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二次函数是初中数学知识的一个重点，也是一个难点.同时它还是各地中考试题的一个考点.而和二次函数有关的最值问题又在中考题中最为常见，这类问题的题型广泛，因而解决这类问题的方法也要因题而异.下面根据自己的教学经验，结合近年的一些中考试题，谈谈这类问题的一些解题方法，以供师生同仁参考.
一、 直接利用二次函数的有关性质求最值
（1） 用配方法或公式法求最值
例1 （2012年，深圳）二次函数y=x2-2x+6的最小值是 .
解析 这是二次函数中求最值的最基础问题，可以用配方法化为y=（x-1）2+5，也可以用公式y==5，从而求出函数的最小值为5.
（2） 根据二次函数的平移规律计算后求最值
例2 （2012年，陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上（下）或左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则│m│最小值为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 6
解析 y=x2-x-6=（x-）-6，如果向上平移m个单位得y=（x-）-6+m，当x=0时，y=0，则m=6，此时│m│=6，如果将抛物线向左平移m个单位，得y=（x-+m）-6，当x=0时，y=0代入，则m=3，m=-2，此时│m│=3或2，综上所述，│m│最小值为2.故选B.
（3） 利用函数的增减性求最值
例3 已知二次函数y=2x2-4x-6，求当-2≤x≤0时，函数的最大值与最小值.
解析 由二次函数y=2x2-4x-6，易得抛物线的对称轴为直线x=1，又因为2>0，可知当x<1时，y随x的增大而减小.因此，当x=-2时，得y=10；当x=0时，得y=-6.
评注 对于给定二次函数关系式的最值问题，是最基础也是最基本的.当自变量的取值为全体实数时，其函数顶点的纵坐标的值即为所求的最大值或最小值；当自变量的取值是一个给定的区间时，一方面要确定抛物线的对称轴（顶点）是否在给定的区间内，同时还要结合函数的增减性正确的求出最值.
二、 构建函数模型，借助函数性质求最值
例4 （2012年，乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，-n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C.已知实数m、n（m （1） 求抛物线的解析式；
（2） 若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD.
① 当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
② 求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标.
解析 （1）首先解方程x2-2x-3=0，得出A（-1，-1），B（3，-3）.两点的坐标，进而利用待定系数法设抛物线的解析式为y=ax2+bx.求出二次函数解析式为y=-x2+x.…（2）①先由A（-1，-1），B（3，-3）两点的坐标，求出直线AB的解析式为y=-x-.得C点坐标为（0，-）.∵直线OB过点O（0，0），B（3，-3），∴直线OB的解析式为y=-x.设P（x，-x），由△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC.分别可求得P点坐标为P（，-）或P（，-）或P（，-）.②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H.设Q（x，-x），D（x，-x2+x）.则：S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQ·OG+DQ·GH=DQ（OG+GH）=x+（-x2+x）×3=-（x-）2+=，∵0 评注 对于二次函数中的与线段长、三角形面积等有关的最值问题，一般要先根据图形的内在联系，挖掘出相应的内在性质，并运用其性质把表示有关线段、三角形面积的二次函数（或一次函数）的关系式表示出来，然后再利用函数的性质求出满足题意的最值.同时，还要注意函数自变量的取值范围.
三、 利用不同函数值的分析比较求最值
例5 （2008·随州）某生物科技发展公司投资2000万元，研制出一种绿色保健食品.已知该产品的成本为40元/件，试销时，售价不低于成本价，又不高于180元/件.经市场调查知，年销售量y（万件）与销售单价x（元/件）的关系满足下表所示的规律.
（1） y与x之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围为 .
