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【摘要】：在解三角函数问题时，只要巧用定义，就能激活学生解题的思路，使解题过程简便易行，从而达到事半功倍的效果。本文就从解三角函数值、求角度、证明不等式等问题作简要探索。
【关键词】：三角函数定义；求值；求角度；证明不等式
全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（下），任意角α的三角函数的定义是：设α是任意角，点P（x，y）是α终边上任意一点，且它与原点的距离是r=x2+y2>0，那么如下六个比值：yr，xr，yx，xy，rx，ry分别叫做角α的正弦，余弦，正切，余切，正割，余割。依次记作sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx，cotα=xy，secα=rx，cscα=ry。如果r=1，那么sinα=y，cosα=x，tanα=yx，cotα=xy，secα=1x，cscα=1y，这样定义三角函数的方法叫做坐标定义法。相应地，伴随着三角函数的坐标定义，二倍角，半角以及和差三角函数，都可以用点的坐标来表示。因为三角函数可以用坐标定义，因此许多三角函数问题可以通过三角函数的定义转化为代数问题，从而可以借助代数的方法处理三角函数问题。从以下几个例子可以看出：运用三角函数的坐标定义法解题，不仅有规可循，思路新颖，而且书写方便，运算简捷。
一、利用定义求三角函数值
例1：（2007浙江卷理科12）已知sinθ+cosθ=15，且π2≤θ≤3π4，则cos2θ的值是
。
解：设点P（x，y）是角θ的终边与单位圆的交点，则cosθ=x，sinθ=y，由已知得：x+y=15，由x+y=15
x2+y2=1，并注意到π2≤θ≤3π4（|x|<|y|），解得：x=-35，y=-45，所以cos2θ=x2-y2=-725。答案：-725。
例2：﹙2006安徽卷文科17﹚已知0<α<π2，sinα=45。
（1）求sin2α+sin2αcos2α+cos2α的值；（2）求tan（α-5π4）的值。
解：设点P（x，y）是角α的终边与单位圆的交点，则cosα=x，sinα=y则y=45，因为α是锐角，所以代入x2+y2=1并解得x=35，tanα=yx=34。
（1）sin2α+sin2αcos2α+cos2α=y2+2xy3x2-1= 20；（2）tan（α-5π4）=tanα-1tanα+1=17。
例3：已知cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，求cos2α+cos2β+cos2γ的值。
解：设三点Pi（xi，yi）（i=1，2，3）是角α，β，γ的终边与单位圆的交点，则由已知得x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0，即x3=-（x1+x2），y3=-（y1+y2），代入x32+y32=1，并注意到xi2+yi2=1（i=1，2）得x1x2+y1y2=-12。若y2≠0，则y1=-1y2（12+x1x2） ，代入x12+y12=1并注意到y22=1-x22，整理得x12+x22+x1x2=34，故cos2α+cos2β+cos2γ=x12+x22+[-（x1+x2）]2=2（x12+x22+x1x2）=32。若y2=0则x22=1，此时x12=1，此时x12=14，cos2α+cos2β+cos2γ=2（14+1-12）=32综上知：cos2α+cos2β+cos2γ=32。
二、利用定义求角度
例4：设α∈（0，π），β∈（0，π）且cosα+cosβ-cos（α+β）=32，求α，β之值。
解：设两点Pi（xi，yi）（i=1，2，）分别是角α，β的终边与单位圆的交点，则由已知得：
x1+x2-（x1x2-y1y2）=32 ………… ①
x12+y12=1 ………… ②
x22+y22=1………… ③
②+③- ①并整理得：（x1+x2-1）2+（y1-y2）2=0，∴x1+x2-1=0且y1-y2=0，即y1=y2。②-③得：（x1+x2）（x1-x2）=0，∵x1+x2=1，∴x1-x2=0，于是由x1+x2=1
x1-x2=1，解得x1=x2=12，即cosα=cosβ=12，又因为α∈（0，π），β∈（0，π），所以α=β=π3。
三、利用定义证明含三角函数的不等式
例5：设α为锐角，求证：（1+1cosα）（1+1sinα）3+22。
解：设点P（x，y）是锐角α的终边与单位圆的交点，则x>0，y>0。于是（1+1cosα）（1+1sinα）=（1+1x）（1+1y）=1+1x+1y+1xy1+21xy+1xy=（1+1xy）2
∵x2+y2=1且x2+y22xy，∴xy12，故（1+1cosα）（1+1sinα）（1+2）2=3+22 。
例6：已知α、β、γ均为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，
求证：tanα+tanβ+tanγ32。
证明：设三点Pi（xi，yi）（i=1，2，3）分别是角α、β、γ的终边与单位圆的交点，则有x12+x22+x32=1，xi2+yi2=1（i=1，2，3）
∴tanα+tanβ+tanγ=y1x1+y2x2+y3x3=1-x12x1+1-x22x2+1-x32x3
=x22+x32x1+x12+x32x2+x12+x22x3
由不等式x+y2x2+y22得x2+y2x+y2
∴tanα+tanβ+tanγx2+x32x1+x1+x32x2+x1+x22x3
=22（x2x1+x1x2+x3x1+x1x3+x3x2+x2x3）22（2+2+2）
=32
由以上几个例子不难看出三角函数定义在解题中的巧用，有力的论证了“巧用定义，激活思路，事半功倍”的观点。在今后的教学中，我们必须让学生懂得，解答上述类似的题型时，紧扣定义、活用概念、巧用关系，只有这样才能手执金钥匙，打开解题的窍门。
参考文献
