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摘 要：在学习活动中，有着两种不同的学习方法，学习效果也截然不同. 一是机械的学习，一是有意义的学习. 机械的学习就是传统教学中的灌输式学习，这样的学习方式是非常被动的，学生们完全跟着老师走. 而有意义的学习是指学生能够全身心参与到的学习活动，是一种主动的学习过程，在课堂上表现为探究式的学习. 本文主要阐述的就是有关探究式学习的一些实践并对探究式教学的思考.
关键词：高中数学；课堂教学；探究式学习；教学实践；教学反思
我们都知道，有意义的学习才是高效的学习. 特别是新课程改革的风潮，更是加速了教师由传统教学向现代教学的过渡. 大部分教师都能够根据实际的教学目标来选择一些更有效的教学方法，比如说探究式的教学方法，就受到了大部分教师的欢迎. 特别是在高中数学的学习中，学生已经有了一定的知识基础和相关的生活经验，有了一定的探究能力，保证了课堂中探究的有效开展. 在高中数学课堂中开展探究式的教学，不仅可以让学生在探究的过程中有效地获得知识，还可以提高学生分析问题和解决问题的能力，通过有效的迁移，实现举一反三. 培养学生探究的能力也是高中数学教学的一个重要目标. 不同的教学内容有不同的探究方式和探究重点，教师要能够有效地指导学生进行探究，充分发挥出探究教学的作用. 下面笔者将以探究教学的实践来谈谈相关的探究策略，仅供各位老师参考，达到抛砖引玉的目的.
[?] 通过类比的方式探究知识之间的联系性
数学知识本就是一个相互联系的整体，不同的知识之间实质上总是有着千丝万缕的关系，使得这个知识体系更加饱满和丰富. 基于这样的一个本质特征，我们可以知道，知识点之间有着非常紧密的联系. 在学习中，我们就可以充分利用好这种联系，有效地通过类比的方法来探究和学习知识.
类比是针对两个相似知识点之间的联系进行学习，用相同的思维方法或推理方式进行探究和学习. 类比是一种常用的数学思维方法，因为这不仅可以加强新旧知识之间的联系，还可以通过简单的方法移植，轻松地实现对知识的学习，同时还可以进行创新和进一步拓展.
例如，在研究圆锥曲线时，不同曲线之间却有着很多的相似之处，在学习的过程中可以由浅入深，根据旧知识的研究方法来研究新的知识，类比就是最有效的方法.
如图1所示，F是双曲线-=1（a>0，b>0）的左焦点，直线x=c交双曲线于B1，B2两点，并且直线B2F交双曲线于点B，连接BB，那么直线BB1恒过定点H-
，0.
下面我们可以看两个例子，把他们放在一起进行类比.
如图2所示，F是椭圆 =1（a>0，b>0）的左焦点，直线x=c交椭圆于B1，B2两点，并且直线B2F交椭圆于点B，连接BB1，那么直线BB1恒过定点H-
，0.
[y][O][x][B][B1][B2][H][F]
图2
又如图3所示，F是抛物线y2=2px（p>0）的焦点，直线x=mm>0，m
≠交抛物线于B1，B2两点，并且直线B2F交抛物线于点B，连接BB1，那么直线BB1恒过定点H
-，0.
从上面几个例子中不难看出，类比是一种非常好的学习和探究的方式，学生使用类比的方法，可以很轻松地把探究的方法迁移到相类似的问题中，从而有效地探究和解决问题. 学习不仅是从旧知识中提取相关的信息，更是要通过正确的方法进行迁移. 但要值得注意的是，类比要在同一个知识体系相似性比较高的知识点中才能使用. 学生在学习中完全可以通过类比进行独立的探究，不再需要教师的重复和强调，是一种比较简单且有效的探究方法，不会浪费学生大量时间去寻找正确的方法，而是可以直接进行分析问题和解决问题的阶段，提高了课堂教学的效率.
