论文部分内容阅读
1缘起
第二轮中考复习担负着承前启后、巩固提高的重任，是初三备考复习的关键阶段.通常是以专题讲座、综合练习、模拟演练的形式穿插着进行第二轮复习，联系平时的讲评课，不难发现这样一种现象：老师“不厌其烦”地纠正学生的“错题”，老師讲得“津津有味”，学生却听得“昏昏沉沉”，甚至部分学生毫不领情，时过不久，仍会故伎重演.对此，很多老师百感交集，又颇感无奈.如何改观这种尴尬的现象，真正实现练习讲评课的“轻负高效”？如何选择习题作为学生的膳食，给学生提供合理的营养搭配？有了营养的食品，又如何加上高超的烹饪技术，让学生乐意接受和吸收？在思考中，不由得想到了一款非常经典的休闲类游戏——“大家来找茬”.它之所以能够吸引很多人，在于它能培养人的注意力、观察力、记忆力、反应力、想象力、判断力、思维能力等，具有较强的趣味性和挑战性.为此，科学、合理地开发和利用学生共性、普遍易犯的“错题资源”，让学生自己来“找茬”找到解决问题的有效途径，使他们的认知结构被唤醒、数学思维被激活、创新意识被启迪，从而使我们的中考第二轮复习更实效.
2实践
图1问题如图1，直线y=2x与反比例函数y=kx（k≠0，x>0）的图象交于点A（1，a），B是反比例函数图象上一点，直线OB与x轴的夹角为α，tanα=12.
（1）求k的值；（2）求点B的坐标；
（3）设点P（m，0），使△PAB的面积为2，求m的值.
图2在这，主要针对第（3）小题找茬析错因：
学生1（展示，错解1）：我的方法是补为三角形，答案是m=-1.
如图2，设所在直线AB与x轴交于点D，同上得D（3，0），因为P（m，0），S△PAB=2，且S△PAB=S△PAD-S△PBD，所以12·（3-m）·2-12（3-m）·1=2，得m=-1.
学生2（展示，错解2）：我的方法是补为矩形，答案也是m=-1.
图3如图3，分别过点P、B作y轴的平行线与过A作x轴的平行线交于点E、D，则四边形PEDC为矩形，且易得D（2，2），E（m，2）.所以DE=2-m，AE=1-m，DA=1，DB=1，BC=1，CP=2-m，PE=2，因为S△PAB=SPEDC-S△PEA-S△DAB-S△PBC，所以2（2-m）-12×2×（1-m）-12×1×1-12×1×（2-m）=2，解得m=-1.
学生3（展示，错解3）：我的方法是采用分割法，答案也是m=-1.
图4如图4，过点A作x轴的垂线交PB于点H，则S△PAB=S△PAH S△BAH，由待定系数法求得yPB=12-mx mm-2，所以H（1，m-1m-2），所以AH=2-m-1m-2=m-3m-2.所以12·m-3m-2·（2-m）=2，解得m=-1.
学生4（展示，错解4）：因为直线AB与x轴的夹角是特殊角45°，所以有关线段长度可在等腰直角三角形中计算，利用面积公式法算出的答案不是-1.
图5如图5，过点P作PH⊥AB，垂足为H，设所在直线AB与x轴交于点D.
由（1）（2）得A（1，2），B（2，1），所以yAB=-x 3，所以D（3，0），AB=2，因为S△PAB=AB·PH=2，所以PH=2，因为△PHD为等腰直角三角形，所以PD=2PH=2，所以OP=1，所以P（1，0），得m=1.
学生5（析错）：三角形面积公式记错，应该是S△PAB=12·AB·PH=2，所以PH=22，所以PD=2PH=4，所以OP=1，所以P（-1，0），得m=-1.
学生6（析错）：线段长度与坐标是不同的，线段长度是正数，坐标的符号可正可负.因为OP=1，所以P（±1，0），得m=±1.
学生7（析错）：因为D（3，0），OP=4，则点P在原点左侧，所以P（-1，0），得m=-1.