[1] 全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（下） 人民教育出版社
【关键词】：三角函数定义；求值；求角度；证明不等式
全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（下），任意角α的三角函数的定义是：设α是任意角，点P（x，y）是α终边上任意一点，且它与原点的距离是r=x2+y2>0，那么如下六个比值：yr，xr，yx，xy，rx，ry分别叫做角α的正弦，余弦，正切，余切，正割，余割。依次记作sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx，cotα=xy，secα=rx，cscα=ry。如果r=1，那么sinα=y，cosα=x，tanα=yx，cotα=xy，secα=1x，cscα=1y，这样定义三角函数的方法叫做坐标定义法。相应地，伴随着三角函数的坐标定义，二倍角，半角以及和差三角函数，都可以用点的坐标来表示。因为三角函数可以用坐标定义，因此许多三角函数问题可以通过三角函数的定义转化为代数问题，从而可以借助代数的方法处理三角函数问题。从以下几个例子可以看出：运用三角函数的坐标定义法解题，不仅有规可循，思路新颖，而且书写方便，运算简捷。
一、利用定义求三角函数值
例1：（2007浙江卷理科12）已知sinθ+cosθ=15，且π2≤θ≤3π4，则cos2θ的值是
。
解：设点P（x，y）是角θ的终边与单位圆的交点，则cosθ=x，sinθ=y，由已知得：x+y=15，由x+y=15
x2+y2=1，并注意到π2≤θ≤3π4（|x|<|y|），解得：x=-35，y=-45，所以cos2θ=x2-y2=-725。答案：-725。
例2：﹙2006安徽卷文科17﹚已知0<α<π2，sinα=45。
（1）求sin2α+sin2αcos2α+cos2α的值；（2）求tan（α-5π4）的值。
解：设点P（x，y）是角α的终边与单位圆的交点，则cosα=x，sinα=y则y=45，因为α是锐角，所以代入x2+y2=1并解得x=35，tanα=yx=34。
（1）sin2α+sin2αcos2α+cos2α=y2+2xy3x2-1= 20；（2）tan（α-5π4）=tanα-1tanα+1=17。
例3：已知cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，求cos2α+cos2β+cos2γ的值。
解：设三点Pi（xi，yi）（i=1，2，3）是角α，β，γ的终边与单位圆的交点，则由已知得x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0，即x3=-（x1+x2），y3=-（y1+y2），代入x32+y32=1，并注意到xi2+yi2=1（i=1，2）得x1x2+y1y2=-12。若y2≠0，则y1=-1y2（12+x1x2） ，代入x12+y12=1并注意到y22=1-x22，整理得x12+x22+x1x2=34，故cos2α+cos2β+cos2γ=x12+x22+[-（x1+x2）]2=2（x12+x22+x1x2）=32。若y2=0则x22=1，此时x12=1，此时x12=14，cos2α+cos2β+cos2γ=2（14+1-12）=32综上知：cos2α+cos2β+cos2γ=32。
二、利用定义求角度
例4：设α∈（0，π），β∈（0，π）且cosα+cosβ-cos（α+β）=32，求α，β之值。
解：设两点Pi（xi，yi）（i=1，2，）分别是角α，β的终边与单位圆的交点，则由已知得：
x1+x2-（x1x2-y1y2）=32 ………… ①
x12+y12=1 ………… ②
x22+y22=1………… ③
②+③- ①并整理得：（x1+x2-1）2+（y1-y2）2=0，∴x1+x2-1=0且y1-y2=0，即y1=y2。②-③得：（x1+x2）（x1-x2）=0，∵x1+x2=1，∴x1-x2=0，于是由x1+x2=1
x1-x2=1，解得x1=x2=12，即cosα=cosβ=12，又因为α∈（0，π），β∈（0，π），所以α=β=π3。
三、利用定义证明含三角函数的不等式
例5：设α为锐角，求证：（1+1cosα）（1+1sinα）3+22。
解：设点P（x，y）是锐角α的终边与单位圆的交点，则x>0，y>0。于是（1+1cosα）（1+1sinα）=（1+1x）（1+1y）=1+1x+1y+1xy1+21xy+1xy=（1+1xy）2
∵x2+y2=1且x2+y22xy，∴xy12，故（1+1cosα）（1+1sinα）（1+2）2=3+22 。
例6：已知α、β、γ均为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，
求证：tanα+tanβ+tanγ32。
证明：设三点Pi（xi，yi）（i=1，2，3）分别是角α、β、γ的终边与单位圆的交点，则有x12+x22+x32=1，xi2+yi2=1（i=1，2，3）
∴tanα+tanβ+tanγ=y1x1+y2x2+y3x3=1-x12x1+1-x22x2+1-x32x3
=x22+x32x1+x12+x32x2+x12+x22x3
由不等式x+y2x2+y22得x2+y2x+y2
∴tanα+tanβ+tanγx2+x32x1+x1+x32x2+x1+x22x3
=22（x2x1+x1x2+x3x1+x1x3+x3x2+x2x3）22（2+2+2）
=32
由以上几个例子不难看出三角函数定义在解题中的巧用，有力的论证了“巧用定义，激活思路，事半功倍”的观点。在今后的教学中，我们必须让学生懂得，解答上述类似的题型时，紧扣定义、活用概念、巧用关系，只有这样才能手执金钥匙，打开解题的窍门。
参考文献
[1] 全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（下） 人民教育出版社