[?] 通过归纳的方式探究知识的应用灵活性
归纳与总结总是成对出现的，归纳就是总结不同问题中的相同情境，并从中获得解决类似问题的方法. 归纳不仅可以很好地帮助学生梳理知识，完善知识网络和知识体系，还可以有效地引导学生对知识进行探究，加强对知识的理解，进一步掌握相关的概念和定理，培养学生思维的聚拢性和一致性. 在归纳的过程中，关键是要把握好归纳收拢的方向，有条理地进行归纳和总结，从而提取出有效的探究方法.
例如，在学习“两角和与差的正弦”时，有这样的一个探究设计，运用的就是归纳的方式.
问题1：求sin75°的值.
问题2：已知cosα=，α∈0
，，求sinα
-的值. （通过以上两个问题，引导学生从题型的角度去分析和探究）
问题3：已知sinα=，cosβ=，α是第一象限角，0<β<π，求sin（α-β）的值. （通过对这个问题的分析和归纳，我们可以从公式的字母的意义这个方面进行分析和思考，这也是问题的表面特征）
问题4：sin（α β）=，cos（α-β）=，α，β都是锐角，求sin2α，sinβ的值. （下面问题的探究就可以从思维方面入手）
问题5：cos（α β）=，sinα=，α，β都是锐角，求sinβ的值.
像这样的一系列的探究，可以很好地把公式和定理中隐藏的一些应用价值挖掘出来，通过有效的探究，可以让学生对知识的理解更加深入，对公式和定理的运用能够更加灵活，并能够在这个基础上，生发出更多的东西，同时把握住知识的本质，这样在运用知识的时候才能更加得心应手.
[?] 通过发散的模式探求解题方法的多样性
发散思维也是数学思维中重要的一种，发散思维是从一个知识点出发，向不同的方向和不同的角度不断进行发散和扩展，去寻求多种答案和方法. 发散思维可以锻炼学生的思维活跃性，拓展思维的广度和深度，同时提高学生的思维创造性. 在高中数学的学习中，知识的抽象性使得知识还具有相当大的发散空间，学生可以根据自身的相关基础知识和经验进行发散，结合探究的过程，寻求解题方法的多样性. 例如，已知向量a=（cosθ，sinθ），向量b=（，-1），求
2a-b
的最大值与最小值.
向量求最值的方式有很多种，学生可以根据实际情况进行发散，找出解决问题的方法.
方法1：对向量进行平方再求模的最值. 得到
2a-b
===，所以得到0≤
2a-b
≤4.
方法2：可以利用模的不等关系求向量的最值.
因为
a
-
b
≤
a±b
≤
a
b
，所以
2a
-
b
≤
2a-b
≤
2a
b
，又因为
2a
=2，
b
=2，所以0≤
2a-b
≤4.
由于a的方向的任意性可以得到a与b能够共线，所以等号能够成立.
方法3：运用向量的几何含义来求模的最值. 如图4所示，向量=2a的终点A在以原点O为圆心、2为半径的圆上运动，=b的终点B也在该圆上，
2a-b
=
表示A，B两点间的距离，通过图象可以观察到：0≤
2a-b
≤4.
[y][O][x][B][A][2a][b]
图4
在传统的教学方式中，教师对学生的思维训练更加注重的是聚合思维，而对发散思维的训练是相对忽视的. 聚合思维的本质就是对相关的知识进行集中和统一，不太提倡个性的发挥和个体的见解. 而发散思维刚好相反，通过训练来激发学生的个性思维，充分发挥学生的主体性地位，让学生积极参与到学习活动中. 发散思维的重视和训练与新课程改革的目的是一致的，都是为了突出学生的个体思想，注重学生的个体发展，在教学中真正做到了以人为本. 在探究中适当地运用发散的方法来研究和训练，既能从多方面、多角度地促使学生深入理解知识，还可以更有效地帮助学生掌握探究的方法，提高学生创造力，开拓学生的视野，拓宽思维的广度.
