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【摘要】本文首先提出一种结合了三角近似与改进局部网格的共形FDTD算法，然后将该算法应用于金属目标的雷达散射截面计算。实验结果表明，该算法简单高效，不需要通过减小时间步长的方式就能得到较高精度的稳定解。
【关键词】改进局域网格共形时域有限差分法雷达散射截面
传统的时域有限差分法（FDTD）以Yee[1]网格为基础，对Maxwell微分方程直接差分离散，由于算法简单，可扩展性强，已广泛地应用于目标散射、天线、电磁兼容等的模拟分析与计算中。由于使用Yee网格，在对复杂电磁结构建模时，常常会遇到电磁边界不能和传统网格体系共形的情况。对于介质曲面来说，曲面突变导致的阶梯近似误差并不明显，往往通过简单的对电参数取平均的方式来减少计算误差，而对于金属曲面来说，阶梯误差的表现非常突出，虽然可以通过减小网格尺寸的方法来提高计算精度，但这无疑会增大内存需求和运行时间，并不适合于工程应用，使用曲面共形技术是种不错的选择。
一种简单的共形方法称为对角近似，这种方法的缺点是：为了得到稳定解，FDTD的时间步长必须减小到原来的一半。1992年，T.Jurgens和A.Taflove等人提出了Contour-Path方法[2]，求解电场和磁场的法拉第环路围绕着物体边界。这种方法精度较高，缺点是：计算复杂，同时也必须减小时间步长，递推过程中还可能导致解的不稳定。1997年，S.Dey和R.Mittra提出新的共形技术[3]。只要求修改求解磁场的法拉第环路，算法的实现仍需减小时间步长，同样也可能导致不稳定解。本文采用文献[4]的方法对金属曲面作共形处理。下面，首先给出曲面共形的基本原理，然后以金属球的RCS计算为例，对算法的有效性进行验证。
为了进一步减少由于计算曲面积分而带来的时间消耗，采用三角近似法处理曲面边界，即，将弯曲曲面近似为直线。算法中，对满足共形条件的网格（图1（a））采用常规的共形处理方案（CFDTD），即磁场的计算只考虑处于理想导体外的电场贡献；对于那些不满足条件的变形网格（见图1（b）），积分区域沿整个网格进行，采用插值修正邻近电场的方式对磁场进行修正。当磁场计算完后，电场仍按照一般的FDTD递推公式进行迭代，不做任何的修改。下面，以Hz的迭代为例，具体给出两种变形网格的共形处理方案。
二、数值结果与讨论
分别以半径为0.75m、1.5m、3m的金属球的后向散射单站RCS计算为例，入射波最大频率为300MHz，水平极化，垂直入射。网格步长为Δs=0.05m，时间步长为Δt=Δs/2c。
图2为半径是1.5m的金属球的后向散射单站RCS曲线，图2的数据结果显示，未使用共形技术前，金属球的RCS曲线在0～200MHz的中低频部分出现较大的计算误差，使用共形技术后，这种误差有了明显的改善。
表1列出了三种不同尺寸金属球的RCS在使用共形技术前后的误差比较。对于半径0.75m的金属小球，离散网格的数量不足以精确模拟球体形状，对角近似的应用并不能够有效改善梯形近似引起的误差，甚至会增大这种误差[5]。而对于半径1.5m、3.0m的金属球来说，算法本身所带来的梯形近似误差表现明显，且随着球体尺寸的增大而增加，这时，曲面共形技术的应用将中低频部分（0～200MHz）的计算误差进一步减小了（30%～70%）；在提高计算精度的同时，共形技术的使用并没有缩短时间步长，尽管计算时间有所增加，但在同样的迭代步数下就可以得到稳定解；比较两种方法发现，共形技术的使用并没有引起计算内存的大幅增加，内存增幅不超过30%，因此，结合了对角近似的改进局域网格共形技术适合于曲面结构电磁目标的散射场计算。
四、结论
本文将传统的三角近似法与改进局部网格的共形技术相结合，建立了简单高效的金属曲面共形FDTD算法。实验结果表明，该算法不需要通过减小时间步长的方式就能得到稳定解；相较普通的FDTD算法，共形技术的使用极大提高了曲面散射体在中低频部分的计算精度，误差减小幅度可达70%而内存的增加幅度只是30%，因此，结合了对角近似的改进局域网格共形技术适合于实际的工程应用。
参考文献
[1] Yee K S. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell equations in isotropic media. IEEE Trans Antennas Propag， 1966， 14（3）： 320-307.
[2] Jurgens T G， Taflove A， Umashankar K et al. Finite-difference time-domain modeling of curved surfaces [J]. IEEE Trans Antennas Propag， 1992， 40（4）： 357-366.
[3] Dey S， Mittra R. A locally conformal finite-difference time-domain（FDTD） algorithm for modeling three-dimensional perfectly conducting objects. IEEE Microwave Guided Wave lett [J]. 1997， 7（9）： 273-275.
[4]李龙、张玉、梁昌洪.波导宽边缝隙天线的改进共行FDTD分析[J].电子学报. 2003， 31（6）： 860-863.
