。如原函数，子函数即为与，可推知：。
（2）斜率正负性与大小对于单调性的判断。
由前文我们了解了由雙轴叠加图像中一些形如“喇叭”“梭”“葫芦”形等简单片段对于原函数单调性的判断，可复杂型组合函数有更多的是像图8这样复杂、直观无法判断的图像，为了方便双轴法叠加图像更加直观，我们可对原函数进行配比：。
框中图像片段并不好直观进行判断，并且其斜率的计算也比较复杂：。那么，我们应该如何根据双轴叠加图像判断原函数的单调性呢？ 这个片段判断单调性的难处在于在上单调递减，而在上单调递增，减少量与增加量谁大谁小难以判断。在这里，为了方便理解，我们可以引入物理学的概念，把函数的斜率看作其函数值基于均匀变化而变化的速度，即“速度”；而斜率变化的快慢看作“速度”的“加速度”，即“二阶导数”；既然无法直接判断减少量与增加量谁大谁小，不如宏观判断究竟是“加得快”还是“减得快”。
这种情况，两子函数在双轴图中斜率具有（即直观来看同时向下或向上延伸）。
将其分为4种类型如图9所示。
在图9①中，双轴上部子函数初始斜率小于下部。
观察实线情况，二阶导数恒正，二阶导数恒负。不断增大，不断减小，当时，达到极小值，之后便开始单调递增；即时，单调递减，当时，开始单调递增。
观察虚线情况，恒负，而恒正。不断减小，不断增大，又由于，所以增长的速度要永远慢于的减小速度，呈单调递减。
在图9②中，双轴图上部子函数初始斜率大于下部。
观察实线情况，恒正，恒负。不断增大，不断减小，又由于，所以增长的速度要永远快于的减小速度，呈单调递增。
观察虚线情况，恒负，而恒正。不断减小，不断增大，当时，达到极大值，之后开始单调递减；即时，单调递增，时，单调递减。
分析完①②两种类别，仔细观察③④，会发现它们分别是①与②绕轴旋转180°形成的图像，规律相似，故不再重复分析。
以上分析的情况中，永远与正负性相异，是较简单的情况，比较容易分析。
那么，要是与正负性相同呢？（见图10）
在图10①中，上部子函数初始斜率小于下部，且与恒正。
观察虚线情况，。与不断增大，且增长速度要快于，又由于，所以的减小量恒大于的增大量，单调递减。
观察实线情况，。与不断增大，在时，单调递减，在时，单调递增。
在图10②中，上部子函数初始斜率大于下部，且与恒正。
观察虚线情况，当时单调递增即在片段内全部单调递增。
观察实线情况，当时单调递增，当时单调递减，即在该片段内先单调递增后单调递减。
分析到这里，我们大致可以总结出一个规律：当增长量子函数斜率绝对值大于减少量子函数斜率绝对值时，函数
单调递增，反之单调递减（其中，斜率是指双轴图中直观斜率）。
举个简单的例子：，则，。
对图11双轴叠加图像进行分析，在与上为典型的“喇叭”型，故在上单调递减，在上单调递增。分析区间：，（图中直观斜率），故，一开始减小速度快于增长速度，呈单调递减。不断减小，不变，当时：，故当大于后，，单调递增；故在上单调递减，在上单调递增。
4 多组子函数构成组合函数的图像
以上我们分析的都是由两组子函数构成的组合函数，但要是两组以上呢？
我们可以累计逐一叠加，举个例子（如图
12）：。
如上，用如此逐一累加的方法就可以逐步做出由两组以上子函数构成的组合函数的图像。
5 双轴法的延伸——隐函数与显函数曲线间的叠加
形如，这样的隐函数曲线，所对应的在轴方向上并不具有单一性，如果直接使用双轴法将其与显函数曲线进行叠加，双轴叠加图像会显得杂乱不堪，不好进行辨别。那么，应该用什么样的方法进行叠加才会让它变得直观可辨呢？我们可以用一些技巧，让隐函数曲线变得像显函数曲线一样（如图13）。
——“分而治之”：
举个例子，如：与（-1≤≤1）。
通过以上的讨论，我们已对双轴法的构思和复杂性组合函数图像的描绘方法有了一定的了解。笔者相信，双轴法的推广和使用，会让函数与曲线图像的绘制与其性质的研究更加方便，一定会成为研究数学、物理、化学、生物、计算机及其他学科的好工具，也能让更多与函数相关领域的应用中多了一种解决问题的方案，会给人们带来更多快捷！
参考文献
[1] 人民教育出版社，课题材料研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书 数学1必修A版[M].2版.北京：人民教育出版社，2007.