学生8（析错）：因为D（3，0），OP=4，则当点P在D的左侧时P（-1，0），当点P在D的右侧时P（7，0），所以m=-1或7.
学生9（析错）：根据点P的坐标特征可知点P为x轴上一动点，从图形位置上分析点P可能在直线AB的左侧，也可能在直线AB的右侧，需要分类讨论.
学生10（析错）：由于m的取值范围为全体实数，所以上述代数式3-m、2-m、1-m的值有可能是负数，应用含m的代数式的绝对值表示线段长度.
学生11（纠错，错解5）：如图3补为矩形，DE=|2-m|，AE=|1-m|，则22-m-12×2×1-m-12×1×1-12×1×2-m=2，所以322-m-1-m=52.
当m≤1时，32（2-m）-（1-m）=52，解得m=-1.
当1 图6当2≤m时，32（m-2）-（m-1）=52，解得m=9.所以m=-1或m=9.
学生12（纠错，错解6）：如图6，过点B作y轴的平行线与过A作x轴的平行线交于点D，则四边形PADC为直角梯形，所以S△PAB=SPADC-S△DAB-S△PBC，所以12×2×（1 2-m）-12×1×1-12×1×2-m=2，所以2-m=3，所以m=-1或m=5.
图7学生13（析错）：运用面积公式法通过“展示——析错——纠错”得出的正确答案是m=-1或m=7.我将其补为三角形（如图7），按照解法1得S△PAB=S△PAD-S△PBD，因为PD=m-3，所以12m-3×2-12m-3×1=2，解得m=-1或m=7.所以解法5与解法6肯定是错的.
学生14（析错）：若按照解法5理解补为矩形，△PAB的面积转化矩形面积减去3个直角三角形面积；若按照解法5理解补为梯形，△PAB的面积转化梯形面积减去2个直角三角形面积.如图8不能作出类似的几何构造，当然不能用原有方法解决如图8的情形. 图8学生15（析错）：如果套用原有方法添加辅助线，则可得图9与图10，显然△PAB的面积可分别表示为SPEDC S△DAB-S△PEA-S△PBC与SPDAC-S△ABC-S△PBC-S△PAD，而不是S△PAB=SPEDC-S△PEA-S△DAB-S△PBC與S△PAB=SPADC-S△DAB-S△PBC，所以将含m的代数式的绝对值表示线段长度代入计算是错误的.
图9图10学生16（析错）：解法1至解法4是因考虑不全而导致错解，解法5与解法6是不同情形没有统一的图形模式和计算模式，因思维定式而形成失误.
学生17（析错）：运用面积公式法和补为三角形解决此题时，对于不同情形有统一的图形模式和计算模式，因数形统一而结果正确.
3感悟
31“巧选错题”引共鸣
利用“错题资源”开启解题指导可谓是“另辟蹊径”，这是对复习课教学模式的一种探索与创新，但教师如何充分开发和利用错题资源来提高复习的有效性和实效性，仍旧是永恒不变的主题.基于此，教师必须科学巧妙地选择、整合一些有价值的“错题”作为教学资源植入课堂，最大限度地发挥其教学效益.那么，怎样的错题资源才具有价值呢？笔者认为，选择的错题应尽可能吸引学生的眼球，能引起学生的共鸣，有共鸣就能进一步激发学生探究的欲望，引发学生深入地思考，大大激活学生的思维，获得更多的启迪.那么，这样的“错题资源”才具有价值.本题是反比例函数、一次函数、几何图形面积等综合题，主要考查曲线图上点的坐标与方程的关系、锐角三角函数定义等知识，考查学生转换思想、模型思想、方程思想、分类讨论、数形结合等思想方法的应用，是中考中档题及压轴题的常见题型，一是个别学生由于学习态度、习惯不好而遗憾答错的“错题”，如三角形面积公式中漏乘12，基础不扎实将线段长度与横纵坐标混淆；二是个别学生忽视隐含条件（点P的坐标特征）而导致在坐标平面内求解或在y轴上求解形成失误的“错题”；三是部分学生因没掌握几何图形面积的一般解题思路而无从下手造成失分的“错题”；四是很多考虑不周而导致漏解的“错题”；五是部分同学由于思维定式而统一运用算式出错的“错题”.因此，当似曾相识的“错题作品”呈现出来后，很多学生立即表现出前所未有的兴奋，有自告奋勇积极“找茬”的，也有急于想知道错因的，完善知识缺陷的，寻找正确答案的，课堂一下子变得异常热闹.可见，“巧选错题”能引发学生的共鸣，能活跃课堂的气氛，有助于改变传统复习“填鸭式”的沉闷.
