一道规律探究型问题的思考

• 作 者: 董艳 薛峰
• 出 处: 初中生世界·九年级中考版
• 发表日期: 2012年8期
• 关键词: 规律 探究

　　问题：如图，在△ABC中，∠A＝α.∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2，…，∠A2 009BC与∠A2 009CD的平分线相交于点A2 010，得∠A2 010，则∠A2 010＝ .
　　图1
　　解题指导 利用三角形的内角和和外角的性质及角平分线性质，采取从特殊到一般解决问题的数学思想，逐次探究出∠A1，∠A2，∠A3，…，∠An的结果，发现一定的规律，猜测结论.
　　解法1 ∵ ∠A1＝∠A1CD-∠A1BC，∠A1BC＝12∠ABC，
　　∠A1CD＝12∠ACD＝12（∠A+∠ABC），
　　∴ ∠A1＝12∠A.
　　又∵ ∠A2＝∠A2CD-∠A2BD，
　　∠A2CD＝14∠ACD＝14（∠A+∠ABC），
　　∠A2BC＝14∠ABC，
　　∴ ∠A2＝14∠A.
　　同理，得∠A3＝18∠A，∠A4＝116∠A，∠A5＝132∠A.
　　∴ ∠An=12n∠A.
　　∴ ∠A2 010＝122 010∠A=122 010α.
　　追根溯源 本题综合考查了同学们结合图形进行探究的能力和运用分类讨论的数学思想来解决问题的能力.我们可以从中找到课本习题的身影.苏科版《数学》七年级上册教材第88页“灵活运用”中的正方形彩色地砖问题，苏科版《数学》九年级上册教材第74页“数学活动”画画算算，都可以说是这道试题的原型：
　　1. 用正方形的普通水泥砖和彩色水泥砖按下图的方式铺人行道：
　　（1） 图2（1）中有彩色水泥砖 块；
　　图2（2）中有彩色水泥砖 块；
　　图2（3）中有彩色水泥砖 块；
　　（2） 像这样，第n个图形需要彩色水泥砖 块.
　　2. 图3（1）、3（2）、3（3）均由边长为1的小正方形拼成，分别找出以A为一个顶点的所有长方形或正方形.在这些长方形或正方形中，画出以A为一个端点的所有对角线.这3个图形中，这样的对角线各有多少条？它们的长度的和分别为多少？
　　自己再用若干个边长为1的小正方形拼一个正方形或长方形，仿上画出以A为一个端点的所有对角线，并计算这些对角线的长度的和，试试看.
　　变式拓展 用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个.则第n个图案中正三角形的个数为 .
　　
　　图4
　　参考答案 当n=1时，图案中有6个正三角形；
　　当n=2时，图案中有6+4×1个正三角形；
　　n=3时，图案中有6+4×2个正三角形，
　　……，
　　则第n个图案中正三角形的个数为6+4×（n-1）=4n+2.