（2） 经测算：年销售量不低于90万件时，每件产品成本降低2元，设销售该产品年获利润为W（万元）（W=年销售额-成本-投资），求出年销售量低于90万件和不低于90万件时，W与x之间的函数关系式；
（3） 在（2）的条件下，当销售单位定为多少时，公司销售这种产品年获利润最大？最大利润为多少万元？
解析 由题意得：（1） y=-x+200（40≤x≤180）
（2） 当y<90，即-x+200<90时，x>110，W=（x-40）（-x+200）-2000=-x2+240x-10000
当y≥90，即-x+200≥90时，x≤110，W=（x-38）（-x+200）-2000=-x2+238x-9600
（3） 当110 当40≤x≤110时，W=-x2+238x-9600，所以该函数图象是抛物线的一部分，又因为该抛物线开口向下，对称轴是直线x=119，在对称轴左侧W随x的增大而增大.∴当x=110，W最大=4480.而4480>4400，因此，当销售单位定为110元时，年获利润最大，最大利润为4480万元.
评注 市场营销问题，应根据题目所给等量关系表示利润，从而列出函数关系式，同时还应能根据不同的条件列出不同的函数，再根据二次函数的性质及自变量取值范围求最大利润.自变量的取值范围对求函数的最大（小）值，有很大影响，因此，对于列出的不同函数，需要进行充分分析比较考虑.对于求运动图形的重叠部分最大面积的问题，更要根据运动的不同位置列出不同的函数关系式，然后再利用各函数性质在各自的取值范围内求出各自的最值，最后通过比较分析求出符合题意的最值.
四、 利用相关几何图形的性质求最值
（一） 根据图形运动的位置求最值
例6 （2012年，大连） 如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C-D-E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（-1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析 根据二次函数的图像，结合顶点P的运动路线，显然，当抛物线顶点为C时，B点的横坐标最小.设抛物线y=a（x+1）2+4，当x=1时，y=0，可得a=-1.所以抛物线的解析式为y=-（x+1）2+4.又由图像的运动位置可知，当抛物线顶点为E点时，A点的横坐标最大，此时y=-（x-3）2+1.当y=0时，（x-3）2=1，得x=4，x=2.故点A的横坐标的最大值是2，选B.
（二） 利用作对称点的方法求线段和或周长的最小值
例7 （2012·恩施州）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N.其顶点为D.
（1） 求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2） 设点M（3，m），求MN+MD的最小值，并求使MN+MD的值最小时m的值；
（3） 若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（4） 若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值.
解析 （1） 利用待定系数法可求二次函数解析式为y=-x2+2x+3，一次函数直线AC的解析式为y=x+1；（2） 由抛物线y=-x2+2x+3易得N（0，3），作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6， 3），连接D、N′，则DN′与直线x=3的交点即为M点.此时，MN+MD的值最小，MN+MD的最小值即是线段DN′的长度，其值为.由N′（6， 3），D（1，4），可得直线DN′的函数关系式为y=-x+，显然，M（3，m）在直线DN′上，易求m= -×3+=；
（3） 需要分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；
（4） 方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1.设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）.根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=-x2+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC =S△APQ+S△CPQ= PQ·AG -x-2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值为；方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2.设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）.根据图示以及三角形的面积公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC=-x-2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值为；
（三） 利用三角形的三边关系求线段差的最大值
例8 （2011年·兰州）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D（4，-）.
（1） 求抛物线的解析式.
（2） 如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同 时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S=PQ2 （cm2）
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3） 在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，并求出点M的坐标及M到D、A的距离之差的最大值.