[2] 人民教育出版社，课题材料研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书 数学4必修A版[M].2版.北京：人民教育出版社，2007.
[3] 人民教育出版社，课题材料研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书 数学1-1选修A版[M].3版.北京：人民教育出版社，2007.
[4] 人民教育出版社，课题材料研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书 数学2-2选修A版[M].2版.北京：人民教育出版社，2007.
[5] 刘菊芬，田朗华，吴芳.初等函数读图教学突破策略[J].铜仁学院学报，2013，15（6）：169-171.
[6] 沈恒，劉薇.函数图像中的数学文化[J].上海中学数学，2009（11）：23-25.
[7] 黄超.函数的图像与性质[J].中学数学教学参考，2016（3）：
47-51.
[8] 王光辉.图像在解答函数题中的作用[J].考试：高考数学版，2013（1）：48-52.
关键词：双轴法 组合型函数 组合函数图像 图像描绘
中图分类号：F83 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）08（c）-0178-05
对于函数图像，我们所认知的基本初等函数的图像特性已成为规律被所人们掌握，而今天的讨论便架设在此基础之上。
对于复杂型函数，其图像特征便不再如初等函数信手拈来，但究其本质，是由初等函数以复合、组合的形式构成，便有规律可寻。复合函数可由“增增为增，减减为增，增减成减”的单调性复合规律再加之极值点进行讨论。而“双轴法”的引出便是对组合函数（如，等）图像的讨论。
1 双轴法的构思
让我们先用一个实例为切入点引入该法的概念，以为例。
可以将其看作是两个函数的叠加，即与，则函数值也为两子函数叠加。如何让其在平面直角坐标系中叠加？不妨先做出两函数图像（由基本初等函数知识，我们很容易做出）（见图1）。
若直接让该两个子函数在坐标系中叠加，看起来会杂乱无章，可若将其中一个函数“倒过来”呢？如图2将两图像相互反置在一张图中。
不难看出，两函数叠加形成的阴影部分在轴方向上的长度即为所对应的函数值；如果把该阴影纵向分割成无数线段，让这些线段的下端点都平齐于轴上，即为原函数图像，如图3所示，线段的长度即为所对应函数值的大小的绝对值，正负性会在接下来进行讨论，这便是“双轴法”概念的引入。
2 对双轴法进行深入讨论
对双轴法有了初步了解，让我们继续深入探讨此法。
2.1 组合型函数值正负性
在上文中举出的函数其子函数与其值域都为的子集，故用双轴法叠加后“互不侵犯”，不会到对方的半个坐标系，这样举例是为了方便理解，可若两子函数值域不为的子集呢？如。
如图4所示，我们发现叠加图像中实线阴影部分出现了“相交”的情况。
在双轴坐标系中，上部为的正值区域，同时也是的负值区域，不妨把其形象看作对于正值的“掠夺”，原本的正值，被负值叠加后成为负值，则实线阴影区域即为原函数负值区域，进行整合时，将组成它的无数小线段的上端平齐于轴。
如图5所示，即为原函数函数图像，得出规律：“相离为正，相交为负”。
2.2 极值与最值
在对函数图像的刻画中，极值点与最值点的定位是一个很重要的环节，具有导向性。先拿两个函数进行分析（见图6）。
通过观察不难发现几点规律。
（1）零点：由“相离”到“相交”之间的转换所对应函数图像便是由正值到负值之间的转换，即双轴叠加图像中两个子函数的交点，即为函数零点。