[5]张晓燕.地下目标电磁散射的时域有限差分计算[D].北京：中国科学院电子学研究所，2007.
【关键词】改进局域网格共形时域有限差分法雷达散射截面
传统的时域有限差分法（FDTD）以Yee[1]网格为基础，对Maxwell微分方程直接差分离散，由于算法简单，可扩展性强，已广泛地应用于目标散射、天线、电磁兼容等的模拟分析与计算中。由于使用Yee网格，在对复杂电磁结构建模时，常常会遇到电磁边界不能和传统网格体系共形的情况。对于介质曲面来说，曲面突变导致的阶梯近似误差并不明显，往往通过简单的对电参数取平均的方式来减少计算误差，而对于金属曲面来说，阶梯误差的表现非常突出，虽然可以通过减小网格尺寸的方法来提高计算精度，但这无疑会增大内存需求和运行时间，并不适合于工程应用，使用曲面共形技术是种不错的选择。
一种简单的共形方法称为对角近似，这种方法的缺点是：为了得到稳定解，FDTD的时间步长必须减小到原来的一半。1992年，T.Jurgens和A.Taflove等人提出了Contour-Path方法[2]，求解电场和磁场的法拉第环路围绕着物体边界。这种方法精度较高，缺点是：计算复杂，同时也必须减小时间步长，递推过程中还可能导致解的不稳定。1997年，S.Dey和R.Mittra提出新的共形技术[3]。只要求修改求解磁场的法拉第环路，算法的实现仍需减小时间步长，同样也可能导致不稳定解。本文采用文献[4]的方法对金属曲面作共形处理。下面，首先给出曲面共形的基本原理，然后以金属球的RCS计算为例，对算法的有效性进行验证。
为了进一步减少由于计算曲面积分而带来的时间消耗，采用三角近似法处理曲面边界，即，将弯曲曲面近似为直线。算法中，对满足共形条件的网格（图1（a））采用常规的共形处理方案（CFDTD），即磁场的计算只考虑处于理想导体外的电场贡献；对于那些不满足条件的变形网格（见图1（b）），积分区域沿整个网格进行，采用插值修正邻近电场的方式对磁场进行修正。当磁场计算完后，电场仍按照一般的FDTD递推公式进行迭代，不做任何的修改。下面，以Hz的迭代为例，具体给出两种变形网格的共形处理方案。
二、数值结果与讨论
分别以半径为0.75m、1.5m、3m的金属球的后向散射单站RCS计算为例，入射波最大频率为300MHz，水平极化，垂直入射。网格步长为Δs=0.05m，时间步长为Δt=Δs/2c。
图2为半径是1.5m的金属球的后向散射单站RCS曲线，图2的数据结果显示，未使用共形技术前，金属球的RCS曲线在0～200MHz的中低频部分出现较大的计算误差，使用共形技术后，这种误差有了明显的改善。
表1列出了三种不同尺寸金属球的RCS在使用共形技术前后的误差比较。对于半径0.75m的金属小球，离散网格的数量不足以精确模拟球体形状，对角近似的应用并不能够有效改善梯形近似引起的误差，甚至会增大这种误差[5]。而对于半径1.5m、3.0m的金属球来说，算法本身所带来的梯形近似误差表现明显，且随着球体尺寸的增大而增加，这时，曲面共形技术的应用将中低频部分（0～200MHz）的计算误差进一步减小了（30%～70%）；在提高计算精度的同时，共形技术的使用并没有缩短时间步长，尽管计算时间有所增加，但在同样的迭代步数下就可以得到稳定解；比较两种方法发现，共形技术的使用并没有引起计算内存的大幅增加，内存增幅不超过30%，因此，结合了对角近似的改进局域网格共形技术适合于曲面结构电磁目标的散射场计算。
四、结论
本文将传统的三角近似法与改进局部网格的共形技术相结合，建立了简单高效的金属曲面共形FDTD算法。实验结果表明，该算法不需要通过减小时间步长的方式就能得到稳定解；相较普通的FDTD算法，共形技术的使用极大提高了曲面散射体在中低频部分的计算精度，误差减小幅度可达70%而内存的增加幅度只是30%，因此，结合了对角近似的改进局域网格共形技术适合于实际的工程应用。
参考文献
[1] Yee K S. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell equations in isotropic media. IEEE Trans Antennas Propag， 1966， 14（3）： 320-307.
[2] Jurgens T G， Taflove A， Umashankar K et al. Finite-difference time-domain modeling of curved surfaces [J]. IEEE Trans Antennas Propag， 1992， 40（4）： 357-366.
[3] Dey S， Mittra R. A locally conformal finite-difference time-domain（FDTD） algorithm for modeling three-dimensional perfectly conducting objects. IEEE Microwave Guided Wave lett [J]. 1997， 7（9）： 273-275.
[4]李龙、张玉、梁昌洪.波导宽边缝隙天线的改进共行FDTD分析[J].电子学报. 2003， 31（6）： 860-863.
[5]张晓燕.地下目标电磁散射的时域有限差分计算[D].北京：中国科学院电子学研究所，2007.