32“找茬析错”明事理
皮亚杰曾说：“学习是一个不断犯错的过程，同时又是一个不断消除错误的过程.”不难发现“大家来找茬”就是一个寻找错因、反思不足的过程.仔细分析一下学生4的错答，是部分同学在计算三角形面积时经常性犯的典型错误；学生5的错答，则是平时不注意细节，不注意坐标的正负符号；学生1至学生4的忽视动点及m的范围产生错误，则是或多或少暴露出学生在学习上有解不求全、有法不求优等的一些不足；几何图形面积问题的一般解体思路是先考虑面积公式法，不能或不易用时再考虑割补法，最后考虑图形转化，即将所求图形的面积转化为其他易求得图形面积，但是本题的求解中很多是非常规“出牌”，拿到问题不观察图形特征和数据特点，急于求成，没有观察分析△PAB的一边AB确定且易求，没有发现直线AB与x轴的夹角为45°的特殊性.这些反映出较多同学平时不注意审题，没有养成仔细审题和先观察后下手的习惯，经常性是不通读题目、不观察图形特征、不分析数据特点而妄自断章取义，久而久之，审题能力也难以提高.因此，通过“找茬析错”，能给学生留下深刻的印象，能让学生发现自身问题的所在及其危害性，能让学生顿时醒悟到端正学习态度和养成良好学习习惯的重要性，提醒自己不再重犯以往类似的错误.“找茬析错”有助于学生明事理，促使学生更好地进步.
33“探索纠错”悟技巧
学生的错误千奇百怪，但不外乎以下几个方面的问题：陈述性知识的理解和记忆问题、程序性知识的熟练问题、策略性知识的方法论问题等.通过“探索纠错”，指导学生通过表象寻找错误的原因，追本溯源，找出在知识结构、思想方法等方面的不足与缺陷，然后再解决相关问题.在找茬析错的基础上，让学生明白根据点P的坐标特征可知点P为x轴上一动点，从图形位置上分析点P可能在直线AB的左侧，也可能在直线AB的右侧，需要分类讨论；由于m的取值范围为全体实数，所以上述代数式3-m、2-m、1-m的值有可能是负数，应用含m的代数式的绝对值表示线段长度.指导学生了解错误，纠正错误，修复因错误而产生的漏洞，为学生探索解法5与解法6指明了方向.同理通过对所得结果不同的探究，发现不能套用类似的几何构造和相同方法添加辅助线而出现的不同图形和不同面积之间的关系，教师逐一引导学生思考正确的措施，并通过与错答相比较，让学生有种豁然开朗之感，真正悟出因考虑不全而导致错解，因思维定式而形成失误，因数形统一而结果正确.可见，“探索纠错”能有效解答学生的困惑，帮助学生突破思维上的瓶颈，让学生自然轻松地领悟到解题的技巧，促进学生对数学问题本质的理解，提高对错误的免疫力，优化数学思维品质.
有人说：垃圾是放错了的资源，只要合理开发利用就能变废为宝！同理，如果教师忽视了“错题”，那么，“错题”就如同一堆一无所处的垃圾，只会不断延续学生的错误；如果教师合理选错、深度析错和科学探错，那么，错题就能成为极其宝贵的教学资源.一道道错题就能如潘多拉魔盒一样，展现出迷人的魅力，不断激发着学生灵动的潜质，引领着学生去寻找错误的本因，追本溯源，使学生思之广、悟之深、爱之切、难之忘.