（2）单调性——“喇叭”。观察图6中的①②③④，我们会发现在双轴叠加图像中会出现不少这样的“喇叭”型片段；不讨论正负，单讨论“值”，很容易发现，“喇叭”所对的喇叭口方向，即为值的递增。在正值即“相离”区域，值的递增便是函数值的递增，沿轴正方向即为单调递增，延轴负方向即为单调递减；相反地，在负值“相交”区域中，负值的递增表达在函数值中即为递减，延轴正方向即为单调递减，延轴负方向即为单调递增。
（3）极值。对（2）的延伸讨论即为“梭”形（图6中②③），梭形对于“值”的变化即为由小到大再由大到小，那么不难理解其梭形“最宽处”在原函数图像中即对应一个极值点。
在“相交”负值区域中，“最宽处”对应负值最大值，表现在原函数中即为极小值；在“相离”正值区域，相反地，“最宽处”为一个极大值。
观察上图7中的⑤，函数双轴叠加图像中，亦会有这样的“葫芦形”片段出现在正值共域或负值共域中（共域：区域内函数值都为正或都为负，即都为“相交”或都为“相离”）。经过前面的讨论，可以直接得出其规律：“最窄处”对应一个值的最小点，在“相交”负值共域中，对应一个极大值，在“相离”正值共域中，表现为一个极小值（也有可能为该定义域内的最值，具体要和相邻定义域的图像情况结合起来分析）。
（4）最值。对于一个区域性极值，对区域两端函数图像单调性进行分析即可得出其是否为最值，如图6中②③“喇叭”片段中为一个区域极小值，对①与④进行分析，发现位于轴负方向上的①片段是一个单调递减区间，位于轴正方向上的④片段是一个单调递增区间，综合分析得出结论：在原函数中是一个最小值点。
（5）值域。对比分析原函数最值便可轻易推算出函数在定义域内的值域；对函数双轴叠加图像进行分段处理单独分析也可推算出单个区间的值域。
如图6中①②片段，作为一个极小值点出现，而①②片段为单调递减，故①②片段最小值，则在区间上值域为。
3 对原函数斜率的分析处理（以下子函数的斜率为双轴图中直观斜率）
（1）斜率的大小。
从导数的定义我们可以知道，原函数导数为子函数导数之和，满足单纯的加减运算。如原函数，子函数即为与，可推知：。
（2）斜率正负性与大小对于单调性的判断。
由前文我们了解了由雙轴叠加图像中一些形如“喇叭”“梭”“葫芦”形等简单片段对于原函数单调性的判断，可复杂型组合函数有更多的是像图8这样复杂、直观无法判断的图像，为了方便双轴法叠加图像更加直观，我们可对原函数进行配比：。
框中图像片段并不好直观进行判断，并且其斜率的计算也比较复杂：。那么，我们应该如何根据双轴叠加图像判断原函数的单调性呢？ 这个片段判断单调性的难处在于在上单调递减，而在上单调递增，减少量与增加量谁大谁小难以判断。在这里，为了方便理解，我们可以引入物理学的概念，把函数的斜率看作其函数值基于均匀变化而变化的速度，即“速度”；而斜率变化的快慢看作“速度”的“加速度”，即“二阶导数”；既然无法直接判断减少量与增加量谁大谁小，不如宏观判断究竟是“加得快”还是“减得快”。
这种情况，两子函数在双轴图中斜率具有（即直观来看同时向下或向上延伸）。
将其分为4种类型如图9所示。
在图9①中，双轴上部子函数初始斜率小于下部。
观察实线情况，二阶导数恒正，二阶导数恒负。不断增大，不断减小，当时，达到极小值，之后便开始单调递增；即时，单调递减，当时，开始单调递增。
观察虚线情况，恒负，而恒正。不断减小，不断增大，又由于，所以增长的速度要永远慢于的减小速度，呈单调递减。
在图9②中，双轴图上部子函数初始斜率大于下部。
观察实线情况，恒正，恒负。不断增大，不断减小，又由于，所以增长的速度要永远快于的减小速度，呈单调递增。
观察虚线情况，恒负，而恒正。不断减小，不断增大，当时，达到极大值，之后开始单调递减；即时，单调递增，时，单调递减。
