向量数量积与抛物线的焦点弦

• 作 者: 邱友会
• 出 处: 数学教学通讯(教师阅读)
• 发表日期: 2009年4期
• 关键词: 向量 数量积 焦点弦 关系探讨

　　摘要：本文就向量的数量积与抛物线的焦点弦及焦点三角形面积问题进行研究，得出两个新定理：定理1，若AB是过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的弦长，且•=λ，则AB=；定理2，若AB是过抛物线y2=2px的焦点弦，O为坐标原点，且•=λ，则S△OAB=.
　　关键词：向量；数量积；焦点弦；关系探讨
　　
　　近几年高考中，焦点弦及焦点三角形是解析几何中的热点，所以值得总结与研究. 对于抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点F的弦AB=，与顶点O连结的△OAB面积S=是大家比较熟悉的. 新教材增设了有关向量的知识，将平面向量知识与解析几何知识综合起来，在知识网络交汇处命题是目前高考的一个亮点. 本文就向量的数量积与抛物线的焦点弦及焦点三角形面积总结所得的公式介绍给大家，以供同仁参考.
　　定理1若AB是过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的弦长，且•=λ，则
　　AB=.
　　证明设A（x1，y1），B（x2，y2）且AB有斜率k时，其坐标满足方程组
　　y2=2px，y=kx－?圯0=k2x2－（k2p+2p）x+.
　　所以x1•x2=.
　　若AB没有斜率时直线AB的方程为x=，
　　则x1•x2=.
　　因为•=•cosθ（θ=0°），
　　所以=λ.
　　又因为=x2+，=x1+，
　　所以x1+x2+=λ.
　　所以x1•x2+（x1+x2）+=λ.
　　因为x1•x2=，
　　所以（x1+x2）=λ－.
　　故x1+x2=－p.
　　所以AB=x1+x2+p=.
　　故AB=.
　　定理2若AB是过抛物线y2=2px的焦点弦，O为坐标原点，且•=λ，则
　　 S△OAB=.
　　证明设直线AB的倾斜角为α（α若为钝角取其补角），若α≠，
　　则AB的方程为
　　y=x-tanα，
　　即xtanα－y－tanα=0.
　　设点O到直线AB的距离为d，
　　则d==sinα.?摇?摇 ①
　　若α=，则d=. ①式仍成立.
　　所以S△OAB=AB•d.
　　因为AB=，d=sinα，
　　所以S△OAB=.
　　由定理1知AB=，又AB=，
　　可得sinα=，
　　所以S△OAB=.