[?] 通过变式题探究思维方法的连贯性
变式训练是我们在高中数学教学中常用的一种学习方法，这也是一种常用的探究方式，通过变式题的形式对相关问题进行探究，不仅可以逐层深入地进行探究，还能通过知识之间的联系有效地进行迁移，让学生在探究的过程中能够举一反三，掌握正确的解决问题的方法. 以变式题的方式开展探究是教师有目的、有计划地对相关的题目进行合理的变化和拓展，让学生通过分析和解决变式题的方式来强化思维和习惯，同时提高学生的学习兴趣，深化学生对数学知识、方法和思想的理解.
例如，已知x>0，求y=的最大值.
解：y==≤=，当且仅当x=时取等号.
变式1：已知x>0，求y=的最大值.
变式2：已知a>0，求函数y=的最小值.
变式题的教学主要是通过变化题目中的条件或结论，也可以通过改变部分条件，但要保持与原题有一定的关联性和相似性，这样可以让学生用相似的方法来解决新的问题. 这类问题主要还是训练学生灵活解决问题的能力，在问题的表象出现变化之后，还能抓住问题的实质，通过对问题的本质的分析找出正确的解题方法. 变式题教学是训练学生思维能力的有效方式，不仅可以让学生学会举一反三，还可以在发散思维的拓展过程中进行归纳和聚合，让学生的思维能有效地进行发散和聚合. 这一散一合的过程，就是对思维最好的锻炼. 变式题融入学生的探究学习活动中，更是能发挥出学生的学习主体性，通过问题之间的联系，有效地展开探究，提高探究的价值和效率.
探究是高中数学的一种重要学习方式，探究的形式是多种多样的，并不是一定就是教师给出若干问题，让学生带着这些问题，围绕某些探究材料进行探究，并找到解决问题的方法. 探究在更广的范围中，体现的是一种主动学习的态度，是突出学生的主体性地位的一种学习方式，在实际的教学中可以与多种教学方式相结合，通过类比、归纳、发散和变式题等方式，发挥其应有的作用. 让学生们在训练思维的同时能够提高探究的能力. 这与新课程改革的目标是一致的，这指导我们在教学中要以学生为本，以提高学生的综合能力和素质为最根本目的，让学生真正学好高中数学.
关键词：高中数学；课堂教学；探究式学习；教学实践；教学反思
我们都知道，有意义的学习才是高效的学习. 特别是新课程改革的风潮，更是加速了教师由传统教学向现代教学的过渡. 大部分教师都能够根据实际的教学目标来选择一些更有效的教学方法，比如说探究式的教学方法，就受到了大部分教师的欢迎. 特别是在高中数学的学习中，学生已经有了一定的知识基础和相关的生活经验，有了一定的探究能力，保证了课堂中探究的有效开展. 在高中数学课堂中开展探究式的教学，不仅可以让学生在探究的过程中有效地获得知识，还可以提高学生分析问题和解决问题的能力，通过有效的迁移，实现举一反三. 培养学生探究的能力也是高中数学教学的一个重要目标. 不同的教学内容有不同的探究方式和探究重点，教师要能够有效地指导学生进行探究，充分发挥出探究教学的作用. 下面笔者将以探究教学的实践来谈谈相关的探究策略，仅供各位老师参考，达到抛砖引玉的目的.
[?] 通过类比的方式探究知识之间的联系性
数学知识本就是一个相互联系的整体，不同的知识之间实质上总是有着千丝万缕的关系，使得这个知识体系更加饱满和丰富. 基于这样的一个本质特征，我们可以知道，知识点之间有着非常紧密的联系. 在学习中，我们就可以充分利用好这种联系，有效地通过类比的方法来探究和学习知识.
类比是针对两个相似知识点之间的联系进行学习，用相同的思维方法或推理方式进行探究和学习. 类比是一种常用的数学思维方法，因为这不仅可以加强新旧知识之间的联系，还可以通过简单的方法移植，轻松地实现对知识的学习，同时还可以进行创新和进一步拓展.