参考文献
[1]贺峰.同样补形，结果为何不同[J].中学数学教学参考（中旬），2016（1-2）：142.
第二轮中考复习担负着承前启后、巩固提高的重任，是初三备考复习的关键阶段.通常是以专题讲座、综合练习、模拟演练的形式穿插着进行第二轮复习，联系平时的讲评课，不难发现这样一种现象：老师“不厌其烦”地纠正学生的“错题”，老師讲得“津津有味”，学生却听得“昏昏沉沉”，甚至部分学生毫不领情，时过不久，仍会故伎重演.对此，很多老师百感交集，又颇感无奈.如何改观这种尴尬的现象，真正实现练习讲评课的“轻负高效”？如何选择习题作为学生的膳食，给学生提供合理的营养搭配？有了营养的食品，又如何加上高超的烹饪技术，让学生乐意接受和吸收？在思考中，不由得想到了一款非常经典的休闲类游戏——“大家来找茬”.它之所以能够吸引很多人，在于它能培养人的注意力、观察力、记忆力、反应力、想象力、判断力、思维能力等，具有较强的趣味性和挑战性.为此，科学、合理地开发和利用学生共性、普遍易犯的“错题资源”，让学生自己来“找茬”找到解决问题的有效途径，使他们的认知结构被唤醒、数学思维被激活、创新意识被启迪，从而使我们的中考第二轮复习更实效.
2实践
图1问题如图1，直线y=2x与反比例函数y=kx（k≠0，x>0）的图象交于点A（1，a），B是反比例函数图象上一点，直线OB与x轴的夹角为α，tanα=12.
（1）求k的值；（2）求点B的坐标；
（3）设点P（m，0），使△PAB的面积为2，求m的值.
图2在这，主要针对第（3）小题找茬析错因：
学生1（展示，错解1）：我的方法是补为三角形，答案是m=-1.
如图2，设所在直线AB与x轴交于点D，同上得D（3，0），因为P（m，0），S△PAB=2，且S△PAB=S△PAD-S△PBD，所以12·（3-m）·2-12（3-m）·1=2，得m=-1.
学生2（展示，错解2）：我的方法是补为矩形，答案也是m=-1.
图3如图3，分别过点P、B作y轴的平行线与过A作x轴的平行线交于点E、D，则四边形PEDC为矩形，且易得D（2，2），E（m，2）.所以DE=2-m，AE=1-m，DA=1，DB=1，BC=1，CP=2-m，PE=2，因为S△PAB=SPEDC-S△PEA-S△DAB-S△PBC，所以2（2-m）-12×2×（1-m）-12×1×1-12×1×（2-m）=2，解得m=-1.
学生3（展示，错解3）：我的方法是采用分割法，答案也是m=-1.
图4如图4，过点A作x轴的垂线交PB于点H，则S△PAB=S△PAH S△BAH，由待定系数法求得yPB=12-mx mm-2，所以H（1，m-1m-2），所以AH=2-m-1m-2=m-3m-2.所以12·m-3m-2·（2-m）=2，解得m=-1.
学生4（展示，错解4）：因为直线AB与x轴的夹角是特殊角45°，所以有关线段长度可在等腰直角三角形中计算，利用面积公式法算出的答案不是-1.
图5如图5，过点P作PH⊥AB，垂足为H，设所在直线AB与x轴交于点D.
由（1）（2）得A（1，2），B（2，1），所以yAB=-x 3，所以D（3，0），AB=2，因为S△PAB=AB·PH=2，所以PH=2，因为△PHD为等腰直角三角形，所以PD=2PH=2，所以OP=1，所以P（1，0），得m=1.
学生5（析错）：三角形面积公式记错，应该是S△PAB=12·AB·PH=2，所以PH=22，所以PD=2PH=4，所以OP=1，所以P（-1，0），得m=-1.
学生6（析错）：线段长度与坐标是不同的，线段长度是正数，坐标的符号可正可负.因为OP=1，所以P（±1，0），得m=±1.
学生7（析错）：因为D（3，0），OP=4，则点P在原点左侧，所以P（-1，0），得m=-1.