分析完①②两种类别，仔细观察③④，会发现它们分别是①与②绕轴旋转180°形成的图像，规律相似，故不再重复分析。
以上分析的情况中，永远与正负性相异，是较简单的情况，比较容易分析。
那么，要是与正负性相同呢？（见图10）
在图10①中，上部子函数初始斜率小于下部，且与恒正。
观察虚线情况，。与不断增大，且增长速度要快于，又由于，所以的减小量恒大于的增大量，单调递减。
观察实线情况，。与不断增大，在时，单调递减，在时，单调递增。
在图10②中，上部子函数初始斜率大于下部，且与恒正。
观察虚线情况，当时单调递增即在片段内全部单调递增。
观察实线情况，当时单调递增，当时单调递减，即在该片段内先单调递增后单调递减。
分析到这里，我们大致可以总结出一个规律：当增长量子函数斜率绝对值大于减少量子函数斜率绝对值时，函数
单调递增，反之单调递减（其中，斜率是指双轴图中直观斜率）。
举个简单的例子：，则，。
对图11双轴叠加图像进行分析，在与上为典型的“喇叭”型，故在上单调递减，在上单调递增。分析区间：，（图中直观斜率），故，一开始减小速度快于增长速度，呈单调递减。不断减小，不变，当时：，故当大于后，，单调递增；故在上单调递减，在上单调递增。
4 多组子函数构成组合函数的图像
以上我们分析的都是由两组子函数构成的组合函数，但要是两组以上呢？
我们可以累计逐一叠加，举个例子（如图
12）：。
如上，用如此逐一累加的方法就可以逐步做出由两组以上子函数构成的组合函数的图像。
5 双轴法的延伸——隐函数与显函数曲线间的叠加
形如，这样的隐函数曲线，所对应的在轴方向上并不具有单一性，如果直接使用双轴法将其与显函数曲线进行叠加，双轴叠加图像会显得杂乱不堪，不好进行辨别。那么，应该用什么样的方法进行叠加才会让它变得直观可辨呢？我们可以用一些技巧，让隐函数曲线变得像显函数曲线一样（如图13）。
——“分而治之”：
举个例子，如：与（-1≤≤1）。
通过以上的讨论，我们已对双轴法的构思和复杂性组合函数图像的描绘方法有了一定的了解。笔者相信，双轴法的推广和使用，会让函数与曲线图像的绘制与其性质的研究更加方便，一定会成为研究数学、物理、化学、生物、计算机及其他学科的好工具，也能让更多与函数相关领域的应用中多了一种解决问题的方案，会给人们带来更多快捷！
参考文献
[1] 人民教育出版社，课题材料研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书 数学1必修A版[M].2版.北京：人民教育出版社，2007.
[2] 人民教育出版社，课题材料研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书 数学4必修A版[M].2版.北京：人民教育出版社，2007.
[3] 人民教育出版社，课题材料研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书 数学1-1选修A版[M].3版.北京：人民教育出版社，2007.
[4] 人民教育出版社，课题材料研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书 数学2-2选修A版[M].2版.北京：人民教育出版社，2007.
[5] 刘菊芬，田朗华，吴芳.初等函数读图教学突破策略[J].铜仁学院学报，2013，15（6）：169-171.
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[7] 黄超.函数的图像与性质[J].中学数学教学参考，2016（3）：
47-51.
[8] 王光辉.图像在解答函数题中的作用[J].考试：高考数学版，2013（1）：48-52.