例如，在研究圆锥曲线时，不同曲线之间却有着很多的相似之处，在学习的过程中可以由浅入深，根据旧知识的研究方法来研究新的知识，类比就是最有效的方法.
如图1所示，F是双曲线-=1（a>0，b>0）的左焦点，直线x=c交双曲线于B1，B2两点，并且直线B2F交双曲线于点B，连接BB，那么直线BB1恒过定点H-
，0.
下面我们可以看两个例子，把他们放在一起进行类比.
如图2所示，F是椭圆 =1（a>0，b>0）的左焦点，直线x=c交椭圆于B1，B2两点，并且直线B2F交椭圆于点B，连接BB1，那么直线BB1恒过定点H-
，0.
图2
又如图3所示，F是抛物线y2=2px（p>0）的焦点，直线x=mm>0，m
≠交抛物线于B1，B2两点，并且直线B2F交抛物线于点B，连接BB1，那么直线BB1恒过定点H
-，0.
从上面几个例子中不难看出，类比是一种非常好的学习和探究的方式，学生使用类比的方法，可以很轻松地把探究的方法迁移到相类似的问题中，从而有效地探究和解决问题. 学习不仅是从旧知识中提取相关的信息，更是要通过正确的方法进行迁移. 但要值得注意的是，类比要在同一个知识体系相似性比较高的知识点中才能使用. 学生在学习中完全可以通过类比进行独立的探究，不再需要教师的重复和强调，是一种比较简单且有效的探究方法，不会浪费学生大量时间去寻找正确的方法，而是可以直接进行分析问题和解决问题的阶段，提高了课堂教学的效率.
[?] 通过归纳的方式探究知识的应用灵活性
归纳与总结总是成对出现的，归纳就是总结不同问题中的相同情境，并从中获得解决类似问题的方法. 归纳不仅可以很好地帮助学生梳理知识，完善知识网络和知识体系，还可以有效地引导学生对知识进行探究，加强对知识的理解，进一步掌握相关的概念和定理，培养学生思维的聚拢性和一致性. 在归纳的过程中，关键是要把握好归纳收拢的方向，有条理地进行归纳和总结，从而提取出有效的探究方法.
例如，在学习“两角和与差的正弦”时，有这样的一个探究设计，运用的就是归纳的方式.
问题1：求sin75°的值.
问题2：已知cosα=，α∈0
，，求sinα
-的值. （通过以上两个问题，引导学生从题型的角度去分析和探究）
问题3：已知sinα=，cosβ=，α是第一象限角，0<β<π，求sin（α-β）的值. （通过对这个问题的分析和归纳，我们可以从公式的字母的意义这个方面进行分析和思考，这也是问题的表面特征）
问题4：sin（α β）=，cos（α-β）=，α，β都是锐角，求sin2α，sinβ的值. （下面问题的探究就可以从思维方面入手）
问题5：cos（α β）=，sinα=，α，β都是锐角，求sinβ的值.
像这样的一系列的探究，可以很好地把公式和定理中隐藏的一些应用价值挖掘出来，通过有效的探究，可以让学生对知识的理解更加深入，对公式和定理的运用能够更加灵活，并能够在这个基础上，生发出更多的东西，同时把握住知识的本质，这样在运用知识的时候才能更加得心应手.
[?] 通过发散的模式探求解题方法的多样性
发散思维也是数学思维中重要的一种，发散思维是从一个知识点出发，向不同的方向和不同的角度不断进行发散和扩展，去寻求多种答案和方法. 发散思维可以锻炼学生的思维活跃性，拓展思维的广度和深度，同时提高学生的思维创造性. 在高中数学的学习中，知识的抽象性使得知识还具有相当大的发散空间，学生可以根据自身的相关基础知识和经验进行发散，结合探究的过程，寻求解题方法的多样性. 例如，已知向量a=（cosθ，sinθ），向量b=（，-1），求
2a-b
的最大值与最小值.
