论文部分内容阅读
近几年中考试题中出现了一种判断推理题，这种题型的特征是先对所给题目环境进行阅读判断，然后说理分析.
例1 阅读下列解题过程：已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状.
解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，①
∴c2（a2-b2）=（a2 b2）（a2-b2），②
∴c2=a2 b2，③
∴△ABC是直角三角形.
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？该步的代号为 .
（2）错误的原因为 .
（3）本题的正确结论为 .
【分析】等式两边同乘或除以一个不为零的数，等式依然成立.第③步等式两边同除以代数式a2-b2，而它的值可为0，故出错.
解：（1）第③步出现错误；
（2）代数式a2-b2的值可能为0；
（3）∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴c2（a2-b2）=（a2 b2）（a2-b2），
∴（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，
∴a2-b2=0或c2-a2-b2=0.
∴a=b或c2=a2 b2.
所以三角形为等腰三角形或直角三角形.
【点评】利用等式的性质解题时，一定要注意成立的条件.遇见此类问题时要分类讨论，防止出错.
例2 （2016·衡阳）如图1，已知A，B是反比例函数y=[kx]（k>0，x>0）图像上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M.设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图像大致为（ ）.
【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成O→A、A→B、B→C三段位置来进行分析，三角形OMP面积的计算方式不同，通过函数变化的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案.
解：设∠AOM=α，点P运动的速度为a，
①当点P从点O运动到点A的过程中，S=[at?cosα?at?sinα2]=[12]a2sinα?cosα?t2，由于α及a均为常量，从而可知本段图像应为抛物线，且S随着t的增大而增大；
②当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为[12]k，保持不变；
③当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同，故本段图像应该为一次函数的图像.故选A.
【点评】本题是运动变化中图形的面积问题.考查一次函数、二次函数、反比例函数的性质.对函数概念的考查较深刻，对函数的性质考查入木三分.
例3 （1）探究新知：如图2，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由.
（2）结论应用：
①如图3，点M、N在反比例函数y=[kx]（k>0，x>0）的图像上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E、F.MN∥EF成立吗？为什么？
②如图4，若①中的其他条件不变，点M、N分别在双曲线的两支上，请判断GH与EF是否平行.
【分析】分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，根据CG∥DH，得到△ABC与△ABD同底，而两个三角形的面积相等，因而CG=DH，可以证明四边形CGHD为矩形，AB∥CD.判断MN与EF是否平行，根据（1）中的结论转化为证明S△EFM=S△EFN即可.
解：（1）分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，则∠CGA=∠DHB=90°.
∴CG∥DH.
∵△ABC与△ABD的面积相等，
∴CG=DH.
∴四边形CGHD为平行四边形.
∴AB∥CD.
（2）①证明：连接MF，NE，如图6.设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2）.
∵点M，N在反比例函数y=[kx]（k>0）的图像上，∴x1·y1=x2·y2=k.
∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，∴OE=y1，OF=x2.
∴S△EFM=[12]?EM?OE=[12]x1y1=[12]k，
同理S△EFN=[12]k，∴S△EFM=S△EFN，由（1）中的结论可知：MN∥EF.
②证明：连接FM、EN、MN，如图7.同（2）可证MN∥EF，同法可证GH∥MN，故EF∥GH.
【点评】这是一个几何问题，考查推理与判断.第一问是整个问题的基础，其方法和结论对后面的解题具有提示与引领示范作用，是后面类比研究的灵魂.第二问中，位置不同了，需借助等量代换，转化与化归；思想、方法相同，面积相等—三角形等高—平行四边形，其数学本质是反比例函数中变化中的不变性质xy=k.
例4 （2017·徐州改编）已知二次函数y=[49]x2-4的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为[5]，P为⊙C上一动点.是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【分析】先求出B、C两点的坐标；再按∠P为直角或∠C为直角进行讨论.
解：在y=[49]x2-4中，令y=0，则x1=3，x2=-3，令x=0，则y=-4，∴B（3，0），C（0，-4）.
①当PB与⊙相切时，即∠BPC为直角时，P点位置有2个，如图9，分别为P1，P2，连接BC，
∵OB=3，OC=4，∴BC=5，
∵CP2⊥BP2，CP2=[5]，∴BP2=[25]，过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，
则△CP2F∽△BP2E，且相似比为1∶2.
设P2F=a，则P2E=2a，CF=2a-4，
（2a-4）2 a2=（[5]）2，
a1=[115]，a2=1（舍去），∴P2（[115]，[-225]）.
同理求得P1（-1，-2）.
②当BC⊥PC时，即∠BCP为直角时，P点位置也有2个，如图10，分别为P3，P4，过P4作P4H⊥y轴于H，则△BOC∽△CHP4，CH=[355]，P4H=[455].
∴P4（[455]，[-35 205]），
同理P3（[-455]，[35-205]）.
③因为BC>[5]，当BC⊥PB时，PB与圆相离，不存在.
综上所述：点P的坐标为：（-1，-2）或（[115]，[-225]）或（[455]，[-35 205]）或（[-455]，[35-205]）.
【点评】当PB与⊙相切、BC⊥PC时，△PBC均为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.判断靠知，说理靠识，是为知识.