解析 （1） 设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，把A（0，-2），B（2，-2），D（4，-）的坐标代入即可求得抛物线的解析式为：y=x2-x-2； （2）①由PB=2-2t，BQ=t，∴S=PQ2=PB2+BQ2=（2-2t）2+t2，
即S=5t2-8t+4（0≤t≤1）.②假设存在点R，分三种情况：【A】假设R在BQ的右边，这时QR=PB，RQ∥PB，此时存在R（3，-）满足题意【B】假设R在BQ的左边，这时PR=QB，PR∥QB，即R（1，-），代入，y=x2-x-2左右两边不相等，R不在抛物线上；【C】假设R在PB的下方，这时PR=QB，PR∥QB，则：R（1，-）代入，y=x2-x-2左右不相等，∴R不在抛物线上.（1分）综上所述，存点一点R（3，-）满足题意
（3）由于点A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点即为所求点M，此时，M到D、A的距离之差最大，此时， MD-MA=MD-MB=BD，即差的最大值为线段BD的长，易求其值为. （ 因为，如在对称轴上另取一异于M的点M′，由于M′，B，D不在同一直线上，根据三角形的三边关系，显然总有M′D-M′B 评注 在二次函数中常常会遇到与线段之和最小值、线段之差最大值、三角形周长最小值、某运动图形的最值等有关问题.解决这类问题首先要有相关的平面几何知识，其解题的理论依据主要是“两点之间线段最短”“点到直线的距离垂线段最短”“三角形的两边之差小于第三边”“ 三角形的两边之和大于第三边”等.解题的策略是：根据点或图形运动的位置求相应的最值，或通过作对称点方法，把要相加的线段（或要相减的线段）等量代换放置在同一条直线上，然后求出相应直线的解析式，从而求出相关点的坐标或相关图形的最值.这种将几何问题与函数问题有机的融合在一起，体现了数形结合的思想，充分考查了学生观察、分析、归纳的能力，以及综合运用所学知识解决问题的能力.具有较强的选拔功能.
一、 直接利用二次函数的有关性质求最值
（1） 用配方法或公式法求最值
例1 （2012年，深圳）二次函数y=x2-2x+6的最小值是 .
解析 这是二次函数中求最值的最基础问题，可以用配方法化为y=（x-1）2+5，也可以用公式y==5，从而求出函数的最小值为5.
（2） 根据二次函数的平移规律计算后求最值
例2 （2012年，陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上（下）或左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则│m│最小值为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 6
解析 y=x2-x-6=（x-）-6，如果向上平移m个单位得y=（x-）-6+m，当x=0时，y=0，则m=6，此时│m│=6，如果将抛物线向左平移m个单位，得y=（x-+m）-6，当x=0时，y=0代入，则m=3，m=-2，此时│m│=3或2，综上所述，│m│最小值为2.故选B.
（3） 利用函数的增减性求最值
例3 已知二次函数y=2x2-4x-6，求当-2≤x≤0时，函数的最大值与最小值.
解析 由二次函数y=2x2-4x-6，易得抛物线的对称轴为直线x=1，又因为2>0，可知当x<1时，y随x的增大而减小.因此，当x=-2时，得y=10；当x=0时，得y=-6.
评注 对于给定二次函数关系式的最值问题，是最基础也是最基本的.当自变量的取值为全体实数时，其函数顶点的纵坐标的值即为所求的最大值或最小值；当自变量的取值是一个给定的区间时，一方面要确定抛物线的对称轴（顶点）是否在给定的区间内，同时还要结合函数的增减性正确的求出最值.
二、 构建函数模型，借助函数性质求最值
例4 （2012年，乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，-n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C.已知实数m、n（m
（2） 若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD.
① 当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
② 求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标.
解析 （1）首先解方程x2-2x-3=0，得出A（-1，-1），B（3，-3）.两点的坐标，进而利用待定系数法设抛物线的解析式为y=ax2+bx.求出二次函数解析式为y=-x2+x.…（2）①先由A（-1，-1），B（3，-3）两点的坐标，求出直线AB的解析式为y=-x-.得C点坐标为（0，-）.∵直线OB过点O（0，0），B（3，-3），∴直线OB的解析式为y=-x.设P（x，-x），由△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC.分别可求得P点坐标为P（，-）或P（，-）或P（，-）.②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H.设Q（x，-x），D（x，-x2+x）.则：S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQ·OG+DQ·GH=DQ（OG+GH）=x+（-x2+x）×3=-（x-）2+=，∵0
三、 利用不同函数值的分析比较求最值
例5 （2008·随州）某生物科技发展公司投资2000万元，研制出一种绿色保健食品.已知该产品的成本为40元/件，试销时，售价不低于成本价，又不高于180元/件.经市场调查知，年销售量y（万件）与销售单价x（元/件）的关系满足下表所示的规律.