学生8（析错）：因为D（3，0），OP=4，则当点P在D的左侧时P（-1，0），当点P在D的右侧时P（7，0），所以m=-1或7.
学生9（析错）：根据点P的坐标特征可知点P为x轴上一动点，从图形位置上分析点P可能在直线AB的左侧，也可能在直线AB的右侧，需要分类讨论.
学生10（析错）：由于m的取值范围为全体实数，所以上述代数式3-m、2-m、1-m的值有可能是负数，应用含m的代数式的绝对值表示线段长度.
学生11（纠错，错解5）：如图3补为矩形，DE=|2-m|，AE=|1-m|，则22-m-12×2×1-m-12×1×1-12×1×2-m=2，所以322-m-1-m=52.
当m≤1时，32（2-m）-（1-m）=52，解得m=-1.
当1
学生12（纠错，错解6）：如图6，过点B作y轴的平行线与过A作x轴的平行线交于点D，则四边形PADC为直角梯形，所以S△PAB=SPADC-S△DAB-S△PBC，所以12×2×（1 2-m）-12×1×1-12×1×2-m=2，所以2-m=3，所以m=-1或m=5.
图7学生13（析错）：运用面积公式法通过“展示——析错——纠错”得出的正确答案是m=-1或m=7.我将其补为三角形（如图7），按照解法1得S△PAB=S△PAD-S△PBD，因为PD=m-3，所以12m-3×2-12m-3×1=2，解得m=-1或m=7.所以解法5与解法6肯定是错的.
学生14（析错）：若按照解法5理解补为矩形，△PAB的面积转化矩形面积减去3个直角三角形面积；若按照解法5理解补为梯形，△PAB的面积转化梯形面积减去2个直角三角形面积.如图8不能作出类似的几何构造，当然不能用原有方法解决如图8的情形. 图8学生15（析错）：如果套用原有方法添加辅助线，则可得图9与图10，显然△PAB的面积可分别表示为SPEDC S△DAB-S△PEA-S△PBC与SPDAC-S△ABC-S△PBC-S△PAD，而不是S△PAB=SPEDC-S△PEA-S△DAB-S△PBC與S△PAB=SPADC-S△DAB-S△PBC，所以将含m的代数式的绝对值表示线段长度代入计算是错误的.
图9图10学生16（析错）：解法1至解法4是因考虑不全而导致错解，解法5与解法6是不同情形没有统一的图形模式和计算模式，因思维定式而形成失误.
学生17（析错）：运用面积公式法和补为三角形解决此题时，对于不同情形有统一的图形模式和计算模式，因数形统一而结果正确.
3感悟
31“巧选错题”引共鸣
利用“错题资源”开启解题指导可谓是“另辟蹊径”，这是对复习课教学模式的一种探索与创新，但教师如何充分开发和利用错题资源来提高复习的有效性和实效性，仍旧是永恒不变的主题.基于此，教师必须科学巧妙地选择、整合一些有价值的“错题”作为教学资源植入课堂，最大限度地发挥其教学效益.那么，怎样的错题资源才具有价值呢？笔者认为，选择的错题应尽可能吸引学生的眼球，能引起学生的共鸣，有共鸣就能进一步激发学生探究的欲望，引发学生深入地思考，大大激活学生的思维，获得更多的启迪.那么，这样的“错题资源”才具有价值.本题是反比例函数、一次函数、几何图形面积等综合题，主要考查曲线图上点的坐标与方程的关系、锐角三角函数定义等知识，考查学生转换思想、模型思想、方程思想、分类讨论、数形结合等思想方法的应用，是中考中档题及压轴题的常见题型，一是个别学生由于学习态度、习惯不好而遗憾答错的“错题”，如三角形面积公式中漏乘12，基础不扎实将线段长度与横纵坐标混淆；二是个别学生忽视隐含条件（点P的坐标特征）而导致在坐标平面内求解或在y轴上求解形成失误的“错题”；三是部分学生因没掌握几何图形面积的一般解题思路而无从下手造成失分的“错题”；四是很多考虑不周而导致漏解的“错题”；五是部分同学由于思维定式而统一运用算式出错的“错题”.因此，当似曾相识的“错题作品”呈现出来后，很多学生立即表现出前所未有的兴奋，有自告奋勇积极“找茬”的，也有急于想知道错因的，完善知识缺陷的，寻找正确答案的，课堂一下子变得异常热闹.可见，“巧选错题”能引发学生的共鸣，能活跃课堂的气氛，有助于改变传统复习“填鸭式”的沉闷.