（作者单位：江蘇省丰县初级中学）
例1 阅读下列解题过程：已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状.
解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，①
∴c2（a2-b2）=（a2 b2）（a2-b2），②
∴c2=a2 b2，③
∴△ABC是直角三角形.
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？该步的代号为 .
（2）错误的原因为 .
（3）本题的正确结论为 .
【分析】等式两边同乘或除以一个不为零的数，等式依然成立.第③步等式两边同除以代数式a2-b2，而它的值可为0，故出错.
解：（1）第③步出现错误；
（2）代数式a2-b2的值可能为0；
（3）∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴c2（a2-b2）=（a2 b2）（a2-b2），
∴（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，
∴a2-b2=0或c2-a2-b2=0.
∴a=b或c2=a2 b2.
所以三角形为等腰三角形或直角三角形.
【点评】利用等式的性质解题时，一定要注意成立的条件.遇见此类问题时要分类讨论，防止出错.
例2 （2016·衡阳）如图1，已知A，B是反比例函数y=[kx]（k>0，x>0）图像上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M.设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图像大致为（ ）.
【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成O→A、A→B、B→C三段位置来进行分析，三角形OMP面积的计算方式不同，通过函数变化的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案.
解：设∠AOM=α，点P运动的速度为a，
①当点P从点O运动到点A的过程中，S=[at?cosα?at?sinα2]=[12]a2sinα?cosα?t2，由于α及a均为常量，从而可知本段图像应为抛物线，且S随着t的增大而增大；
②当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为[12]k，保持不变；
③当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同，故本段图像应该为一次函数的图像.故选A.
【点评】本题是运动变化中图形的面积问题.考查一次函数、二次函数、反比例函数的性质.对函数概念的考查较深刻，对函数的性质考查入木三分.
例3 （1）探究新知：如图2，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由.
（2）结论应用：
①如图3，点M、N在反比例函数y=[kx]（k>0，x>0）的图像上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E、F.MN∥EF成立吗？为什么？
②如图4，若①中的其他条件不变，点M、N分别在双曲线的两支上，请判断GH与EF是否平行.
【分析】分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，根据CG∥DH，得到△ABC与△ABD同底，而两个三角形的面积相等，因而CG=DH，可以证明四边形CGHD为矩形，AB∥CD.判断MN与EF是否平行，根据（1）中的结论转化为证明S△EFM=S△EFN即可.
解：（1）分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，则∠CGA=∠DHB=90°.
∴CG∥DH.
∵△ABC与△ABD的面积相等，
∴CG=DH.
∴四边形CGHD为平行四边形.
∴AB∥CD.
（2）①证明：连接MF，NE，如图6.设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2）.
∵点M，N在反比例函数y=[kx]（k>0）的图像上，∴x1·y1=x2·y2=k.
∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，∴OE=y1，OF=x2.
∴S△EFM=[12]?EM?OE=[12]x1y1=[12]k，
同理S△EFN=[12]k，∴S△EFM=S△EFN，由（1）中的结论可知：MN∥EF.
②证明：连接FM、EN、MN，如图7.同（2）可证MN∥EF，同法可证GH∥MN，故EF∥GH.
【点评】这是一个几何问题，考查推理与判断.第一问是整个问题的基础，其方法和结论对后面的解题具有提示与引领示范作用，是后面类比研究的灵魂.第二问中，位置不同了，需借助等量代换，转化与化归；思想、方法相同，面积相等—三角形等高—平行四边形，其数学本质是反比例函数中变化中的不变性质xy=k.
例4 （2017·徐州改编）已知二次函数y=[49]x2-4的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为[5]，P为⊙C上一动点.是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【分析】先求出B、C两点的坐标；再按∠P为直角或∠C为直角进行讨论.
解：在y=[49]x2-4中，令y=0，则x1=3，x2=-3，令x=0，则y=-4，∴B（3，0），C（0，-4）.
①当PB与⊙相切时，即∠BPC为直角时，P点位置有2个，如图9，分别为P1，P2，连接BC，
∵OB=3，OC=4，∴BC=5，
∵CP2⊥BP2，CP2=[5]，∴BP2=[25]，过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，
则△CP2F∽△BP2E，且相似比为1∶2.
设P2F=a，则P2E=2a，CF=2a-4，
（2a-4）2 a2=（[5]）2，
a1=[115]，a2=1（舍去），∴P2（[115]，[-225]）.
同理求得P1（-1，-2）.
②当BC⊥PC时，即∠BCP为直角时，P点位置也有2个，如图10，分别为P3，P4，过P4作P4H⊥y轴于H，则△BOC∽△CHP4，CH=[355]，P4H=[455].
∴P4（[455]，[-35 205]），
同理P3（[-455]，[35-205]）.
③因为BC>[5]，当BC⊥PB时，PB与圆相离，不存在.
综上所述：点P的坐标为：（-1，-2）或（[115]，[-225]）或（[455]，[-35 205]）或（[-455]，[35-205]）.
【点评】当PB与⊙相切、BC⊥PC时，△PBC均为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.判断靠知，说理靠识，是为知识.
（作者单位：江蘇省丰县初级中学）