向量求最值的方式有很多种，学生可以根据实际情况进行发散，找出解决问题的方法.
方法1：对向量进行平方再求模的最值. 得到
2a-b
===，所以得到0≤
2a-b
≤4.
方法2：可以利用模的不等关系求向量的最值.
因为
a
-
b
≤
a±b
≤
a
b
，所以
2a
-
b
≤
2a-b
≤
2a
b
，又因为
2a
=2，
b
=2，所以0≤
2a-b
≤4.
由于a的方向的任意性可以得到a与b能够共线，所以等号能够成立.
方法3：运用向量的几何含义来求模的最值. 如图4所示，向量=2a的终点A在以原点O为圆心、2为半径的圆上运动，=b的终点B也在该圆上，
2a-b
=
表示A，B两点间的距离，通过图象可以观察到：0≤
2a-b
≤4.
图4
在传统的教学方式中，教师对学生的思维训练更加注重的是聚合思维，而对发散思维的训练是相对忽视的. 聚合思维的本质就是对相关的知识进行集中和统一，不太提倡个性的发挥和个体的见解. 而发散思维刚好相反，通过训练来激发学生的个性思维，充分发挥学生的主体性地位，让学生积极参与到学习活动中. 发散思维的重视和训练与新课程改革的目的是一致的，都是为了突出学生的个体思想，注重学生的个体发展，在教学中真正做到了以人为本. 在探究中适当地运用发散的方法来研究和训练，既能从多方面、多角度地促使学生深入理解知识，还可以更有效地帮助学生掌握探究的方法，提高学生创造力，开拓学生的视野，拓宽思维的广度.
[?] 通过变式题探究思维方法的连贯性
变式训练是我们在高中数学教学中常用的一种学习方法，这也是一种常用的探究方式，通过变式题的形式对相关问题进行探究，不仅可以逐层深入地进行探究，还能通过知识之间的联系有效地进行迁移，让学生在探究的过程中能够举一反三，掌握正确的解决问题的方法. 以变式题的方式开展探究是教师有目的、有计划地对相关的题目进行合理的变化和拓展，让学生通过分析和解决变式题的方式来强化思维和习惯，同时提高学生的学习兴趣，深化学生对数学知识、方法和思想的理解.
例如，已知x>0，求y=的最大值.
解：y==≤=，当且仅当x=时取等号.
变式1：已知x>0，求y=的最大值.
变式2：已知a>0，求函数y=的最小值.
变式题的教学主要是通过变化题目中的条件或结论，也可以通过改变部分条件，但要保持与原题有一定的关联性和相似性，这样可以让学生用相似的方法来解决新的问题. 这类问题主要还是训练学生灵活解决问题的能力，在问题的表象出现变化之后，还能抓住问题的实质，通过对问题的本质的分析找出正确的解题方法. 变式题教学是训练学生思维能力的有效方式，不仅可以让学生学会举一反三，还可以在发散思维的拓展过程中进行归纳和聚合，让学生的思维能有效地进行发散和聚合. 这一散一合的过程，就是对思维最好的锻炼. 变式题融入学生的探究学习活动中，更是能发挥出学生的学习主体性，通过问题之间的联系，有效地展开探究，提高探究的价值和效率.
探究是高中数学的一种重要学习方式，探究的形式是多种多样的，并不是一定就是教师给出若干问题，让学生带着这些问题，围绕某些探究材料进行探究，并找到解决问题的方法. 探究在更广的范围中，体现的是一种主动学习的态度，是突出学生的主体性地位的一种学习方式，在实际的教学中可以与多种教学方式相结合，通过类比、归纳、发散和变式题等方式，发挥其应有的作用. 让学生们在训练思维的同时能够提高探究的能力. 这与新课程改革的目标是一致的，这指导我们在教学中要以学生为本，以提高学生的综合能力和素质为最根本目的，让学生真正学好高中数学.