32“找茬析错”明事理
皮亚杰曾说：“学习是一个不断犯错的过程，同时又是一个不断消除错误的过程.”不难发现“大家来找茬”就是一个寻找错因、反思不足的过程.仔细分析一下学生4的错答，是部分同学在计算三角形面积时经常性犯的典型错误；学生5的错答，则是平时不注意细节，不注意坐标的正负符号；学生1至学生4的忽视动点及m的范围产生错误，则是或多或少暴露出学生在学习上有解不求全、有法不求优等的一些不足；几何图形面积问题的一般解体思路是先考虑面积公式法，不能或不易用时再考虑割补法，最后考虑图形转化，即将所求图形的面积转化为其他易求得图形面积，但是本题的求解中很多是非常规“出牌”，拿到问题不观察图形特征和数据特点，急于求成，没有观察分析△PAB的一边AB确定且易求，没有发现直线AB与x轴的夹角为45°的特殊性.这些反映出较多同学平时不注意审题，没有养成仔细审题和先观察后下手的习惯，经常性是不通读题目、不观察图形特征、不分析数据特点而妄自断章取义，久而久之，审题能力也难以提高.因此，通过“找茬析错”，能给学生留下深刻的印象，能让学生发现自身问题的所在及其危害性，能让学生顿时醒悟到端正学习态度和养成良好学习习惯的重要性，提醒自己不再重犯以往类似的错误.“找茬析错”有助于学生明事理，促使学生更好地进步.
33“探索纠错”悟技巧
学生的错误千奇百怪，但不外乎以下几个方面的问题：陈述性知识的理解和记忆问题、程序性知识的熟练问题、策略性知识的方法论问题等.通过“探索纠错”，指导学生通过表象寻找错误的原因，追本溯源，找出在知识结构、思想方法等方面的不足与缺陷，然后再解决相关问题.在找茬析错的基础上，让学生明白根据点P的坐标特征可知点P为x轴上一动点，从图形位置上分析点P可能在直线AB的左侧，也可能在直线AB的右侧，需要分类讨论；由于m的取值范围为全体实数，所以上述代数式3-m、2-m、1-m的值有可能是负数，应用含m的代数式的绝对值表示线段长度.指导学生了解错误，纠正错误，修复因错误而产生的漏洞，为学生探索解法5与解法6指明了方向.同理通过对所得结果不同的探究，发现不能套用类似的几何构造和相同方法添加辅助线而出现的不同图形和不同面积之间的关系，教师逐一引导学生思考正确的措施，并通过与错答相比较，让学生有种豁然开朗之感，真正悟出因考虑不全而导致错解，因思维定式而形成失误，因数形统一而结果正确.可见，“探索纠错”能有效解答学生的困惑，帮助学生突破思维上的瓶颈，让学生自然轻松地领悟到解题的技巧，促进学生对数学问题本质的理解，提高对错误的免疫力，优化数学思维品质.
有人说：垃圾是放错了的资源，只要合理开发利用就能变废为宝！同理，如果教师忽视了“错题”，那么，“错题”就如同一堆一无所处的垃圾，只会不断延续学生的错误；如果教师合理选错、深度析错和科学探错，那么，错题就能成为极其宝贵的教学资源.一道道错题就能如潘多拉魔盒一样，展现出迷人的魅力，不断激发着学生灵动的潜质，引领着学生去寻找错误的本因，追本溯源，使学生思之广、悟之深、爱之切、难之忘.
参考文献
[1]贺峰.同样补形，结果为何不同[J].中学数学教学参考（中旬），2016（1-2）：142.