（1） y与x之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围为 .
（2） 经测算：年销售量不低于90万件时，每件产品成本降低2元，设销售该产品年获利润为W（万元）（W=年销售额-成本-投资），求出年销售量低于90万件和不低于90万件时，W与x之间的函数关系式；
（3） 在（2）的条件下，当销售单位定为多少时，公司销售这种产品年获利润最大？最大利润为多少万元？
解析 由题意得：（1） y=-x+200（40≤x≤180）
（2） 当y<90，即-x+200<90时，x>110，W=（x-40）（-x+200）-2000=-x2+240x-10000
当y≥90，即-x+200≥90时，x≤110，W=（x-38）（-x+200）-2000=-x2+238x-9600
（3） 当110
四、 利用相关几何图形的性质求最值
（一） 根据图形运动的位置求最值
例6 （2012年，大连） 如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C-D-E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（-1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析 根据二次函数的图像，结合顶点P的运动路线，显然，当抛物线顶点为C时，B点的横坐标最小.设抛物线y=a（x+1）2+4，当x=1时，y=0，可得a=-1.所以抛物线的解析式为y=-（x+1）2+4.又由图像的运动位置可知，当抛物线顶点为E点时，A点的横坐标最大，此时y=-（x-3）2+1.当y=0时，（x-3）2=1，得x=4，x=2.故点A的横坐标的最大值是2，选B.
（二） 利用作对称点的方法求线段和或周长的最小值
例7 （2012·恩施州）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N.其顶点为D.
（1） 求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2） 设点M（3，m），求MN+MD的最小值，并求使MN+MD的值最小时m的值；
（3） 若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（4） 若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值.
解析 （1） 利用待定系数法可求二次函数解析式为y=-x2+2x+3，一次函数直线AC的解析式为y=x+1；（2） 由抛物线y=-x2+2x+3易得N（0，3），作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6， 3），连接D、N′，则DN′与直线x=3的交点即为M点.此时，MN+MD的值最小，MN+MD的最小值即是线段DN′的长度，其值为.由N′（6， 3），D（1，4），可得直线DN′的函数关系式为y=-x+，显然，M（3，m）在直线DN′上，易求m= -×3+=；
（3） 需要分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；
（4） 方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1.设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）.根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=-x2+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC =S△APQ+S△CPQ= PQ·AG -x-2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值为；方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2.设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）.根据图示以及三角形的面积公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC=-x-2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值为；
（三） 利用三角形的三边关系求线段差的最大值
例8 （2011年·兰州）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D（4，-）.
（1） 求抛物线的解析式.
（2） 如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同 时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S=PQ2 （cm2）
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3） 在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，并求出点M的坐标及M到D、A的距离之差的最大值.
解析 （1） 设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，把A（0，-2），B（2，-2），D（4，-）的坐标代入即可求得抛物线的解析式为：y=x2-x-2； （2）①由PB=2-2t，BQ=t，∴S=PQ2=PB2+BQ2=（2-2t）2+t2，
即S=5t2-8t+4（0≤t≤1）.②假设存在点R，分三种情况：【A】假设R在BQ的右边，这时QR=PB，RQ∥PB，此时存在R（3，-）满足题意【B】假设R在BQ的左边，这时PR=QB，PR∥QB，即R（1，-），代入，y=x2-x-2左右两边不相等，R不在抛物线上；【C】假设R在PB的下方，这时PR=QB，PR∥QB，则：R（1，-）代入，y=x2-x-2左右不相等，∴R不在抛物线上.（1分）综上所述，存点一点R（3，-）满足题意
（3）由于点A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点即为所求点M，此时，M到D、A的距离之差最大，此时， MD-MA=MD-MB=BD，即差的最大值为线段BD的长，易求其值为. （ 因为，如在对称轴上另取一异于M的点M′，由于M′，B，D不在同一直线上，根据三角形的三边关系，显然总有M′D-M′B